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(天臺(tái)中學(xué)高二(2)班 浙江天臺(tái) 317200)

質(zhì)疑深究收獲精彩

●褚壹?xì)J

(天臺(tái)中學(xué)高二(2)班 浙江天臺(tái) 317200)

有時(shí)候，對(duì)教師的講授是不能過分的相信，因?yàn)榻處熞灿谐鲥e(cuò)的時(shí)候，對(duì)教師的講授要質(zhì)疑深究,這樣才能獲益非淺，也許還能收獲精彩.下面就是一個(gè)很好的例子.

圖1

例1如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點(diǎn)，∠ABE=20°，∠CDF=30°．將△ABE繞直線BE，△CDF繞直線CD各自獨(dú)立旋轉(zhuǎn)一周，則在所有旋轉(zhuǎn)過程中，直線AB與直線DF所成角的最大值為________．

(2011年浙江省數(shù)學(xué)高考樣卷試題)

老師是這樣講授的．按照題意的要求，得到如圖2所示的2個(gè)圓錐，即圓錐B-AA1和圓錐D-FF1；這樣，2個(gè)圓錐上各任意取一條母線，這2條母線(大多是異面直線關(guān)系)所成的角是因?yàn)榭臻g關(guān)系太遠(yuǎn)就很難想象或求出來．要求學(xué)生根據(jù)異面直線所成角的定義及常用求法思考如何改變圓錐的位置，創(chuàng)造條件來求．

1 質(zhì)疑

圖2 圖3

這樣，老師就啟發(fā)學(xué)生把圓錐D-FF1平移，如圖3．過了一會(huì)兒，空間想象力強(qiáng)的幾個(gè)學(xué)生就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)所要求的答案是70°，經(jīng)他提醒，大部分學(xué)生都已經(jīng)明白這個(gè)結(jié)果,即當(dāng)2條母線分別是BA1，BN時(shí)，所求的夾角為最大．

在本題即將要結(jié)束時(shí)，老師順便問了“那么，你們看直線AB與直線DF在什么時(shí)候，所成角又是最小呢？是多少呢？學(xué)生課后去思考一下；這個(gè)答案是10°，答案先給你們，以便檢驗(yàn)自己的思考．”

真的是10°嗎？課后許多學(xué)生陷入思考之中．

2 深究

課后，包括筆者在內(nèi)的4位學(xué)生組成學(xué)習(xí)小組，準(zhǔn)備對(duì)這一試題做全面地研究和探索．

其實(shí)，探究直線AB與直線DF所成的角，在圖3中思考還是很困難的！有學(xué)生提出，既然在圖3中∠A1BN=110°，所求目標(biāo)的最大值70°就是在這個(gè)位置上，因此我們可以考慮圓錐B-MN的反向部分與圓錐B-AA1的關(guān)系，這樣就得到圖4．

由圖4可以發(fā)現(xiàn)，要求的異面直線夾角的最大值確實(shí)是BM1與BA1所成的角即70°.此時(shí)，圓錐B-AA1與圓錐B-M1N1之間有公共部分，有學(xué)生懷疑這公共部分可能不是直線，如果是那就是公共母線了，所求異面直線所成的角最小值就不是10°了，應(yīng)該是0°了．

圖4 圖5

2 收獲精彩

為了弄清楚這個(gè)問題，筆者所在的學(xué)習(xí)小組著手研究，同時(shí)也把這樣的想法報(bào)告了老師，引起了老師的注意．

在老師的指導(dǎo)下，我們想到了建立空間直角坐標(biāo)系，用向量工具解決上面的問題．方法如下．

而點(diǎn)Q要滿足什么條件呢？經(jīng)過學(xué)生思考、討論、挖掘，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q就在2個(gè)曲面的公共點(diǎn)上，即球面和平面的公共點(diǎn)上；球面就是以B為圓心、1為半徑的球面，滿足的方程是x2+y2+(z-1)2=1；平面是過點(diǎn)A、垂直于xO2z的平面，在x軸上的截距為2tan70°，從而平面方程為

這樣點(diǎn)Q就可以由方程組

由異面直線夾角定義可得

即

由圖像直觀可知，這個(gè)z-1>0，經(jīng)過計(jì)算可知2≥z≥1+cos40°,令z-1=cosα，α的范圍是0°≤α≤40°.

cosθ=sin(α+60°)，

再求β的值，后由sin(t+β)=-1可以求得t的值，即證明了“取到最小值”的存在性．這就充分肯定了上面的懷疑，即這里的2個(gè)圓錐面的公共部分應(yīng)該是直線(公共母線)．

綜上所述,直線AB與直線DF所成角的范圍為0°～70°．

通過對(duì)該試題的鉆研，筆者得到了幾點(diǎn)啟發(fā)：

(1)數(shù)學(xué)試題數(shù)量浩如煙海，是無盡的；對(duì)數(shù)學(xué)例、習(xí)題的鉆研，先要保證質(zhì)量，后方可上數(shù)量．

(2)學(xué)習(xí)要有質(zhì)疑的精神，質(zhì)疑是獲得問題的來源，而深入探究又是獲得數(shù)學(xué)知識(shí)與解題經(jīng)驗(yàn)的契機(jī)．

(指導(dǎo)老師：王修凱)