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(大慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 黑龍江大慶 163316)

數(shù)列不等式證明之“四步九法”

●姜本超

(大慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 黑龍江大慶 163316)

數(shù)列綜合題是數(shù)學(xué)高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)之一，“技巧性強(qiáng)、難度大、題型多、方法多樣性”是數(shù)列不等式問(wèn)題的最大特點(diǎn).筆者對(duì)大量問(wèn)題進(jìn)行研究，將證明數(shù)列不等式問(wèn)題歸納為“四步九法”.

解題步驟為：

第1步：觀察題干，確定數(shù)列的類型：等差數(shù)列、等比數(shù)列或遞推數(shù)列;

第2步：求出數(shù)列的通項(xiàng)公式或者遞推關(guān)系式;

第3步：觀察結(jié)論的結(jié)構(gòu)(重點(diǎn));

第4步：結(jié)論驗(yàn)證.

方法1數(shù)學(xué)歸納法

利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式是常見(jiàn)的數(shù)學(xué)方法，通過(guò)尋找第k項(xiàng)與第k+1項(xiàng)的關(guān)系加上適當(dāng)?shù)姆趴s，達(dá)到證明目的.

從而

方法2巧用函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)

充分運(yùn)用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解決數(shù)列不等式問(wèn)題的著手點(diǎn)和關(guān)鍵，與遞推關(guān)系對(duì)應(yīng)的函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)決定著遞推數(shù)列的增減情況.利用函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)證明遞推數(shù)列增減性的過(guò)程中常伴隨著數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.

利用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)a0>2時(shí)，有an>an+1>2成立.

方法3利用數(shù)列單調(diào)性

數(shù)列中的參數(shù)問(wèn)題，常用數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行解答，題型大致分為2類：一類為已知數(shù)列的單調(diào)性求解參數(shù)范圍；另一類是不知數(shù)列的單調(diào)性，求參數(shù)范圍，此類問(wèn)題中常含有恒成立問(wèn)題.

例3已知各項(xiàng)均是正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(p-1)Sn=p2-an(n∈N*，且p>0,p≠1),數(shù)列{bn}滿足bn=2logpan.

(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式.

分析(1)由已知易得an=p2-n,bn=4-2n.

方法4裂項(xiàng)放縮

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析(1)根據(jù)遞推關(guān)系易得an=n.

方法5等比放縮

等比放縮是將數(shù)列的通項(xiàng)放縮為等比數(shù)列通項(xiàng)的形式，這樣可以求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和.等比放縮在高考中應(yīng)用非常廣泛，常和裂項(xiàng)放縮、迭代放縮和數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合，是解決數(shù)列不等式最常見(jiàn)的方法，在很多高考題中都有體現(xiàn).筆者僅以2006年福建省數(shù)學(xué)高考理科第22題為例進(jìn)行說(shuō)明.

例5已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*).

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析(1)由特征根法求得an=2n-1(n∈N*).

又

得

方法6迭代放縮

迭代放縮指的是利用已知遞推關(guān)系進(jìn)行迭代從而達(dá)到放縮的目的，常和等比放縮相結(jié)合，將通項(xiàng)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列通項(xiàng)的形式再進(jìn)行求和證明.

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：an>2(n∈N*).

分析(1)略.(2)①略.

a1+a2+a3+…+an<2n+1.

方法7整體放縮

上面的幾種放縮指的都是對(duì)數(shù)列的通項(xiàng)或數(shù)列中的一項(xiàng)進(jìn)行放縮，一些特殊的題目在進(jìn)行放縮時(shí)需要對(duì)連續(xù)的幾項(xiàng)同時(shí)進(jìn)行放縮，大多數(shù)也放縮成等比數(shù)列的形式.

(2)求證：(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+…+(-1)nxn<1(n∈N).

分析(1)略.

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)， (-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+…+(-1)nxn<1+(-1)nxn，

1+(-1)nxn=1-xn<1,(-1)x1+(-1)2x2+(-1)3x3+…+(-1)nxn<1.

方法8導(dǎo)數(shù)放縮

導(dǎo)數(shù)放縮是一類導(dǎo)數(shù)與數(shù)列的綜合性很強(qiáng)的問(wèn)題，題型特點(diǎn)多是利用導(dǎo)數(shù)證明一個(gè)不等式，在證明數(shù)列不等式時(shí)利用已證明的結(jié)論再進(jìn)行證明或適當(dāng)?shù)姆趴s.

例8已知f(x)=ln(1+x2)+ax(a≤0).

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

分析(1)略.

因此

方法9三角放縮

三角放縮是解決一類創(chuàng)新題型的方法，這類題型將三角函數(shù)與數(shù)列不等式相結(jié)合，常見(jiàn)的放縮方式為sinα<α

(1)0

分析(1)略.

1+an-1>1+a1(n≥2)，

即

由已知得

以上各種方法均為筆者的一點(diǎn)感想，解答中也僅給出了放縮的過(guò)程，數(shù)列不等式的放縮種類繁多，技巧性強(qiáng)，要想更好地掌握并非易事，需多加練習(xí)，及時(shí)反饋，總結(jié)歸納，靈活運(yùn)用.