梁邦林

（儀征市謝集中心小學(xué)，江蘇 儀征 211400）

[教學(xué)內(nèi)容]

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)第十一冊(cè)第89-90頁(yè)內(nèi)容及例1。

[教學(xué)目標(biāo)]

（1）使學(xué)生理解圓周率的意義，理解掌握?qǐng)A的周長(zhǎng)公式，并能正確地計(jì)算圓的周長(zhǎng)；

（2）通過(guò)動(dòng)手操作，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較、分析、綜合和主動(dòng)研究、探索解決問(wèn)題方法的能力；

（3）通過(guò)以圓的周長(zhǎng)、直徑變化時(shí)圓周率保持不變的探索，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辨證唯物主義的教育；

（4）結(jié)合我國(guó)古代數(shù)學(xué)家祖沖之的故事，對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義的教育。

[教學(xué)重點(diǎn)]

推導(dǎo)圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式的過(guò)程，正確計(jì)算圓的周長(zhǎng)。

[教學(xué)關(guān)鍵難點(diǎn)]理解圓周率的意義。

[教具]課件。

[學(xué)具]

圓形實(shí)物3個(gè)（大小不等）、直尺、細(xì)繩、表格、計(jì)算器。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)片段

[片段一]

師：你們還記得什么是周長(zhǎng)嗎？

生：周長(zhǎng)就是封閉圖形一周的長(zhǎng)度。

師：這些圖形的周長(zhǎng)你們認(rèn)識(shí)嗎？請(qǐng)你們選一個(gè)圖形指指它的周長(zhǎng)。

小結(jié)：圓也有周長(zhǎng)，繞圓一周的長(zhǎng)度就是圓的周長(zhǎng)。

師：在這些圖形里你覺(jué)得哪個(gè)圖形的周長(zhǎng)最難求？

生：圓。

師：為什么??？

生1：因?yàn)槠渌麍D形是線段圍成的，把這些線段的長(zhǎng)度加起來(lái)就行了。

生2：直的線是可以直接測(cè)量的；圓的邊是彎的，無(wú)法直接測(cè)量它的長(zhǎng)度。

生3：圓的周長(zhǎng)我知道怎樣算，直徑×圓周率。

（很多學(xué)生積極響應(yīng)：是的，直徑×圓周率）

師（不知所措）：直徑×圓周率？

生 4：對(duì)，也就是直徑×3.14。

生5：圓周率就是π，等于3.14。

……

【我的困惑：當(dāng)發(fā)現(xiàn)近乎一半的學(xué)生已經(jīng)知道圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式時(shí)，我真的有些語(yǔ)無(wú)倫次、不知所措了。本來(lái)的設(shè)計(jì)意圖是希望從“周長(zhǎng)”導(dǎo)入，在激活已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，試圖創(chuàng)造矛盾沖突來(lái)激發(fā)學(xué)生自主探究，引出“化曲為直”的思想方法來(lái)測(cè)量圓的周長(zhǎng)，為后面的“猜想——驗(yàn)證”打基礎(chǔ)?？涩F(xiàn)在學(xué)生都已知道圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式，如何再創(chuàng)造認(rèn)知沖突，如何再引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證呢】

[片段二]

師：有什么辦法來(lái)驗(yàn)證一下這個(gè)公式到底對(duì)不對(duì)？

生1：對(duì)的，書(shū)上就是這么寫(xiě)的！

師：書(shū)上寫(xiě)的一定對(duì)嗎？

生2：老師，我爸就是這么說(shuō)的。

師：你爸說(shuō)的一定對(duì)嗎？那你說(shuō)說(shuō)為什么要這樣算？

（學(xué)生可能感覺(jué)到了我的惱羞成怒，不敢再作聲。課堂氣氛一下子變得凝固起來(lái)）

師：要證明圓的周長(zhǎng)是不是等于直徑乘以圓周率，我們要看一下圓的周長(zhǎng)和直徑到底有什么關(guān)系。這需要我們動(dòng)手來(lái)實(shí)驗(yàn)。

