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(元濟(jì)高級中學(xué) 浙江海鹽 314300)

用好課程資源激發(fā)學(xué)生探究
——高中數(shù)學(xué)探究性教學(xué)的實(shí)踐與反思

●劉鳳杰盧明

(元濟(jì)高級中學(xué) 浙江海鹽 314300)

數(shù)學(xué)的探究活動(dòng)能促進(jìn)學(xué)生將新舊知識進(jìn)行有效地重組，獲得深切的感受與體驗(yàn)，讓學(xué)生有一個(gè)自主建構(gòu)知識的過程，學(xué)會學(xué)習(xí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)、質(zhì)疑和反思的習(xí)慣，增強(qiáng)創(chuàng)新能力．因此，數(shù)學(xué)探究是貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)課程始終的重要內(nèi)容．筆者通過教科書上的一道解析幾何探究題(人教A版《數(shù)學(xué)》2-1第55頁)開展探究性教學(xué)，說明“用好課程資源，實(shí)施探究性教學(xué)”是值得廣大高中數(shù)學(xué)教師關(guān)注的新途徑．

1 案例

與課本中例2.2和例3比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

1．1 初步探究，解決問題

學(xué)生經(jīng)過自主探究，很快得出了點(diǎn)P的軌跡方程，并發(fā)現(xiàn)“平面上，如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到2個(gè)定點(diǎn)連線的斜率之積為一個(gè)正的常數(shù)，那么這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線”這個(gè)更一般化的結(jié)論．

化簡得

師：誰能從本題中提煉出一般化的結(jié)論？

生：設(shè)A(-a,0)，B(a,0)(a>0),直線PA,PB相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積kPA·kPA=λ(λ為常數(shù)，λ>0)，則點(diǎn)P的軌跡是以A,B為頂點(diǎn)的雙曲線(不包括點(diǎn)A,B)．

1．2 比較探究，激發(fā)興趣

師：請比較例2．2和例3，在剛才得出的命題中，如果撤消對λ的取值限制，你又可以得出什么樣的結(jié)論呢？

學(xué)生思考以后，得到命題1,教師充分肯定了學(xué)生的發(fā)現(xiàn).

命題1設(shè)點(diǎn)A(-a,0),B(a,0)(a>0)，直線PA,PB相交于點(diǎn)P，且它們的斜率之積是λ(λ≠0)，則

(1)當(dāng)λ=-1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是圓

x2+y2=a2(x≠±a)；

(2)當(dāng)λ<0(λ≠-1)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是橢圓

(3)當(dāng)λ>0時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線

1．3 逆向探究，完善思維

師：如果已知點(diǎn)A,B是相應(yīng)橢圓的長軸或雙曲線實(shí)軸的端點(diǎn)，那么又會有什么新的發(fā)現(xiàn)呢？

沉默片刻，許多學(xué)生發(fā)現(xiàn)了命題2,教師再次肯定了學(xué)生的發(fā)現(xiàn)．

命題2(1)圓x2+y2=a2上任意一點(diǎn)P與A(-a,0),B(a,0)連線的斜率之積kPA·kPB=-1(定值)；

1．4 拓展探究，提升能力

師：在命題2的結(jié)論(1)中，在圓的背景下，對于圓上的3個(gè)點(diǎn)P，A，B，滿足kPA·kPB=-1，你又有什么聯(lián)想？

生1：我認(rèn)為對于圓x2+y2=a2上任意一點(diǎn)P來說，不僅是它與點(diǎn)A(-a,0)和點(diǎn)B(a,0)連線的斜率滿足kPA·kPB=-1，其實(shí)過圓心的任何一條直徑的2個(gè)端點(diǎn)與點(diǎn)P連線的斜率之積都等于-1(直徑所對的圓周角是直角)．

生2：我同意！我覺得還可以得出下列結(jié)論.

命題3(1)圓x2+y2=a2上任意一點(diǎn)P與該圓上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的2個(gè)點(diǎn)A(x0,y0),B(-x0,-y0)連線的斜率之積kPA·kPB=-1；

限于篇幅，這里只提供結(jié)論(2)的證明．

證明設(shè)P(x′,y′)為橢圓上異于A(x0,y0)和B(-x0,-y0)的任意一點(diǎn)，則

1．5 再逆探究，另辟蹊徑

學(xué)生對上述命題及其證明都表示驚嘆，探究的欲望更加強(qiáng)烈．在經(jīng)過前面的探究經(jīng)歷后，學(xué)生的思維更加活躍，許多學(xué)生又得出如下命題：

命題4(1)設(shè)A，B是圓x2+y2=a2上2個(gè)不同的點(diǎn)，P是該圓上任意一點(diǎn)，且滿足kPA·kPB=-1，則直線AB過定點(diǎn)O(0,0)；

結(jié)論(2)和(3)的證明給學(xué)生帶來了麻煩，于是，教師讓學(xué)生合作嘗試證明，最后有學(xué)生給出了證明.限于篇幅，這里僅提供結(jié)論(2)的證明.

