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(黃陂區(qū)第四中學(xué) 湖北武漢 430331)

一類二元最值問題的解法探討

●李紅春

(黃陂區(qū)第四中學(xué) 湖北武漢 430331)

題目若x2+2xy-y2=7(x,y∈R)，求x2+y2的最小值．

這是前不久筆者在高三復(fù)習(xí)資料上看到的一道試題，給出的已知條件是二次齊次式，既含有交叉項(xiàng)xy，又含平方差的形式，與通常見到的題目不太一樣．關(guān)于二元的最值問題，通常是借助消元，將二元轉(zhuǎn)化為一元問題來解決.在本題中，用x,y中的任何一個(gè)量來表示另一個(gè)量都顯得很麻煩，因此不少師生對此題一籌莫展.筆者對此題的解法作了一些研究，下面將解法展示給大家，希望能為大家以后解決此類問題提供一些借鑒！

思路1借助第三變量表示，將待求式轉(zhuǎn)化為第三變量的函數(shù).

解法1由x2+2xy-y2=7得

(x+y)2-2y2=7.

點(diǎn)評此解法源于已知條件左邊能寫成2個(gè)式子的平方差，解答的關(guān)鍵在于由(x+y)2-2y2=7聯(lián)想到三角平方關(guān)系sec2θ-tan2θ=1，進(jìn)而采用三角換元，將變量x,y統(tǒng)一為θ的函數(shù)，解答過程計(jì)算量較大．

解法2 設(shè)x2+y2=t(t>0)，令x=tcosθ，y=tsinθ，代入x2+2xy-y2=7得

t2(cos2θ-sin2θ)+t2sin2θ=7,

即

t2(cos2θ+sin2θ)=7,

得

顯然

故

點(diǎn)評和解法1從條件入手不同，解法2則是抓住待求式為平方和這一結(jié)構(gòu)特點(diǎn)采用三角換元，解答簡單清晰，讓人耳目一新，可謂“此中有真意，欲辯已忘言”！

解法3 由x2+2xy-y2=7得

聯(lián)立求得

點(diǎn)評解法3的精妙之處在于已知條件能因式分解為2個(gè)一次因式的積，采用換元后便能將x,y統(tǒng)一為相同的變量．但若已知條件不能因式分解，解法也就“愛莫能助”了！

解法4 設(shè)y=kx，代入x2+2xy-y2=7得

(1+2k-k2)x2=7，

即

即

點(diǎn)評由于已知條件是齊次式，設(shè)y=kx后很容易用k表示x與y，實(shí)現(xiàn)雙變量的分離，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的函數(shù)．解法4是解決這類問題的通法，大有“放之四海而皆準(zhǔn)”的氣魄！

思路2構(gòu)造含有某個(gè)量的一元二次方程，運(yùn)用判別式法求解.

解法5 設(shè)x2+y2=u，則y2=u-x2，代入x2+2xy-y2=7得

2xy=7+u-2x2，

易知x≠0，于是

將式(1)代入x2+y2=u，整理可得

于是以x2為未知數(shù)的一元二次方程必有正根.由韋達(dá)定理知，2個(gè)根之和為正，2個(gè)根之積也為正，故方程的2個(gè)根若存在，則必都為正，當(dāng)且僅當(dāng)

Δ=16×(7+2u)2-4×8×(7+u)2≥0，

點(diǎn)評通過換元，巧妙地構(gòu)造出以x2為未知數(shù)的一元二次方程，用判別式法求解，讓人有種“曲徑通幽處 ，禪房花木深”的意境！

整理得 (7-u)x2+(7+u)y2-2uxy=0.

由x2≠0，得

Δ=4u2-4(7+u)(7-u)≥0，

解得

思路3借助不等式相關(guān)知識求解.

解法7由題意得

x2+2xy-y2=x(x+y)+y(x-y)=7,

由柯西不等式得

72= [x(x+y)+y(x-y)]2≤

(x2+y2)[(x+y)2+(x-y)2]=

2(x2+y2)2,

點(diǎn)評對于含有多元的最值問題，運(yùn)用均值不等式及其變形來求解已很普遍，新教材已將柯西不等式納入教學(xué)的重要內(nèi)容，大家應(yīng)努力掌握．解法7的關(guān)鍵在于將已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)呐錅?，對學(xué)生的能力要求較高，但這正好符合高考“多一點(diǎn)想，少一點(diǎn)算”的要求．

思路4靈活借用其他數(shù)學(xué)知識求解.

解法8 令z=x+yi，則

z2=x2-y2+2xyi=7-2xy+2xyi,

于是

即

從而

點(diǎn)評待求式x2+y2即為復(fù)數(shù)z=x+yi的模的平方，而已知條件中-y2=(yi)2，這些都為借助復(fù)數(shù)解決問題提供了可能．新教材對復(fù)數(shù)這一章節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行了理性回歸，這些都為利用復(fù)數(shù)工具解決問題提供了更廣闊的舞臺！

思路5 數(shù)形結(jié)合求解.

解法9引入新坐標(biāo)系x′O′y′，設(shè)

則x2+y2= (x′cosθ-y′sinθ)2+(x′sinθ+y′cosθ)2=

(x′)2+(y′)2.

由x2+2xy-y2=7得

(x′cosθ-y′sinθ)2+2(x′cosθ-y′sinθ)(x′sinθ+

y′cosθ)-(x′sinθ+y′cosθ)2=7,

整理得

(sin2θ+cos2θ)·(x′)2-(sin2θ+cos2θ)·(y′)2-

2(sin2θ-cos2θ)x′y′=7.

即

由此可見在新坐標(biāo)系下該曲線為焦點(diǎn)在x′軸的雙曲線，(x′)2+(y′)2表示曲線上的動點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，由圖形可知(x′)2+(y′)2的最小值即為實(shí)半軸距離的平方，故

點(diǎn)評數(shù)形結(jié)合的思想是高中數(shù)學(xué)中重要的思想.本題待求式x2+y2很容易讓人聯(lián)想到曲線上的動點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，只是曲線的形狀判斷要用到坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)等知識，學(xué)生只需體會到問題的本質(zhì)即可．

思路6借助高等數(shù)學(xué)的知識求解.

解法10令f(x,y)=x2+y2，φ(x,y)=x2+2xy-y2-7，則

L(x,y;λ)=f(x,y)+λφ(x,y)=

x2+y2+λ(x2+2xy-y2-7)，

得

Lx′=2x+λ(2x+2y)=0,

(3)

Ly′=2y+λ(-2y+2x)=0,

(4)

Lλ′=x2-y2+2xy-7=0.

(5)

由式(3)，式(4)消去λ整理得

2xy=x2-y2,

(6)

聯(lián)立式(4)，式(5)得

開方后即得穩(wěn)定點(diǎn)的坐標(biāo)，故

f(x,y)min=x2+y2=

點(diǎn)評解法10需要具備一定的高等數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)，作為學(xué)生固然無需掌握.但對于教師，具備一定的高等數(shù)學(xué)功底和數(shù)學(xué)素養(yǎng)既有利于理解中學(xué)數(shù)學(xué)問題的來龍去脈，又有助于用高等數(shù)學(xué)思想、觀點(diǎn)、方法解釋和理解中學(xué)數(shù)學(xué)中的許多問題．

“一滴水雖小，卻能折射出整個(gè)太陽的光輝”．本文雖然只就一道二元齊次最值問題的解法進(jìn)行了探討，但其中卻揭示了解決這類問題的普遍思想方法與技巧，可謂“秀枝一株”，學(xué)會了此題，解題中靈活運(yùn)用便能“嫁接成林”！