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(襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學(xué) 湖北襄陽 441123)

巧拼三角板求tan15°的值

●趙國瑞

(襄州區(qū)黃集鎮(zhèn)初級中學(xué) 湖北襄陽 441123)

圖1 圖2

或許一些學(xué)生會認為，三角板的作用只是用來作圖，其實不然，它里面包含的數(shù)學(xué)知識可多啦！利用三角板求15°角的三角函數(shù)值便是它的一個巧妙應(yīng)用，下面僅以求tan15°的值為例．

1 利用15°=45°-30°

方法1將一副三角板按圖3所示的方式拼接，其中AC與AE在一條直線上，BC與AD交于點M，則∠BAD=45°-30°=15°．過點M作MN⊥AE于點N，則△MNC是等腰直角三角形，△AMN是半等邊三角形．

圖3 圖4

得

故

方法2將一副三角板按圖4所示的方式拼接，其中AB與AD在一條直線上，BC與AE交于點M，則∠CAE=45°-30°=15°．過點M作MN⊥AE于點N，則△MNC是等腰直角三角形，△ABM是半等邊三角形．

得

故

評注將方法1中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°即是方法2的拼接方式．

方法3將一副三角板按圖5所示的方式拼接，其中等腰直角三角形的斜邊與半等邊三角形的較長直角邊重合，BD與AE交于點M，則∠BAE=45°-30°=15°．

以下解法同方法1．

評注將方法1中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°再沿直線AC翻折即是方法3的拼接方式．

圖5 圖6

方法4將一副三角板按圖6所示的方式拼接，其中AB與AE在一條直線上，BC與AD交于點M，則∠CAD=45°-30°=15°．

以下解法同方法2．

評注將方法3中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°即是方法4的拼接方式．

2 利用15°=60°-45°

方法5將一副三角板按圖7所示的方式拼接，其中AC與AE在一條直線上，AB與DE交于點M，則∠BAD=60°-45°=15°．過點M作MN⊥AE于點N，則△AMN是等腰直角三角形，△MNE是半等邊三角形．

得

故

圖7 圖8

方法6將一副三角板按圖8所示的方式拼接，其中AD與AB在一條直線上，AC與DE交于點M，則∠CAE=60°-45°=15°．過點M作MN⊥AE于點N，則△ADM是等腰直角三角形，△MNE是半等邊三角形．

得

故

評注將方法5中的△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°即是方法6的拼接方式．

圖9 圖10

方法7將一副三角板按圖9所示的方式拼接，其中AB與AE在一條直線上，AC與DE交于點M，則∠DAC=60°-45°=15°．

以下解法同方法5．

評注將方法5中的△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)45°再沿直線AE翻折即是方法7的拼接方式．

方法8將一副三角板按圖10所示的方式拼接，其中AC與AD在一條直線上，則∠BAE=60°-45°=15°．過點B作BM⊥AE于點M，BF⊥AC于點F，BF的反向延長線交AE于點N，則△ABF是等腰直角三角形，△BNM是半等邊三角形．

以下解法同方法6．

評注將方法7中的△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15°即是方法8的拼接方式．

3 利用15°=90°-45°-30°

圖11

方法9將一副三角板按圖11所示的方式拼接，其中等腰直角三角形的斜邊與半等邊三角形的較長直角邊重合．過點D作DE∥AC交BC的反向延長線于點E,過點A作AF∥BC交DE的反向延長線于點F,則∠DAF=90°-45°-30°=15°，△BDE是等腰直角三角形．

故

上面的拼接方式中，2個三角板都有一條邊(或其中的一部分)重合．其實，我們也可以無需使一條邊(或其中的一部分)重合，但要保持其中一條邊平行，同樣可以求出tan15°的值．如圖12(其中EF∥BC)和圖13(其中AC∥DF)，你能根據(jù)這2個圖形求出tan15°的值嗎？

圖12 圖13

[1] 郭紅茹，鄭泉水.巧拼三角板求sin15°的值[J].中學(xué)生數(shù)學(xué),2011(9)：15.