證明設(shè)P(x0,y0)為橢圓上異于A和B的任意一點(diǎn)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB方程y=kx+t，與橢圓方程聯(lián)立，得

(b2+k2a2)x2+2kta2x+a2t2-a2b2=0，

從而

t2-(kx0+y0)t=0，

即

t(kx0-y0+t)=0.

因?yàn)镻與A,B不重合，所以kx0-y0+t≠0，故t=0，即直線AB過定點(diǎn)O(0,0)．

1．6 發(fā)散探究，勇于創(chuàng)新

教師充分肯定了學(xué)生善于思考和探究的品質(zhì)，鼓勵(lì)學(xué)生作進(jìn)一步的探究．此時(shí)，有學(xué)生發(fā)言.

生：我有一個(gè)問題：如果命題4中相應(yīng)的定值發(fā)生改變，那么直線AB是否還過定點(diǎn)？

這一問，把教師也問住了，快下課時(shí)，教師坦然回答：剛才這個(gè)問題事先沒考慮過，把這個(gè)問題作為今天的課后作業(yè)，希望在下次課上能夠分享大家探究的成果．2天后，雖然大家沒有得到更一般性結(jié)論，但有豐厚的回報(bào)．有學(xué)生得出以下命題：

這里僅介紹學(xué)生給出的結(jié)論(4)的證明．

證明若A,B關(guān)于y軸對稱，不妨設(shè)A(x0,y0)，B(-x0,y0)，則

反之亦成立．

若A,B不關(guān)于y軸對稱，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線AB方程x=my+t與橢圓方程聯(lián)立，得

(a2+m2b2)y2+2mtb2y+b2t2-a2b2=0,

從而

(λm2-1)y1y2+λm(t-a)(y1+y2)+λ(t-a)2=0.

將式(5)，式(6)代入，得

(λa2-b2)t2-2λa3t+a2b2+λa4=0,

即

[(λa2-b2)t-(λa3+ab2)](t-a)=0.

師：請大家回想一下以前做過的一道題目：

設(shè)A,B是拋物線y2=2px(p>0)上2個(gè)不同的點(diǎn)，O是該拋物線的頂點(diǎn)，且OA⊥OB，求證：直線AB過定點(diǎn)(2p,0)．

師：請對此題進(jìn)行一般化的改造．

學(xué)生經(jīng)過探究，得到以下命題：

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，直線AB的方程為

x=my+t,

與拋物線方程聯(lián)立，得

y2-2pmy-2pt=0,

從而

(λm2-1)y1y2+λmt(y1+y2)+λt2=0,

將式(7)，式(8)代入，得

2pt+λt2=0.

點(diǎn)評由教科書中的一道探究題，教師與學(xué)生一起做了這么一篇“大文章”，使人充分感受到了數(shù)學(xué)的創(chuàng)造美！在猜想與探究的過程中，學(xué)生的創(chuàng)新能力得到了培養(yǎng)，也讓教師領(lǐng)會到學(xué)生的巨大智慧和能量．今日之教學(xué)，教師的責(zé)任首先是要激發(fā)學(xué)生的探究興趣，點(diǎn)燃他們智慧的火花，釋放他們探究的能量，讓成功的喜悅伴隨著創(chuàng)造的全過程．

2 體會與反思

2．1 鉆研教材，合理利用課程資源

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書人教A版《數(shù)學(xué)》，試圖通過滲透以引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)為核心的教學(xué)設(shè)計(jì)，達(dá)到引領(lǐng)教學(xué)方式變革之目的．即在每節(jié)教材中穿插“觀察”、“思考”、“探究”之類的欄目，提出問題，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)．以高中數(shù)學(xué)解析幾何內(nèi)容為例，教材中一共安排了29個(gè)探究問題(包括探究與發(fā)現(xiàn)、信息技術(shù)應(yīng)用)，其中必修2中有8個(gè)，選修2-1中有13個(gè)，選修4-4中有8個(gè)． 從大的類型分：一般探究問題有20個(gè)；探究與發(fā)現(xiàn)有4個(gè)；信息技術(shù)應(yīng)用5個(gè)．這些探究問題既有針對具體內(nèi)容的，也有針對思想方法的，還有針對特例、細(xì)節(jié)的，它們構(gòu)成解析幾何的學(xué)習(xí)主線，形成思想內(nèi)涵豐富的解析幾何的概念網(wǎng)絡(luò)，體現(xiàn)新課標(biāo)理念，著眼于學(xué)生知識的形成和知識發(fā)展規(guī)律，著眼于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力．