（布置實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容：測(cè)量三個(gè)圓片的周長(zhǎng)、直徑，計(jì)算出圓的周長(zhǎng)是直徑的幾倍。學(xué)生有些漫不經(jīng)心，但小組合作似乎緩和了一下課堂氣氛）

我發(fā)現(xiàn)學(xué)生很快就把實(shí)驗(yàn)報(bào)告單填好了。走進(jìn)一看，他們都是先在“圓的周長(zhǎng)是直徑的幾倍”這一欄填上3.14，再用3.14乘以圓片上的直徑，算出圓的周長(zhǎng)。如下表：

實(shí)驗(yàn)小組_____ 記錄員：序號(hào) 圓的周長(zhǎng) 圓的直徑 周長(zhǎng)是直徑的幾倍（寫(xiě)成小數(shù)的形式）1 25.12 8 3.14 2 6.28 2 3.14 3 18.84 6 3.14…

師：你們是怎么實(shí)驗(yàn)的？這個(gè)3.14是怎么得到的？

生1：圓的周長(zhǎng)本來(lái)就是直徑的3.14倍啊。

師：現(xiàn)在我們正在驗(yàn)證是不是3.14倍，怎么能直接拿來(lái)用呢？

生2：老師，我們算出來(lái)剛好都是3.14。

師：是嗎？這“周長(zhǎng)是25.12厘米”你們是怎么測(cè)量出來(lái)的？太精確了吧？

……

【我的困惑：這個(gè)“猜想——驗(yàn)證”的環(huán)節(jié)曾被老師們無(wú)數(shù)次精彩地演繹，在任何一個(gè)“圓的周長(zhǎng)”教學(xué)展示中，這個(gè)環(huán)節(jié)似乎都是必不可少的。為什么到了我的課堂中，學(xué)生就不需要驗(yàn)證了呢？他們把動(dòng)手測(cè)量當(dāng)作是游戲在玩耍，為了堵住我的嘴居然還“睜眼說(shuō)瞎話”。那么，這個(gè)動(dòng)手驗(yàn)證的環(huán)節(jié)可以少掉嗎？少了這個(gè)環(huán)節(jié)課堂會(huì)少掉什么呢】

二、課后反思

（一）課堂上還需要實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式嗎

課后我在班級(jí)進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)雖然有大部分學(xué)生知道了圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式，但他們都不能正確理解圓周率的意義和特征。事實(shí)上，研究圓的周長(zhǎng)就是在研究圓周率的意義。所以，在課上“動(dòng)手驗(yàn)證”這一環(huán)節(jié)是必要的。因?yàn)閯?dòng)手驗(yàn)證除了幫助學(xué)生知道圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系、理解圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式外，還可以培養(yǎng)他們科學(xué)實(shí)驗(yàn)的意識(shí)和觀察、歸納等數(shù)學(xué)能力，可以幫助他們掌握“猜想——驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

但事實(shí)上，學(xué)生體驗(yàn)不到實(shí)驗(yàn)的必要性，不想動(dòng)手驗(yàn)證，動(dòng)手驗(yàn)證是我們老師強(qiáng)加給他們的。

在“命令——操作”中研究圓周率，學(xué)生內(nèi)心沒(méi)有“任務(wù)驅(qū)動(dòng)”的心理感應(yīng)，他們是不會(huì)自主地動(dòng)手驗(yàn)證的。如何讓學(xué)生在已知圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式的基礎(chǔ)上，自發(fā)地產(chǎn)生研究“圓的周長(zhǎng)與直徑的關(guān)系”（即圓周率）的需要，是本節(jié)課教師需要突破的難點(diǎn)。

（二）實(shí)驗(yàn)中圓周率與π值不相符怎么辦

事實(shí)上，由于多種因素的限制，學(xué)生動(dòng)手驗(yàn)證后得到的值很難與3.14相符，我們?cè)撛鯓觼?lái)處理這個(gè)矛盾呢？?jī)H僅就說(shuō)是實(shí)驗(yàn)誤差嗎？好像很難說(shuō)服學(xué)生。而且如果這樣處理，那么實(shí)驗(yàn)的作用又有什么意義呢？其實(shí)這樣的測(cè)量求證不管怎樣減少誤差都是很難得到較精確的π值的！我們都知道圓周率的研究經(jīng)歷了數(shù)學(xué)家們數(shù)千年的探索和實(shí)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)值較精確的突破是劉徽的“割圓術(shù)”，而并非我們課堂上所采用的測(cè)量方法。

