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(三門縣教育局教研室 浙江三門 317100)

例析數(shù)學(xué)知識(shí)的深層次理解

●祝敏芝

(三門縣教育局教研室 浙江三門 317100)

現(xiàn)今教學(xué)實(shí)踐中，教學(xué)模式、教學(xué)藝術(shù)愈來愈被教師所重視，情境設(shè)置可謂創(chuàng)意迭出、精彩紛呈，但很多教師忽視了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與發(fā)展過程、知識(shí)之間的相互融合、數(shù)學(xué)的道理及思想方法的研究，以至于學(xué)生掌握的各個(gè)知識(shí)點(diǎn)相對(duì)孤立，整體性不強(qiáng)．無論是數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐還是教學(xué)研究，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、深層次理解數(shù)學(xué)知識(shí)都是十分重要的．

深層次理解數(shù)學(xué)知識(shí)的涵義是廣泛的，至少應(yīng)該包含以下3個(gè)方面：(1)明晰數(shù)學(xué)知識(shí)的背景、形成與發(fā)展過程，結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)自然合理地詮釋新知識(shí)；(2)深刻理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)、結(jié)構(gòu)體系，準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯意義，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)之間的融合；(3)挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)涵的思想方法，明晰數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，體會(huì)數(shù)學(xué)的智慧價(jià)值．當(dāng)然，這三者之間又是相互滲透、密不可分的．

1 明晰數(shù)學(xué)知識(shí)背景，自然合理地詮釋新知識(shí)

任何數(shù)學(xué)知識(shí)都有一個(gè)萌芽、生長、發(fā)展的過程．“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，要詮釋一個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)，首先要明晰知識(shí)背景及其發(fā)展過程．下面舉2個(gè)案例：案例1通過知識(shí)的橫向聯(lián)系類比提出；案例2通過知識(shí)的縱向聯(lián)系追溯知識(shí)的形成背景.

案例1橢圓概念的引入

取一條定長的細(xì)繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫出的軌跡是一個(gè)圓．如果把細(xì)繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點(diǎn)處，如上操作，畫出的軌跡是什么曲線？對(duì)比圓的定義作答，在橢圓形成的過程中，哪些量是固定不變的？哪些量是變化的？你能發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的規(guī)律嗎？類比圓得到橢圓的實(shí)踐操作可以讓學(xué)生感悟到軌跡生成是變與不變的辯證統(tǒng)一．歸納、提升并指導(dǎo)學(xué)生課外探究：動(dòng)點(diǎn)軌跡通常通過定點(diǎn)(定直線)的距離(或其他的幾何量)及其四則運(yùn)算為常數(shù)得到．

案例2弧度制的起源與發(fā)展

2 理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)及結(jié)構(gòu)體系,感悟知識(shí)之間的融合

數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與發(fā)展有內(nèi)在的邏輯必然性，知識(shí)與知識(shí)之間也具有內(nèi)在的邏輯結(jié)構(gòu)．教師能清楚地指明與某一知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的“知識(shí)群”，學(xué)生才能把握知識(shí)結(jié)構(gòu)的本質(zhì)，才會(huì)形成良好的數(shù)學(xué)整體觀．融合包括初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的融合、數(shù)學(xué)各部分的融合、幾何觀念和算術(shù)觀念的融合、感性與理性的融合等．如向量的研究就融合了數(shù)量、結(jié)構(gòu)及空間這3個(gè)數(shù)學(xué)基本領(lǐng)域．

案例3平面向量的概念及向量方法

“平面向量”第一節(jié)課的教學(xué)實(shí)踐往往表現(xiàn)為向量的形式化定義及幾個(gè)相關(guān)概念生澀地堆砌，尤其是單位向量與零向量的引入顯得有些蒼白、自由向量的描述很不自然．首先，這節(jié)課應(yīng)該讓學(xué)生懂得認(rèn)識(shí)、研究新對(duì)象的基本方法，即從具體背景中抽象出概念的共同特征—定性刻畫—定義—定量表示．如表示實(shí)數(shù)的數(shù)軸有3個(gè)要素：原點(diǎn)、單位長度、正方向.規(guī)定了“單位向量”、“零向量”，才有任意向量的大小表示．“相等向量”的規(guī)定表明數(shù)學(xué)中的向量是與起點(diǎn)位置無關(guān)的自由向量．從高等數(shù)學(xué)“向量空間”的理論結(jié)構(gòu)去理解，相等向量、平行向量是研究等價(jià)類的需要，零向量是加法群里的單位元，相反向量是一對(duì)逆元．

向量方法的一般步驟是：幾何元素—向量表示—向量運(yùn)算—幾何意義．向量及其運(yùn)算結(jié)構(gòu)充分展示了數(shù)量與空間這2個(gè)重要領(lǐng)域的完美融合．

例如，用向量方法證明：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．

以已知平面為xOy面建立空間坐標(biāo)系，在已知平面上取一組基向量e1=(a,b,0),e2=(c,d,0).設(shè)n=(x,y,z)為平面的法向量，則

n·e1=0,n·e2=0，

即

因?yàn)閍c-bd≠0,所以齊次線性方程組只有零解，即n=(0,0,z)．因此，與平面垂直的方向只有一個(gè)，即過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．

