● (孝感高級(jí)中學(xué) 湖北孝感 432000)

一道課本習(xí)題的探索性學(xué)習(xí)與類比

●王國濤(孝感高級(jí)中學(xué) 湖北孝感 432000)

探索性學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生能力的有效途徑之一.筆者從一道課本習(xí)題(普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》必修4第144頁第5題)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生在課堂上積極探索、突破和創(chuàng)新，課后忘我參與，興趣盎然，驚喜地得到了2個(gè)實(shí)用而優(yōu)美的結(jié)論，教學(xué)取得了良好的效果.

1 原題呈現(xiàn)

原題設(shè)f(α)=sinxα+cosxα,x∈{n|n=2k,k∈N+},利用三角變換，估計(jì)f(α)在x=2,4,6時(shí)的取值情況，進(jìn)而對(duì)x取一般值時(shí)f(α)的取值范圍作出一個(gè)猜想.

(1)

倘若僅滿足把答案猜想出來，則無異于“入寶山而空返”，學(xué)生也意猶未盡.那么，猜想是否正確，該怎樣證明呢？筆者在課堂上讓學(xué)生自己探索證明思路和方法.

2 猜想的多角度證明

生1：既然是2k次方，可以考慮用二項(xiàng)式定理將其展開，但不能合并，用二倍角公式即可.

證法1利用二倍角公式和二項(xiàng)式定理證明

因?yàn)?/p>

又-1≤cos2α≤1,所以0≤cos22α≤1.由不等式和組合數(shù)的性質(zhì)得

因此

生2：我是從函數(shù)角度考慮的，通過同角關(guān)系式構(gòu)造冪函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明.

證法2構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)證明

令x=sin2α,0≤x≤1,則

f(α)=sin2kα+cos2kα=g(x)=xk+(1-x)k.

當(dāng)k=1時(shí)，g(x)=1,式(1)成立.當(dāng)k≥2,k∈N+時(shí)，由

g′(x)=kxk-1-k(1-x)k-1=k[xk-1-(1-x)k-1]=0，

又因?yàn)間(0)=g(1)=1,所以

生3：我考慮到要證明的結(jié)論與正整數(shù)有關(guān)，故可以利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

證法3利用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)n=1時(shí)，sin2α+cos2α=1,即式(1)成立;

假設(shè)n=k和n=k+1時(shí)，式(1)成立，即

則當(dāng)n=k+2時(shí)，注意到

一方面

另一方面

故

即當(dāng)n=k+2時(shí)，式(1)也成立.

師：還有沒有其他證明方法呢？能否從凸函數(shù)的性質(zhì)考慮呢？

生4：哦！我明白了，可以利用不等式的性質(zhì)和下凸函數(shù)的性質(zhì)證明.

證法4利用不等式的性質(zhì)和凸函數(shù)的性質(zhì)證明

3 類比探究

f(α)=sinxα+cosxα(x∈{n|n=2k,k∈N+})的取值范圍已經(jīng)得到完美解決，那么sinmα,cosnα的差、商、積與倒數(shù)和的最值情況怎樣？此時(shí)下課鈴響了，此問題留給學(xué)生課后思考.學(xué)生們興致都很高，第2天便將成果展示給筆者，其中2個(gè)優(yōu)美的結(jié)論如下：

證明

因此

4 結(jié)論應(yīng)用

(2012年《數(shù)學(xué)通訊》問題99)

(2010年聯(lián)盟杯高中數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題)

5 延伸思考

通過本例的證明與拓展，學(xué)生掌握了相關(guān)的知識(shí)與技能，體會(huì)到知識(shí)的聯(lián)系與綜合.這說明只要我們重視教材的使用，在處理教材問題時(shí)不淺嘗輒止，注意引導(dǎo)學(xué)生吃透課本典型問題的內(nèi)涵，挖掘這些問題的潛在價(jià)值，并鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)它們進(jìn)行力所能及的類比，就可以讓學(xué)生學(xué)得更輕松、更主動(dòng)，并使他們?cè)趧?chuàng)造性思維方面得到發(fā)展的同時(shí)，體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.課本上的不少例題、習(xí)題背景豐富深刻，解題思想耐人尋味，是最好的探究素材.若教師能有意識(shí)地去引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究和挖掘，則往往會(huì)得到一些有價(jià)值的結(jié)論和重要的解題思想，同時(shí)對(duì)激發(fā)學(xué)生的探究興趣、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和理性思維大有裨益.