（三）如何讓學(xué)生體驗(yàn)圓周率是一個(gè)固定不變的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

我們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)都很難來(lái)解釋圓周率π是一個(gè)固定的數(shù)，且是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。我的教學(xué)是呈現(xiàn)一些祖沖之的資料后介紹說(shuō)明圓周率有這一特征，但總感覺(jué)是強(qiáng)買(mǎi)強(qiáng)賣(mài)的說(shuō)教。因?yàn)閷W(xué)生之前認(rèn)為圓周率約等于3.14，而實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)很難剛好全是3.14，即使剛好是3.14，也很難說(shuō)明圓周率是固定的數(shù)，且是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。我們?nèi)绾尾拍軒椭鷮W(xué)生體驗(yàn)到圓周率是一個(gè)固定不變的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)呢？

三、教學(xué)改進(jìn)

片段一：創(chuàng)設(shè)情境，找準(zhǔn)起點(diǎn)

師：我們今天要來(lái)研究“圓的周長(zhǎng)”。（板書(shū)課題）你覺(jué)得什么是圓的周長(zhǎng)？

生1：繞圓一周的長(zhǎng)度是圓的周長(zhǎng)。

生2：圍成圓一圈的曲線的長(zhǎng)度是圓的周長(zhǎng)。

師：黑板上畫(huà)了兩個(gè)圓，你覺(jué)得哪個(gè)圓的周長(zhǎng)比較長(zhǎng)一些？你是怎么想的？

生3：大圓的周長(zhǎng)一定長(zhǎng)一些。

生4：因?yàn)榘霃介L(zhǎng)一點(diǎn)，所以它的周長(zhǎng)就長(zhǎng)一些。

生5：直徑長(zhǎng)一些，周長(zhǎng)也就長(zhǎng)一些。

師：要知道大圓的周長(zhǎng)比小圓的長(zhǎng)多少，你有什么辦法？

生6：可以算一算。圓的周長(zhǎng)=直徑×圓周率，或圓的周長(zhǎng)=半徑×2×圓周率。

師：什么是圓周率？

生7：圓周率是3.14.

生8：圓周率是π。

生9：不是3.14，3.14的后面還有很多位。圓周率約等于3.14.

師：圓周率可以用希臘字母π表示。那這個(gè)公式是用來(lái)計(jì)算哪個(gè)圓的周長(zhǎng)？

生9：這兩個(gè)圓都可以算。

師：操場(chǎng)上的圓呢？或者圓形游泳池的周長(zhǎng)呢？

生10：任何圓的周長(zhǎng)都可以用這個(gè)公式計(jì)算。

師：為什么？

生11：因?yàn)槿魏我粋€(gè)圓的周長(zhǎng)除以直徑都等于圓周率。

師：是嗎？不管大圓還是小圓，周長(zhǎng)除以它的直徑都等于圓周率，也就是約等于3.14，你怎么這么確信？

生11：書(shū)上看來(lái)的，好像是這樣的。

師：你從來(lái)都沒(méi)有懷疑過(guò)嗎？其他同學(xué)呢？

生12：大圓和小圓總有區(qū)別吧。

生13：我想也是這樣的。但是不敢確定。

【改進(jìn)說(shuō)明：一開(kāi)始先把學(xué)生已經(jīng)知道的全“抖”出來(lái)，以便找準(zhǔn)學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。既然學(xué)生知道圓的周長(zhǎng)計(jì)算公式，卻對(duì)圓周率不是很清楚，那么我們可以提“為什么這個(gè)公式可以計(jì)算任何一個(gè)圓的周長(zhǎng)”“是不是任何圓的周長(zhǎng)除以直徑都等于圓周率”等問(wèn)題來(lái)激活學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，把他們的思考焦點(diǎn)集中到圓周率上來(lái)，他們才會(huì)順其自然地想辦法證明：“不管大圓還是小圓，周長(zhǎng)除以它的直徑都等于圓周率?！比绻闪?，那么這個(gè)公式確實(shí)是可以解決任何圓的周長(zhǎng)計(jì)算問(wèn)題。研究圓周率的過(guò)程就是在研究圓周長(zhǎng)計(jì)算的本質(zhì)意義】