另外，平面向量的基本定理從數(shù)量上精確地詮釋了2條相交直線確定一個(gè)平面這一平面公理．如果從基本定理的角度去理解空間直線、平面之間的位置關(guān)系，會(huì)使直觀感知與理性思維渾然一體．如線面平行，直線只能與平面內(nèi)的一個(gè)方向平行；線面垂直的直觀感知是這條直線與平面內(nèi)的所有直線垂直，理性思維便是與平面內(nèi)的2條相交直線垂直．誠然，要確定直線、平面在空間的位置，還需考慮向量的起點(diǎn)．向量是算術(shù)觀念與幾何觀念、感性與理性的完美融合．

3 挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)涵的思想方法,啟迪數(shù)學(xué)智慧

宏觀上的數(shù)學(xué)思維是一種策略創(chuàng)造，微觀上才是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评恚缛毡緮?shù)學(xué)家米山國藏所說：“在學(xué)校所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)如果不用會(huì)很快忘掉，然而唯有銘刻在心中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維方法、研究方法和看問題的著眼點(diǎn)，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終生受益．”因此，挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)蘊(yùn)涵的思想方法，并將這些思想貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，才使學(xué)生懂得數(shù)學(xué)的道理、原理，才能讓他們從中獲得盡可能多、盡可能大的智慧力量．下文以方程思想中的消元(降維)方法為例，帶領(lǐng)讀者領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想的強(qiáng)大力量．

案例4等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)

方法1a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，…,an=an-1+d=a1+(n-1)d.

方法2a2=a1+d，a3=a2+d，…，an=an-1+d，將所有式子疊加相消，得到an=a1+(n-1)d．

對(duì)于方法1，很多教師僅僅從式子的形式結(jié)構(gòu)上理解，認(rèn)為是一種不完全的歸納推理，需要用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．方法2通過疊加將a2,a3,…,an-1相消，從而是嚴(yán)密的推理．殊不知，方法1本身就是樸素的、自然的數(shù)學(xué)歸納法，只不過是用簡約的數(shù)學(xué)符號(hào)語言進(jìn)行了概括.當(dāng)n=1時(shí)是正確的，由n=k時(shí)命題的正確性能推出n=k+1時(shí)的正確性，那么這個(gè)命題是正確的．如果將a1,d,n看作是已知數(shù)，那么a2=a1+d,a3=a2+d,…,an=an-1+d實(shí)質(zhì)上是以a2,a3,…,an(即n-1元)為未知數(shù)的n-1個(gè)一次方程，方法1的推導(dǎo)本質(zhì)上是代入消元，方法2是加減消元，消去a2,a3,…,an-1，解出an=a1+(n-1)d．從方程思想層面剖析，這個(gè)問題是正確的．

案例5簡單的線性規(guī)劃問題

如果我們設(shè)計(jì)問題：(1)利潤有哪些取值,如當(dāng)(x,y)=(4,0)時(shí),z=8；(2)在平面區(qū)域內(nèi)取哪些值時(shí)，z也為8，顯然直線2x+3y=8在平面區(qū)域內(nèi)的線段上的任一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的z值都相同；(3)取其他點(diǎn)利潤又有怎樣的分布規(guī)律，區(qū)域內(nèi)與直線2x+3y=8平行的任一斜線段上的每一點(diǎn)取到同一個(gè)z值，然后分析z值的幾何意義．至此，合理自然地將二維的平面區(qū)域最值問題轉(zhuǎn)化為一維平行直線系的縱截距的最值問題．這是數(shù)形結(jié)合的思想方法，但是從根本上看卻是“降維”方法，這是通常中的奇巧，平凡中的不凡，可謂“大音希聲，大象無形”．

又如空間幾何體的三視圖，課本上有這樣一句話：“我們需要從多個(gè)角度進(jìn)行投影，才能較好地把握幾何體的形狀、大?。边@句話的表述是不確切的.因?yàn)榭臻g幾何體上任意一個(gè)點(diǎn)的位置由空間直角坐標(biāo)系中的三維坐標(biāo)確定，而三視圖是幾何體在3個(gè)坐標(biāo)平面上的3個(gè)正投影，可以確定一個(gè)點(diǎn)的三維坐標(biāo)，所以三視圖能精確描述空間幾何體的形狀與大小．在實(shí)際應(yīng)用中，將三視圖作為制作實(shí)物模型的圖紙，這是三維空間到二維平面的轉(zhuǎn)化．

4 結(jié)束語

數(shù)學(xué)是充滿智慧、使人聰明的學(xué)科．它在啟迪學(xué)生智慧方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢和不可推卸的責(zé)任．在教學(xué)過程中，教師在關(guān)注教學(xué)方式、教學(xué)方法的同時(shí)，更要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的背景及其邏輯意義，深刻領(lǐng)悟其中所反映的思想方法，挖掘知識(shí)所蘊(yùn)涵的科學(xué)方法、理性思維過程和價(jià)值觀資源．深層次理解數(shù)學(xué)是艱辛而充滿智慧的過程，需要教師有“撥開云霧見月明”的透徹，有“一語天然萬古新，豪華洗盡見真淳”的悟性．本文力取弱水三千之一瓢，以期更多的教師“博學(xué)之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之”．

[1] 克萊因.高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)[M]． 吳大任，舒湘芹，陳義章，譯.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.

[2] 章建躍．中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題(續(xù))[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2010(4)：2-6．

[3] 李昌官．在讀懂?dāng)?shù)學(xué)的基礎(chǔ)上教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào),2011(8)：20-23．

[4] 李袆．學(xué)會(huì)追問“數(shù)學(xué)”——數(shù)學(xué)教師成長的重要階梯[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊,2011(11)：1-4.