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(杭州高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 310003 )

解析幾何競賽題的解題方法

●周順鈿

(杭州高級(jí)中學(xué) 浙江杭州 310003 )

解析幾何的本質(zhì)是用代數(shù)方法研究幾何問題，其核心思想是數(shù)形結(jié)合.解決解析幾何問題的根本方法是坐標(biāo)法：建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)曲線的方程，列出關(guān)系式，再進(jìn)一步找聯(lián)系、找轉(zhuǎn)化點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)問題的解答，最后加以驗(yàn)證.把這樣的解題思維鏈優(yōu)化為“建、設(shè)、列、解、驗(yàn)”五字訣，其中“設(shè)、列、解”是常用的解題方法.

通過坐標(biāo)方法將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，其解題過程中的關(guān)鍵是減少運(yùn)算量.

有關(guān)直線與圓的問題，利用圓和直線的幾何性質(zhì)就可降低運(yùn)算量；有關(guān)圓錐曲線的問題，采用圓錐曲線的定義、設(shè)而不求的方法和一元二次方程的韋達(dá)定理是解題的通性通法；選擇曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程也能簡化解題過程.

1 利用平面幾何性質(zhì)

例1已知直線L:x+y-9=0和圓M:2x2+2y2-8x-8y-1=0，點(diǎn)A在直線L上，B，C為圓M上的2個(gè)點(diǎn).在△ABC中，∠BAC=45°，AB過圓心M，則點(diǎn)A橫坐標(biāo)的取值范圍為______．

(2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

又由圓冪定理得

代入式(1)，式(2)得

評(píng)注靈活運(yùn)用平面幾何性質(zhì)，是減少解幾運(yùn)算量的有效途徑.

2 利用圓錐曲線的定義

( )

解設(shè)PI延長線交x軸于點(diǎn)Q，則

于是

故選A．

例4設(shè)雙曲線x2-y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若△PF1F2的頂點(diǎn)P在第一象限的雙曲線上移動(dòng), 求△PF1F2的內(nèi)切圓的圓心軌跡以及該內(nèi)切圓在邊PF2上的切點(diǎn)軌跡.

(2005年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題)

圖1

解如圖1，記雙曲線在x軸上的2個(gè)頂點(diǎn)為A(1, 0)，B(-1, 0)，G為△PF1F2的內(nèi)切圓在邊F1F2上的切點(diǎn)，H為△PF1F2的內(nèi)切圓在邊PF2上的切點(diǎn)，K為△PF1F2的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點(diǎn),則

|GF1|-|GF2|=|KF1|-|HF2|=

(|KF1|+|KP|)-(|HF2|+|HP|)=

|PF1|-|PF2|.

因?yàn)镻(x,y)是在x2-y2=1第一象限的曲線上移動(dòng)，當(dāng)PF2沿雙曲線趨于無窮時(shí)，與x軸正向交角θ的正切的極限是

從而

故點(diǎn)H的軌跡方程為

也可以用直角坐標(biāo)形式.由于點(diǎn)G與A(1, 0)重合，是定點(diǎn)，故該內(nèi)切圓圓心的軌跡是直線段，方程為x=1(0

評(píng)注充分利用圓錐曲線的定義，抓住本質(zhì).

3 利用韋達(dá)定理

例5如圖2，P是拋物線y2=2x上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B,C在y軸上，圓(x-1)2+y2=1內(nèi)切于△PBC，求△PBC面積的最小值．

(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

圖2

解設(shè)P(x0,y0)，B(0,b),C(0,c),不妨設(shè)b>c,則直線PB的方程

整理得

(y0-b)x-x0y+x0b=0.

又圓心(1,0)到PB的距離為1，從而

易知x0>0，上式化簡得

(x0-2)b2+2y0b-x0=0,

同理有

(x0-2)c2+2y0c-x0=0,

從而

于是

評(píng)注本題視b,c為方程的2個(gè)根，利用韋達(dá)定理減少了運(yùn)算量.

4 利用參數(shù)方程

(1)求a,b之值；

(2)設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為(6, 0)，B為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，以A為直角頂點(diǎn)，作等腰直角△ABP(其中A，B，P按順時(shí)針方向排列)，求點(diǎn)P的軌跡方程.

(2008年浙江省高中數(shù)學(xué)競賽試題)

解(1)設(shè)c為橢圓的焦半徑，則

于是

a=5，b=3.

(2)設(shè)B(x1,y1),，P(x,y),|AB|=r,則以A為圓心，r為半徑的圓的參數(shù)方程為

設(shè)AB與x軸正方向夾角為θ，點(diǎn)B的參數(shù)表示為

點(diǎn)P的參數(shù)表示為

即

又由于點(diǎn)B在橢圓上，可得

此即為點(diǎn)P的軌跡方程.

5 利用坐標(biāo)方法

解設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則過點(diǎn)A的橢圓E的切線方程為lA:

過點(diǎn)B的動(dòng)圓C的切線方程為lB:

x2x+y2y=R2.

因?yàn)橹本€lA,lB重合，所以

代入橢圓方程，得

又OB⊥AB，有

OA2=AB2+R2，

a2+b2-2ab,

(2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

證明因?yàn)閥2=nx-1與y=x的交點(diǎn)為

顯然有

nkm-km-1(m≥2) .

(8)

由于k1=n是整數(shù)，得

解析幾何綜合題是全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽一試的必考題.從上述例題可以看出，解析幾何題難度大、要求高、思維活，但只要我們遵循考綱、夯實(shí)基礎(chǔ)、拓寬思路、溝通知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，熟練掌握數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法，必能適應(yīng)數(shù)學(xué)競賽的要求，解答好解析幾何競賽題.