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(浬浦中學 浙江諸暨 311824)

捕捉高考共鳴點把握高考新動向——高考整數(shù)題盤點

●王蘇文

(浬浦中學 浙江諸暨 311824)

很多省份都實行了高考獨立命題，各省的高考試卷中常出現(xiàn)一些共鳴點，如2011年的高考卷中有幾份試卷都出現(xiàn)了有關整數(shù)問題的試題.整數(shù)問題在高中數(shù)學競賽中經(jīng)常遇到，在高考試卷中出現(xiàn)較少.在這么多的省份中尤為突出的是陜西省和安徽省，陜西省已連續(xù)2年出現(xiàn)與整數(shù)有關的試題，安徽省同一份試卷出現(xiàn)了2道與整數(shù)有關的試題，著實讓高考試題在橫向、縱向上都形成了共鳴.根據(jù)這些高考整數(shù)題，筆者大致將其分為3類：整點類、方程類、條件類.

1 整點類

整點類問題在解析幾何中是一種常見題型，如直角坐標系下的整數(shù)點、線性規(guī)劃中符合條件的整數(shù)解等.整點具有特殊性，我們正好利用這個特殊性進行解答，如排除法.

例1設A(0，0),B(4，0)，C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).記N(t)為ABCD內(nèi)部(不含邊界)的整點的個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點，則函數(shù)N(t)的值域為

( )

A．{9,10,11} B．{9,10,12}

C．{9,11,12} D．{10,11,12}

(2011年北京市數(shù)學高考理科試題)

例2在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數(shù)，就稱點(x,y)為整點，下列命題中正確的是____________(寫出所有正確命題的編號).

①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點；

②如果k與b都是無理數(shù)，則直線y=kx+b不經(jīng)過任何整點；

③直線l經(jīng)過無窮多個整點，當且僅當l經(jīng)過2個不同的整點；

④直線y=kx+b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是k與b均為有理數(shù)；

⑤存在恰經(jīng)過一個整點的直線.

(2011年安徽省數(shù)學高考理科試題)

分析考查直線方程，同時也考查了邏輯推理能力，難度較大.

y1-y2=k(x1-x2)，

故點(x1-x2,y1-y2)也在直線y=kx上,即直線y=kx經(jīng)過無窮多個整點.將y=kx上下平移得到y(tǒng)=kx+b，從而直線y=kx+b也經(jīng)過無窮多個整點，故③正確.

因為k與b都是有理數(shù),所以直線y=kx+b不一定經(jīng)過整點，故④錯誤.

例3設實數(shù)x,y滿足不等式組

若x,y為整數(shù)，則3x+4y的最小值是

( )

A．14 B．16 C．17 D．19

(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題)

圖1

分析該題考查線性規(guī)劃中的最優(yōu)問題，與一般題目的區(qū)別是x與y均取整數(shù).如圖1所示，可畫出不等式所在的區(qū)域，不難看出3x+4y在(4，1)處取到最小值.故選B.

點評此類整點問題常可采用網(wǎng)格法(直角坐標系下畫出網(wǎng)格)、平移調(diào)整法(平移至對應的最優(yōu)位置)、估算法(取一些特殊量進行計算)得到正確的結(jié)論.

2 方程類

方程類問題通常與方程有關，針對不同的問題，如何進行合理轉(zhuǎn)化是關鍵，往往先要了解求根的過程，然后再去挖掘解決問題的方法.

例4設n∈N+，一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根的充要條件是n=________．

(2011年陜西省數(shù)學高考理科試題)

分析該方程要求整數(shù)根，且方程的各個系數(shù)均為整數(shù)，故判別式必須為完全平方數(shù)才可能成立.可直接利用求根公式進行計算，然后用完全平方數(shù)與整除進行判斷和計算.

解由求根公式得

又因為n∈N+，可取n=1,2,3,4，驗證可知，n=3,4符合題意；反之當n=3,4時，可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整數(shù)根.故所求n的值為3,4.

