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(臺州初級中學(xué) 浙江臨海 317000)

一次、二次方程與不等式競賽題賞析

●王飛兵

(臺州初級中學(xué) 浙江臨海 317000)

方程與不等式是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要基礎(chǔ)，它們內(nèi)容豐富、形式靈活，具有很強的應(yīng)用性.因此，以方程與不等式為載體的試題常常成為各種數(shù)學(xué)競賽試題的考查熱點之一.這些試題不僅考查了學(xué)生應(yīng)該掌握的數(shù)學(xué)知識與解題技巧，更滲透了重要的數(shù)學(xué)思想，展示了學(xué)生的數(shù)學(xué)品質(zhì)與素養(yǎng).縱觀近幾年的各類數(shù)學(xué)競賽題，方程與不等式類試題的考查重點已從知識點本身向知識點的應(yīng)用方向發(fā)展.

1 一次方程或不等式(組)

1.1 一次方程(組)

例1母親節(jié)到了，小紅、小莉、小瑩到花店買花送給自己的母親.小紅買了3枝玫瑰，7枝康乃馨，1枝百合花，付了14元；小莉買了4枝玫瑰，10枝康乃馨，1枝百合花，付了16元；小瑩買了上面3種花各2枝，則她應(yīng)付______元．

(2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽天津賽區(qū)初賽試題)

分析設(shè)玫瑰、康乃馨、百合花的單價分別為x元，y元，z元，根據(jù)已知條件，列出方程組

x+y+z=10,

因此小瑩應(yīng)付20元．

說明這是一個典型的一次不定方程應(yīng)用題，消元與整體思想是解題的關(guān)鍵.

( )

A.1 B.2 C.3 D.4

(2007年《數(shù)學(xué)周報》杯全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

說明對于含絕對值的二元一次方程(組)，依據(jù)絕對值的意義進(jìn)行分類討論是關(guān)鍵.

1.2 一次不等式(組)

例3已知關(guān)于x的不等式組

(1)

(2)

其整數(shù)解為1,2,3, 則整數(shù)對(a,b)的組數(shù)是

( )

A.32 B.35 C.40 D.48

(第21屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽初中試題)

即

從而

0

得

a=1，2，3，4，5，6，7，b=16，17，18，19，20.

故整數(shù)對(a，b)可能的取值有35組．

說明本題求解的關(guān)鍵是對不等式組的整數(shù)解僅為1，2，3的全面理解，要熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，利用數(shù)軸研究不等式組的解會更直觀.

1.3 一次方程與不等式(組)結(jié)合

例42位八年級同學(xué)和m位九年級同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場．記分規(guī)則是：每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分,平局各得1分.比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則m的值為______.

(2012年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析設(shè)平局?jǐn)?shù)為a，勝(負(fù))局?jǐn)?shù)為b，可得

2a+3b=130，

2a+2b=(m+1)(m+2),

于是

0≤b=130-(m+1)(m+2)≤43，

即

87≤(m+1)(m+2)≤130,

由此得

m=8或m=9.

說明本題整合了一次方程與不等式知識，具有一定的綜合性與探究性.

( )．

(2009年《數(shù)學(xué)周報》杯全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析當(dāng)2a-b=0時，方程組無解；當(dāng)2a-b≠0時，方程組的解為

由已知得

即

由a，b的實際意義為1，2，3，4，5，6，可得

共有5×2=10種情況；

或

共3種情況．

說明本題首先要理解二元一次方程組有無數(shù)多組解、無解、有唯一解的條件，再結(jié)合不等式組、概率相關(guān)知識解題.

2 二次方程

2.1 一元二次方程

例6已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+(3a-1)x+2a2-1=0的2個實數(shù)根，使得(3x1-x2)(x1-3x2)=-80成立，求其實數(shù)a的可能值.