[片段二]動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)探索圓周率的發(fā)現(xiàn)過(guò)程

師：既然對(duì)“任何一個(gè)圓的周長(zhǎng)除以它的直徑都約等于3.14”這一觀點(diǎn)有些懷疑，那么我們?cè)撛趺崔k呢？

生1：我們可以找一些圓來(lái)實(shí)驗(yàn)一下。

生2：先量出這些圓的周長(zhǎng)和直徑，再計(jì)算周長(zhǎng)除以直徑。

師：量直徑是沒(méi)有問(wèn)題的，那圓的周長(zhǎng)怎么量??？

生3：可以用繩先繞圓一周，再把繩子拉直進(jìn)行測(cè)量。

師：這個(gè)方法可行嗎？（課件演示）

師：這種繞繩法你覺(jué)得妙在哪里？

生4：把彎曲的圓周長(zhǎng)拉直了測(cè)量。

師：這種“化曲為直”的辦法真的讓人贊嘆。還有別的方法嗎？

生5：可以把圓先做個(gè)記號(hào)，再在直尺上滾一周，可以測(cè)量出圓的周長(zhǎng)。（課件演示）

師：我們給這種方法取個(gè)名字叫滾圓法。接下來(lái)我們小組實(shí)驗(yàn)，把材料袋里的學(xué)習(xí)材料拿出來(lái)，有選擇地使用。

（學(xué)生小組合作，測(cè)量、記錄有關(guān)數(shù)據(jù)并計(jì)算）

【改進(jìn)說(shuō)明：學(xué)生對(duì)于“任何圓的周長(zhǎng)除以直徑是不是都約等于3.14”這一問(wèn)題不敢確定，因此激活了他們的探究欲望，使操作驗(yàn)證變成了一種學(xué)生自發(fā)的需要。在這種需要的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生自然能規(guī)劃實(shí)驗(yàn)的過(guò)程、能創(chuàng)生“化曲為直”的測(cè)量方法，創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力得到了很好的培養(yǎng)】

[片段三]交流類比，感受圓周率的特征

（展示各組實(shí)驗(yàn)報(bào)告單）

師：仔細(xì)觀察，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：圓的周長(zhǎng)是直徑的3倍多。

生2：每一次的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為什么都不一樣？而且沒(méi)有一個(gè)數(shù)據(jù)是3.14。

生3：因?yàn)槲覀儗?shí)驗(yàn)的時(shí)候有誤差。

師：你們的意思是這個(gè)倍數(shù)的精確程度取決于我們測(cè)量的誤差大小。如果測(cè)量時(shí)很精確就會(huì)是3.14倍,是嗎？

生：是的。

師：老師盡量精確地測(cè)量了10次，結(jié)果和你們一樣，沒(méi)有一次是3.14，（呈現(xiàn)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)）看來(lái)這個(gè)倍數(shù)是不確定的。后來(lái)我查了一份資料，我們一起來(lái)看一下。（投影資料：中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《周算經(jīng)》中有“周三徑一”的說(shuō)法）

師：你們有什么想說(shuō)的嗎？

生4：“周三徑一”是不是說(shuō)周長(zhǎng)是直徑的3倍？

師：是的。你們說(shuō)是3.14倍，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)有沒(méi)有3.14倍，現(xiàn)在歷史資料又說(shuō)是3倍，到底哪一個(gè)對(duì)？

