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(希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽浙江工作站 浙江杭州 310013)

2012年希望杯九年級浙江卷數(shù)學(xué)試題評析

●施儲

(希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽浙江工作站 浙江杭州 310013)

一年一度的希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽決賽于4月8日上午在浙江各地如期展開.浙江省九年級2012年有8 500多學(xué)生參加了本次競賽的一試,其中有1 700余位學(xué)生進入二試.

希望杯試題一如既往地遵循“激發(fā)廣大中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心,提高數(shù)學(xué)思維能力和綜合素質(zhì)”的原則,為學(xué)有特長的學(xué)生提供了一個展示個性化和創(chuàng)造力的平臺.

2012年希望杯決賽九年級試題在往年的形式上加強了基礎(chǔ)知識和基本數(shù)學(xué)思想方法的考查,使參加競賽的學(xué)生經(jīng)歷了一場較高要求的模擬訓(xùn)練,使得在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上學(xué)有余力的學(xué)生得到了一次很好的數(shù)學(xué)思維的提升,對在不久后的中考拿下試卷中10%的較難題也是一次有益的演練.

試卷基本上圍繞初中數(shù)學(xué)新課程中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四大領(lǐng)域,有較廣的知識覆蓋面和突出重點內(nèi)容的主線.整份試卷90%以上的題目圍繞函數(shù)、方程、不等式以及特殊三角形特殊四邊形和圓這些重點內(nèi)容展開，強調(diào)了基礎(chǔ)知識的重要性,與中考的內(nèi)容要求緊密相關(guān).

試題從多層次、多角度體現(xiàn)了常用的數(shù)學(xué)方法和重要的數(shù)學(xué)思想.如：

第2題已知函數(shù)

若使y=k成立的x值恰好有3個，則k的值為______.

可以作出分段的二次函數(shù)圖像(拋物線)和平行于x軸的直線來找到交點.

第9題若實數(shù)x,y,z滿足x+y=4 和xy=z2+4, 則x+2y+3z=______．

由條件知有2種思路:一是消去y,配方成z2+(x-2)2=0;二是從條件形式上看是已知x,y的和與積,可以考慮以x,y為根構(gòu)造一元二次方程利用判別式解決.

第12題在長方形ABCD中，放入6個形狀、大小相同的長方形，所標(biāo)尺寸如圖1所示，則圖中陰影部分的面積為______cm2．

圖1

根據(jù)條件設(shè)小長方形的長寬分別為a,b,可以以數(shù)助形建立關(guān)于a,b的方程組來求解.

可通過換元、替換、因式分解等多種變形求解.

(1)求a+b+c的值；

(2)若滿足a-b+c=0，求二次函數(shù)的解析式；

(3)求a-b+c的取值范圍.

此題以二次函數(shù)為背景,需要采用令值、夾逼、消元、判別式、配方、不等關(guān)系等多種思想方法綜合加以解決.

以上幾個題目的考查,都說明只有把數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法緊密地結(jié)合在一起,才能促進思維的靈活度,提高解決數(shù)學(xué)問題的水平.

還有一類題目是我們稱之為“能力型”的問題.比如

第7題小明與小華做游戲，記分規(guī)則如下：開始,每人記分牌上都是1分，以后每贏一次就將自己的記分牌上的得分乘以3.游戲結(jié)束后，小明的得分減去小華的得分恰好是675的正整數(shù)倍，則小明至少比小華多贏( )分.

第11題“上升數(shù)”是指一個數(shù)中右邊數(shù)字比左邊數(shù)字大的自然數(shù)(如34，568，2 469等).現(xiàn)任取一個兩位數(shù)，則它是上升數(shù)的概率是______.

第15題現(xiàn)有長為150 cm的一根鐵絲，要截成若干個小段，每段的長度都是不小于1的整數(shù).若其中任意3小段都不能組成三角形，則當(dāng)截成的線段最多時，共有______種截法.

上述題目對具備小學(xué)數(shù)學(xué)知識但有較高能力的學(xué)生,即可順利解決,而有了大學(xué)知識但能力不夠的學(xué)生卻仍然解決不了.

作為數(shù)學(xué)競賽,個別題目又在課本的要求外提升了一步,如第8題中拋物線中點的縱坐標(biāo)和橫坐

圖2

標(biāo)之間,呈一等差數(shù)列的關(guān)系,要使經(jīng)過的格點盡量多，則這個等差數(shù)列的公差要盡量小，且為整數(shù),因此得公差為1(如圖2);在第13題和第15題中2次用到三角形的外心來解決問題;第18題中,直接求a+b+c的值條件不夠,是通過條件得到a+b+c≥2，同時又由a+b+c≤2,得到a+b+c=2.這樣的方法我們稱之為“夾逼法”.

北京組委會接受了浙江工作站的思路和理念,2012年第一次增加了九年級的希望杯競賽,但是為了更符合浙江考生的實際水平以及公平公正等原因,九年級仍然采用了浙江工作站命題組的特別試卷.從讓九年級數(shù)學(xué)水平較高的學(xué)生取得競賽和中考雙豐收的目的出發(fā),試卷中避免了希望杯競賽大綱中關(guān)于邏輯類、數(shù)論類的題目,盡可能地與中考內(nèi)容接軌.

在此筆者向在第22屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽中獲得好成績的學(xué)生表示祝賀,衷心希望廣大學(xué)生和競賽指導(dǎo)教師繼續(xù)支持希望杯浙江工作站的各項工作.

《中學(xué)教研》(數(shù)學(xué))征訂征稿啟事

《中學(xué)教研》(數(shù)學(xué))是由浙江師范大學(xué)主辦的中學(xué)數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)類刊物.本刊設(shè)有“名師論壇”、“教學(xué)研究”、“解題技法”、“課堂聚焦”、“研究心得”、“初數(shù)新探”、“高考中考”、“競賽之窗”等欄目.熱忱歡迎新老讀者賜稿并訂閱.

本刊第8期將重點刊登圍繞2012年高考數(shù)學(xué)試題評析與研究的論文，敬請廣大教師與教研員踴躍投稿，來稿請標(biāo)注“高考試題評析”，以便及時審理，截稿日期：2012年7月1日.

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