變形已知函數(shù)f(x)=ax2+(4a+2)x+4a-6，則使函數(shù)f(x)至少有一個整數(shù)零點的所有正整數(shù)a的值之和等于

( )

A．8 B．20 C．26 D．28

(該題除了采用例4的方法之外，還可用數(shù)形結(jié)合、反解a求x的范圍等方法求解.)

(1)如果g(x)=f′(x)-2x-3在x=-2處取得最小值為-5，求f(x)的解析式;

(2)如果m+n<10(m,n∈N+),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，試求m和n的值(注：區(qū)間(a,b)的長度為b-a).

(2011年江西省數(shù)學高考文科試題)

分析第(1)小題略.第(2)小題的實質(zhì)是f′(x)=0的2個實數(shù)根的差為整數(shù)，但不等價于2個根為整數(shù)，故求解中不能混淆.

f′(x)=x2+2mx+n<0.

由于遞減區(qū)間的長度是正整數(shù)，故可設f′(x)=x2+2mx+n=0的2個實數(shù)根為a,b(b>a)，由韋達定理得

區(qū)間長度

因為m,n∈N+，m+n<10，且b-a為整數(shù)，所以

點評求解此類問題的關鍵是抓住方程根的思想，滿足整數(shù)所需條件該如何進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合平時所學整數(shù)解的有關方法進行解答.

3 條件類

條件類問題所給條件中的一些量是整數(shù)，要求在解答過程注意量所取的范圍，有時正因為條件的特殊性，使問題得以簡化.

例6命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是

( )

A．所有不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)

B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)

C．存在一個不能被2整除的數(shù)都是偶數(shù)

D．存在一個能被2整除的數(shù)都不是偶數(shù)

(2011年安徽省數(shù)學高考理科試題)

分析該題考查全稱命題的否定.把全稱量詞改為存在量詞，并把結(jié)果否定.故選D.

例7設S是整數(shù)集Z的非空子集，如果任意a,b∈S有ab∈S，則稱S關于數(shù)的乘法是封閉的．若T,V是Z的2個不相交的非空子集，T∪V=Z且任意a,b,c∈T,有abc∈T；任意x,y,z∈V,有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是

( )

A．T,V中至少有一個關于乘法是封閉的

B．T,V中至多有一個關于乘法是封閉的

C．T,V中有且只有一個關于乘法是封閉的

D．T,V中每一個關于乘法都是封閉的

(2011年廣東省數(shù)學高考理科試題)

分析該題主要考查基本邏輯、推斷能力，可用排除法判斷.故選A.

例8設m，k為整數(shù)，方程mx2-kx+2=0在區(qū)間(0,1)內(nèi)有2個不同的根，則m+k的最小值為

( )

A．-8 B．8 C．12 D．13

(2011年重慶市數(shù)學高考理科試題)

分析該題前半部分考查二次方程根的分布為主，后半部分考查類似于線性規(guī)劃中的整點問題.

解由題意得到下列不等式組

且m,k為大于0的整數(shù)，求m+k的最小值.可利用整點類問題的求解方法進行解答.余下部分略，答案為D.

例9某學校要招開學生代表大會，規(guī)定各班每10人推選1名代表，當各班人數(shù)除以10的余數(shù)大于6時再增選1名代表.那么，各班可推選代表人數(shù)y與該班人數(shù)x之間的函數(shù)關系用取整函數(shù)y=[x]([x]表示不大于x的最大整數(shù))可以表示為

( )

(2010年陜西省數(shù)學高考理科試題)

分析該題的關鍵是取整的處理.

方法1特殊值法.令x=56,y=5,排除選項C，D；令x=57，y=6,排除選項A.故選B.

方法2設x=10m+α(0≤α≤9).

當0≤α≤6時，

當6<α≤9時，

點評求解此類問題的關鍵是如何對不可忽視的條件進行轉(zhuǎn)化和應用.這類題目可利用條件的特殊性(整數(shù))取特別元素進行判斷，故?？捎门懦ㄇ蠼?

在本文中例舉的高考整數(shù)類問題只是一個契機，關鍵是從高考卷中去發(fā)現(xiàn)問題，找出試卷的共鳴點，為今后的高考復習提供一個新的方向，但切不可盲目地去挖掘，要做到不離教材，不離大綱.