作為一名數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該領(lǐng)悟教材編者的意圖，課本“探究欄目”提供了一個(gè)集探究和文化于一體的完美平臺．由前面的案例可以看到，在日常教學(xué)中，合理地開發(fā)和利用課程資源，可以取得知識教學(xué)與能力培養(yǎng)兩不誤的效果．關(guān)于課本“探究欄目”這一課程資源的開發(fā)與利用，筆者有2點(diǎn)建議：(1)教師必須根據(jù)課本中探究題的類型，針對不同層次的學(xué)生，要有不同深度的探究設(shè)計(jì)；針對不同的教學(xué)內(nèi)容，要有不同廣度的探究設(shè)計(jì)．(2)在注意教法層次性的同時(shí)，還必須注意教法的多樣性和開放性，給學(xué)生留下充分的活動(dòng)時(shí)間與空間，培養(yǎng)學(xué)生的鉆研精神和合作精神，讓不同層次的學(xué)生都能學(xué)有所獲．

2．2 鼓勵(lì)提問，激發(fā)探究興趣

首先，要了解數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵.即學(xué)生圍繞某個(gè)數(shù)學(xué)問題，進(jìn)行自主探究、學(xué)習(xí)，從中獲得知識、技能和態(tài)度的學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)過程，包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)、提出有意義的數(shù)學(xué)問題、猜測探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律、給出解釋或證明．其次，要明確學(xué)生的探究學(xué)習(xí)起源于對某個(gè)問題的興趣.空洞的說教并不能激起學(xué)生持久的探究欲望，正如愛因斯坦所指出的那樣:“興趣是最好的老師，它永遠(yuǎn)勝過責(zé)任感．”唯有興趣，才是學(xué)生積極探究、主動(dòng)學(xué)習(xí)的原動(dòng)力．再次，要鼓勵(lì)學(xué)生提問．學(xué)生提出一個(gè)有價(jià)值的問題比回答出10個(gè)教師預(yù)設(shè)的問題更有價(jià)值．現(xiàn)實(shí)中，主動(dòng)向教師提問題的學(xué)生并不多，即便有，問的也大多是作業(yè)中自己不能解決的問題．因此，教師必須把“發(fā)現(xiàn)問題，提出問題”的意識和能力作為學(xué)生探究能力培養(yǎng)的重點(diǎn)．此外，教師要善于把握時(shí)機(jī)，創(chuàng)設(shè)問題情境，把問題拋給學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生去質(zhì)疑、去發(fā)現(xiàn)，可以有效地培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，學(xué)生一旦能夠提出問題，自然就有了探究的興趣．

2．3 把握角色，謹(jǐn)防假探究

在探究性教學(xué)的過程中，教師的角色就是一名“催產(chǎn)婆”，而不是先知先覺的“圣人”．在實(shí)施探究性教學(xué)的過程中，如果教師為了讓學(xué)生能夠順利地“猜出”教師需要的“答案”，將探究任務(wù)設(shè)計(jì)得面面俱到，過度引導(dǎo)學(xué)生朝某個(gè)方向探究，看起來學(xué)習(xí)過程自然流暢，其實(shí)是一種“假探究”．需要強(qiáng)調(diào)的是：探究需要給學(xué)生預(yù)留一定的思維空間和有一定難度的學(xué)習(xí)任務(wù)．當(dāng)然，完全放任也是不對的，鼓勵(lì)學(xué)生自主探究，不等于讓學(xué)生脫離教師去單打獨(dú)斗，要知道探究的形成是基于一定的問題引領(lǐng)下，學(xué)生通過獨(dú)立嘗試，在解決問題的過程中實(shí)現(xiàn)的．至于問題的由來，自然很大程度上離不開教師的引導(dǎo)、啟發(fā)和指點(diǎn)．此外，在探究學(xué)習(xí)的過程中，教師能否為學(xué)生營造一個(gè)有利于促進(jìn)學(xué)生探究活動(dòng)深入進(jìn)行的互動(dòng)場，也是探究能否持續(xù)、獲得成功的重要因素．

總之，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動(dòng)，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的重要途徑，它有利于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的情感，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信和克服困難的意志力；有利于培養(yǎng)學(xué)生自主意識和合作精神，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展．作為一名數(shù)學(xué)教師，必須預(yù)以重視，并自覺踐行．