● (黃石市第一中學(xué) 湖北黃石 435000)

對(duì)一道調(diào)考?jí)狠S試題的探究

●楊瑞強(qiáng)(黃石市第一中學(xué) 湖北黃石 435000)

2012年湖北省武漢市武昌區(qū)高三數(shù)學(xué)調(diào)研考試的壓軸題如下：

(1)若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍；

(2)解猜想：當(dāng)n∈N*時(shí)，

下面給出證明：

bn=Sn-Sn-1=2ln(n+1)-2lnn=

2[ln(n+1)-lnn]，

當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1=2ln2，適合上式．因此，

bn=2[ln(n+1)-lnn](n∈N*).

由第(1)小題，可知取p=1，則

f(x)≥f(1)(x≥1)．

即

在上式中分別取k=1,2,3,…,n，并將同向不等式相加，得

綜上所述，當(dāng)n∈N*時(shí)，

(3)證明同第(2)小題，當(dāng)n≥2時(shí)，記

x-1≥lnx．

設(shè)g(x)=x-1-lnx，x∈(0,2)，則

函數(shù)g(x)在(0,1)上遞減，在(1,2)上遞增，從而

g(x)≥g(1)=0，

即x-1≥lnx在x∈(0,2)時(shí)恒成立.

綜上所述，當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，

x-1≥lnx(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立)．

(1)

用x代換x-1，得

x≥ln(x+1)(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立)．

(2)

當(dāng)k≥2且k∈N*時(shí)，由式(1)，得

k-1≥lnk>0，

從而

由式(2)，得

k>ln(k+1)，

故當(dāng)k≥2且k∈N*時(shí)，

即

在上式中分別取k=1,2,3,…,n，并將同向不等式相加，得

(1)用a表示出b,c；

(2)若f(x)≥lnx在[1,+∞]上恒成立，求a的取值范圍；

(2010年湖北省數(shù)學(xué)高考理科試題)

(3)

再來(lái)看一個(gè)運(yùn)用“對(duì)比分項(xiàng)比較法”直接構(gòu)造函數(shù)，證明此類(lèi)和型不等式的例子：

當(dāng)n=1時(shí)，b1=S1=1，適合上式．因此，bn=1-lnn(n∈N*)．原問(wèn)題等價(jià)于：

當(dāng)x≥1時(shí)，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，因此f(x)≥f(1)=0，即

分別令x=1,2,3…,n，相加即得

故對(duì)于任意正整數(shù)n，均有