●

(杭州學(xué)軍中學(xué) 浙江杭州 310012)

讓數(shù)學(xué)競賽走近更多師生——2012年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題評析

●鄭日鋒

(杭州學(xué)軍中學(xué) 浙江杭州 310012)

長期以來，許多師生覺得數(shù)學(xué)競賽試題深不可測，認(rèn)為只有競賽教練或參加競賽輔導(dǎo)的學(xué)生才可以去研究或做數(shù)學(xué)競賽試題，因此避而遠(yuǎn)之．其實(shí)，近幾年來，從全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試到大部分省市的數(shù)學(xué)競賽試題都在降低難度上下了功夫，旨在讓更多的高中學(xué)生參與到數(shù)學(xué)競賽活動中來，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的魅力，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．因此許多數(shù)學(xué)競賽試題實(shí)際上是教材知識的拓展與深化，呈現(xiàn)出“高考化”的傾向，有人認(rèn)為省數(shù)學(xué)競賽試題是提前了2個月的高考．2012年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題繼承了前3年試題的特色，在平凡中見新奇，刻意降低了試題難度，真正體現(xiàn)了讓數(shù)學(xué)競賽走近更多師生.本文簡述其特點(diǎn)．

1 高考味

1．1 降低試題的起點(diǎn)

試卷第1，2，3，4，5，6，7，11題，考查高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，這些題目來源于課本，解決的方法都是基本方法，難度與高考試題中的基礎(chǔ)題相當(dāng)，這種降低試題起點(diǎn)的做法能增強(qiáng)學(xué)生解題的信心．

1.2 突出數(shù)學(xué)思想方法的考查

試卷對函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想等進(jìn)行了全面的考查.

第10題設(shè)f(x)=x2+bx+c,若方程f(x)=x無實(shí)根，則方程f(f(x))=x

( )

A．有4個相異實(shí)根 B．有2個相異實(shí)根

C．有1個實(shí)根 D．無實(shí)根

分析本題是一個迭代函數(shù)的不動點(diǎn)問題.已知f(x)沒有不動點(diǎn)，判斷二階迭代函數(shù)有幾個不動點(diǎn).因?yàn)閥=f(x)-x是二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的二次函數(shù)，所以f(x)>x對任意x∈R恒成立(否則若存在x1∈R使f(x1)x2，所以由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，必存在x0在x1與x2之間，使f(x0)=x0矛盾).因此f(f(x))>f(x)>x，于是有f(f(x))>x對任意x∈R恒成立，即方程f(f(x))=x無實(shí)根，故選D．在解題過程中體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想．

第14題已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足ab=c2+d2=1，則(a-c)2+(b-d)2的最小值為________.

分析本題若從代數(shù)的角度很難找到解題思路，但從幾何角度便能輕松解決．

圖1

分析本題要解含有絕對值的三角方程，通常的思路是去掉絕對值，分2種情況討論：

(1)若cosx≥0，則

1-cosx=sinx(1+cosx)，

即

sinxcosx+sinx+cosx-1=0.

設(shè)sinx+cosx=t，則

t2+2t-3=0，

解得

t=1(t=-3舍去)，

因此

sinx+cosx=1,

即

sinx=1,cosx=0或sinx=0,cosx=1.

(2)若cosx<0，同理可得

sinx=0,cosx=-1.

本題體現(xiàn)了分類討論思想．

顯然，N∈Z+,且x1,x2是方程x2-2Nx+qn=0的2個根.由x1≤x2,得

本題體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．

2 競賽味

2個附加題，第21題屬于平面幾何問題，第(1)小題比較簡單，只需利用弦切角與夾弧所對的圓心角的關(guān)系；第(2)小題，需利用對邊之和相等的四邊形是圓外切四邊形；第(3)小題只需證2個圓的圓心重合，這需要利用圓外一點(diǎn)作圓的切線的性質(zhì)．平面幾何歷來是數(shù)學(xué)競賽的熱點(diǎn)內(nèi)容，本題難度并不大．第22題屬于離散函數(shù)的值域問題，需要利用2個整數(shù)的和與差具有相同的奇偶性，并通過構(gòu)造證明各函數(shù)值的存在，這個題目的答案可以猜出來.本題是全卷中較難的，并具有較濃競賽味的一個問題．

3 研究味

一份好的試卷往往能讓人回味無窮，作為一線教師需要對試題進(jìn)行多方位的探索．

3.1 優(yōu)解

分析除命題者提供的解答外，以下的解答更簡便．

設(shè)P(m,0)(-5≤m≤5),A(x1,y1),B(x2,y2),則直線AB的方程為x=m+ty.由

得

(16t2+25)y2+32mty+16m2-400=0,

(1+t2)[(y1+y2)2-2y1y2]=

3.2 延伸

第10題可以進(jìn)行如下拓展:

拓展1設(shè)f(x)是定義域?yàn)镮的連續(xù)函數(shù)，且f(x)∈I，f1(x)=f(x)，fn(x)=f(fn-1(x))(n≥2,n∈N*),則由函數(shù)y=f1(x)-x不存在零點(diǎn)，可得對任意n∈N*，函數(shù)y=fn(x)-x都不存在零點(diǎn).

有興趣的讀者可查看文獻(xiàn)[1].

此題可以進(jìn)行如下拓展:

證明過程與原題相仿．

第22題設(shè)i1,i2,…,i10為1,2,…,10的一個排列，記S=|i1-i2|+|i3-i4|+…+|i9-i10|，求S可以取到的所有值．

經(jīng)過探究，本題可以進(jìn)行如下拓展:

拓展3設(shè)n為正偶數(shù)，i1,i2,…,in為1,2,…,n的一個排列，記S=|i1-i2|+|i3-i4|+…+|in-1-in|，則

3．3 認(rèn)識

第21題第(2)小題，標(biāo)準(zhǔn)答案中直接利用對邊之和相等的四邊形是圓外切四邊形，不證明直接應(yīng)用，而平面幾何書籍中只指出，圓外切四邊形的對邊之和相等，沒有研究其逆命題是否成立，因此應(yīng)先證明逆命題成立．

第13題作為B卷的試題考查了反正弦函數(shù)，超出了新課程標(biāo)準(zhǔn)要求的范圍，非附加題的試題考查的內(nèi)容應(yīng)局限在高考范圍內(nèi)比較合適．

[1] 鄭日鋒．一類迭代函數(shù)零點(diǎn)問題解決的心路歷程[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(8):63-64．