● (松江區(qū)第二中學(xué) 上海 201600)

對(duì)2011年重慶數(shù)學(xué)高考文科第15題的深入研究

●衛(wèi)福山(松江區(qū)第二中學(xué) 上海 201600)

2011年重慶市數(shù)學(xué)高考文科第15題如下：

原題若實(shí)數(shù)a,b,c滿足2a+2b=2a+b,2a+2b+2c=2a+b+c,則c的最大值是________.

文獻(xiàn)[1]利用換元法并結(jié)合均值不等式加以解答，給出了較為簡(jiǎn)單的導(dǎo)數(shù)法以及判別式法.本文給出了該題的其他解法，并作一定的變式研究.

1 考題的另解

解利用均值不等式

由2a+2b=2a+b及均值不等式，知

即

2a+b≥4(2a+b≤0顯然不能成立).

由2a+2b+2c=2a+b+c，得

2a+b+2c=2a+b·2c，

即

解得

從而

cmax=2-log23.

2 變式研究

文獻(xiàn)[1]換元后得出該題的等價(jià)問(wèn)題：

問(wèn)題1已知正數(shù)x,y,z滿足x+y=xy,x+y+z=xyz，求z的最大值.

實(shí)際上,在另解的基礎(chǔ)上,可以利用不等式的性質(zhì)解決，具體如下：

解由x+y=xy及均值不等式，得

即

xy≥4.

于是由x+y+z=xyz，得

由xy≥4,得

xy-1≥3

從而

即

因此

此外，考題中的3個(gè)正實(shí)數(shù)a,b,c，能否推廣呢？筆者推廣到了4個(gè)及更多的正實(shí)數(shù),得到如下問(wèn)題：

問(wèn)題2已知正數(shù)a,b,c,d滿足a+b=ab，a+b+c=abc,a+b+c+d=abcd,求d的最大值.

問(wèn)題3已知正數(shù)a1,a2，…,an滿足a1+a2=a1a2,a1+a2+a3=a1a2a3,…，a1+a2+…+an=a1a2…an,求an的最大值.

…

猜想

下面用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)以上結(jié)論加以證明.

當(dāng)n=3時(shí)，問(wèn)題3即為“已知正數(shù)a1,a2,a3滿足a1+a2=a1a2,a1+a2+a3=a1a2a3，求a3的最大值.”類似于問(wèn)題1的做法，由

a1+a2=a1a2，

得

即

a1a2≥4.

由a1+a2+a3=a1a2a3，得

即

而此時(shí)當(dāng)n=3時(shí)，

即結(jié)論成立.

假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí)結(jié)論成立，即

為證當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，首先需要做3個(gè)鋪墊性的工作：

(1)數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均大于1.

由已知條件得

轉(zhuǎn)化為

即

得

從而

(3)數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起是遞減數(shù)列.

這是因?yàn)楫?dāng)n≥2時(shí)，結(jié)合遞推公式有

從而

又?jǐn)?shù)列{an}的每一項(xiàng)均大于1，故an+1

結(jié)合以上(1)～(3)，得

由歸納假設(shè)知

于是

即證

亦即證

即證

上式顯然成立,從而說(shuō)明以上的歸納對(duì)n=k+1也成立.

3 幾個(gè)有趣的結(jié)論

從以上推廣研究中，可以發(fā)現(xiàn)滿足條件的數(shù)列還有幾個(gè)有趣性質(zhì)：

已知正數(shù)a1,a2,…,an滿足a1+a2=a1a2,a1+a2+a3=a1a2a3,…,a1+a2+…+an=a1a2…an,則

(1)數(shù)列{an}的每一項(xiàng)均大于1；

(3)數(shù)列{an}從第2項(xiàng)起是遞減數(shù)列；

[1] 安振平,韓小平.2011年重慶高考數(shù)學(xué)文科第15題解法探討[J]，數(shù)學(xué)通訊:上半月,2011(9)：8-9.

[2] 衛(wèi)福山.對(duì)一個(gè)優(yōu)美不等式的證明及聯(lián)想[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育:高中版，2012(5)：44-46.