生5：不知道。

生6：有點(diǎn)糊涂了。

師：不確定了吧!老師當(dāng)時(shí)跟你們一樣很迷惑，怎么辦？通過(guò)進(jìn)一步查資料發(fā)現(xiàn)，幾千年來(lái)古今中外的數(shù)學(xué)家們一直都在研究圓周率。在1700多年前的魏晉時(shí)期，我國(guó)的杰出數(shù)學(xué)家劉徽首先指出圓周率不是3！他得出了一個(gè)較精確的圓周率的值。他是用什么方法的呢？（投影資料）

師：現(xiàn)在又多出了一個(gè)圓周率的值——3.1416，你們相信哪一個(gè)？

（此時(shí)教師相機(jī)介紹千古絕技——“割圓術(shù)”）

生7：圓周率等于3是不可能了。

師：那這個(gè)3.1416呢？

生：應(yīng)該對(duì)吧，也不肯定。

師：這個(gè)數(shù)據(jù)在當(dāng)時(shí)的條件下已經(jīng)是非常精確了。

（投影祖沖之相關(guān)研究圓周率的資料）

師：看了這些資料，你有什么想說(shuō)的？

生8：我以前聽(tīng)說(shuō)過(guò)祖沖之，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)劉徽也很偉大。中國(guó)真是藏龍臥虎！

生9：中國(guó)不愧是數(shù)學(xué)大國(guó)。中國(guó)人真了不起！

生10：那圓周率到底是幾啊？

生11：我們的實(shí)驗(yàn)是無(wú)論如何也做不到這么精確的。

師:是的。其實(shí)還有很多數(shù)學(xué)家選擇了另外的方法在研究圓周率，有興趣的同學(xué)可以去查一下這方面的資料。老師這里還有一份資料。（投影資料）

電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)帶來(lái)了計(jì)算方面的革命，1967年圓周率被推算到小數(shù)點(diǎn)后2000多億位，但仍然未算完……后來(lái)人們進(jìn)一步證明了這個(gè)數(shù)是個(gè)固定的數(shù)，也是個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。（呈現(xiàn)圓周率小數(shù)點(diǎn)后200位）

師：現(xiàn)在你有什么發(fā)現(xiàn)？

生12：圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。

生13：圓周率是經(jīng)過(guò)了幾千年的研究才發(fā)現(xiàn)的。

生14：圓周率是一個(gè)固定的數(shù)，3.141592653589793 23846……

師：是的，圓周率是一個(gè)固定的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。我們?yōu)榱擞?jì)算方便，才取它的近似值3.14?，F(xiàn)在能回答剛開(kāi)始時(shí)的問(wèn)題了嗎？

生15：任何一個(gè)圓的周長(zhǎng)除以它的直徑都是一個(gè)固定的數(shù)，但不是3.14。

生16：因?yàn)閳A的周長(zhǎng)與直徑的倍數(shù)是一個(gè)固定的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以我們?nèi)〗浦禐?.14。

生17：圓周率是一個(gè)固定的數(shù)，所以任何一個(gè)圓的周長(zhǎng)都可以用“直徑×圓周率”來(lái)計(jì)算。

生18：也可以用“半徑×2×圓周率”來(lái)計(jì)算。

……

練習(xí)（略）

【改進(jìn)說(shuō)明：只有讓學(xué)生對(duì)已知的“圓周率≈3.14”產(chǎn)生懷疑，他們才會(huì)關(guān)注圓周率到底是多少，怎樣可以得到證明的方法。“周三徑一”的攪和，把學(xué)生的思維推向了另一個(gè)起點(diǎn)：除了動(dòng)手實(shí)驗(yàn)外，我們還需要查閱文獻(xiàn)資料！使學(xué)生深切地體驗(yàn)到，文獻(xiàn)研究也是學(xué)習(xí)的一種重要方式。介紹劉徽和祖沖之的“割圓術(shù)”，不僅加強(qiáng)了學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義教育，培養(yǎng)了科學(xué)探索的精神，而且讓他們?cè)诹私鈭A周率研究歷史的同時(shí)，體驗(yàn)到圓周率是一個(gè)固定的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，使他們能自主建構(gòu)起對(duì)于圓周率和圓周長(zhǎng)計(jì)算的正確理解】