(2011年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)試題)

分析由條件知

Δ=(3a-1)2-4(2a2-1)=a2-6a+5≥0，

解得

a≥5或a≤1．

又由根與系數(shù)的關(guān)系知

x1+x2=-(3a-1)，x1x2=2a2-1，

于是

(3x1-x2)(x1-3x2)= 3(x1+x2)2-16x1x2=

-5a2-18a+19.

由-5a2-18a+19=-80,解得

說明根的判別式與韋達(dá)定理是實系數(shù)一元二次方程的重要基礎(chǔ)知識，也是解決有關(guān)方程根的性質(zhì)、方程參變量的范圍及代數(shù)式的值等問題的重要工具.

例7已知實數(shù)x,y,z滿足x+y=4及xy=z2+4，求x+2y+3z的值.

(2009年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽預(yù)賽試題)

分析構(gòu)造以x,y為根的一元二次方程t2-4t+z2+4=0，其中

Δ=16-4(z2+4)=-4z2≥0,

于是z=0，代入求得x=y=2，從而

x+2y+3z=6.

說明利用韋達(dá)定理構(gòu)造以t為未知數(shù)的一元二次方程，再用判別式及解的意義求解.

例8邊長為整數(shù)的直角三角形，若其2條直角邊長是方程x2-(k+2)x+4k=0的2個根，求k的值并確定直角三角形3條邊之長．

(2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西賽區(qū)初賽試題)

分析設(shè)直角邊為a，b(a

a+b=k+2，ab=4k.

因方程的根為整數(shù)，故其判別式為平方數(shù)，設(shè)

(k+2)2-16k=n2,

即(k-6+n)(k-6-n)=1×32=2×16=4×8.

因為

k-6+n>k-6-n,

所以

當(dāng)k=15時，

a+b=17,ab=60,

得

a=5,b=12,c=13；

當(dāng)k=12時，

a+b=14,ab=48，

得

a=6,b=8,c=10.

說明本題實際上是一個含參系數(shù)的一元二次方程的正整數(shù)根問題，這類題一般可用因式分解法將問題轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或二元一次不定方程求解，但要注意Δ為完全平方式.

2.2 可化為一元二次方程的問題

例9若方程x2-3x-1=0的2個根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，則a+b-2c的值為

( )

A．-13 B．-9 C．6 D．0.

(2010年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

分析設(shè)m是方程x2-3x-1=0的一個根，則

m2-3m-1=0，

即

m2=3m+1.

由題意，m也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，因此

m4+am2+bm+c=0，

把m2=3m+1代入此式，整理得

(9+a)m2+(6+b)m+c+1=0,

從而方程x2-3x-1=0的2個根也是方程

(9+a)x2+(6+b)m+c+1=0

的根.這2個方程實質(zhì)上應(yīng)該是同一個一元二次方程，從而

(9+a)x2+(6+b)x+c+1=k(x2-3x-1)，

其中k為常數(shù)，故

即

b=-3a-33,c=-a-10,

因此

a+b-2c=-13.

說明本題通過降次將高次方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再根據(jù)同解方程根的意義解題.

例10整數(shù)a使得關(guān)于x，y的方程組

對于每一個實數(shù)b總有實數(shù)解，求整數(shù)a的值.

(2008年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽武漢市CASI杯選拔賽試題)

分析消去x,得關(guān)于y的方程

2y2+(3a-b)y-(b2-2a2+3b+4)=0.

根據(jù)題意得Δ≥0，即

(3b-a+4)2-(8a2-8a-16)≥0，

則

8a2-8a-16≤0，

即

8(a-2)(a+1)≤0，

得

-1≤a≤2，

從而整數(shù)a的值為-1，0，1，2.

說明本題通過消元將二元方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，再用方程根的判別式及不等式知識解題.

方程與不等式為解決數(shù)學(xué)問題(包括實際問題)提供了重要思想與方法，除了本文所討論的常見試題類型外，還有分式方程、無理方程、應(yīng)用題等其他類型的試題.方程與不等式類試題的解法沒有固定的模式，需在熟練掌握各知識要點的基礎(chǔ)上，根據(jù)試題本身的特點，靈活運用加以解決.