周 蘊

(鄭州市規(guī)劃勘測設(shè)計研究院，鄭州 450052)

基于MATLAB的秩虧自由網(wǎng)平差研究

周 蘊

(鄭州市規(guī)劃勘測設(shè)計研究院，鄭州 450052)

針對傳統(tǒng)經(jīng)典平差固定基準(zhǔn)存在的缺陷，研究基于MATLAB的秩虧自由網(wǎng)平差算法，在分析秩虧自由網(wǎng)平差函數(shù)模型和隨機模型的基礎(chǔ)上，運用MTLAB進行秩虧自由網(wǎng)平差，結(jié)果表明克服傳統(tǒng)經(jīng)典平差的不足，對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行更嚴密的平差，準(zhǔn)確地給出所有觀測點的誤差，對指導(dǎo)變形分析有重要的應(yīng)用價值。

MATLAB；秩；自由網(wǎng)；平差

MATLAB是由美國MathWorks公司推出的用于數(shù)值計算和圖形處理的科學(xué)計算系統(tǒng)環(huán)境。MATLAB的英文全稱是Matrix Laboratory，可直譯為矩陣實驗室。測量數(shù)據(jù)的處理特別是測量平差主要應(yīng)用矩陣運算，而MATLAB又特別易于做矩陣運算，因此研究開發(fā)基于MATLAB的秩虧自由網(wǎng)平差具有極好的應(yīng)用價值。

1.秩虧自由網(wǎng)平差數(shù)學(xué)模型

1.1秩虧自由網(wǎng)平差概述

經(jīng)典平差中，都是以已知的起算數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，將控制網(wǎng)固定在已知數(shù)據(jù)上。如水準(zhǔn)網(wǎng)必須至少已知網(wǎng)中某一點的高程，平面網(wǎng)至少要已知一點的坐標(biāo)、一條邊的邊長和一條邊的方位角。當(dāng)網(wǎng)中沒有必要的起算數(shù)據(jù)時，我們稱其為自由網(wǎng)，網(wǎng)中沒有起算數(shù)據(jù)時的平差方法，即自由網(wǎng)平差。

函數(shù)模型為：

V=AX-l

(1)

隨機模型為：

D=σ02Q=σ02P-1

(2)

在經(jīng)典平差中，A為列滿秩矩陣，而在自由網(wǎng)平差中，R(A)=t-d，d為秩虧數(shù)，在最小二乘原則下，求得法方程為：

NX=ATPl

(3)

R(N)=R(A)=t-d。由于N是奇異的，故法方程是相容方程，它可以有無數(shù)解。在經(jīng)典平差里，滿足誤差方程的V有無數(shù)組，選擇其中VTPV=min這組?？梢赃\用相似的原理附加一個最小范數(shù)條件

XTX=min

(4)

從而得到法方程的唯一解。

X=N+ATPl

(5)

(5)式中，N+為N的偽逆，這就是基于廣義逆矩陣原理的直接平差方法(即秩虧自由網(wǎng)平差)。

1.2 邊角網(wǎng)秩虧自由網(wǎng)平差數(shù)學(xué)模型

1.2.1 觀測邊長誤差方程

圖1 邊長觀測示意圖

(6)

按泰勒公式展開，得

(7)

式中

令

(8)

可得測邊的誤差方程為

(9)

(9)式中右邊前4項之和是由坐標(biāo)改正數(shù)引起的邊長改正數(shù)。(9)式就是測邊坐標(biāo)平差誤差方程的一般形式，因在自由網(wǎng)中兩端都是待定點，所以系數(shù)均不為0。

1.2.2觀測方向誤差方程

圖2 方向觀測示意圖

(10)

由近似坐標(biāo)引起的近似坐標(biāo)方位角的改正數(shù)為δαjk，即

(11)

將方位角改正數(shù)表達為坐標(biāo)改正數(shù)可以利用

(12)

將(12)、(11)及

代入(10)式，即得jk方向的誤差方程：

(13)

(13)式中常數(shù)項

1.2.3 邊角網(wǎng)平差隨機模型

確定邊、方向兩類觀測的隨機模型，主要是為了給定兩類觀測值的權(quán)比問題。邊角網(wǎng)中各邊長和各方向觀測相互之間都是獨立的，因此隨機模型D=σ02Q=σ02P-1中的權(quán)陣是對角陣。設(shè)網(wǎng)中有n1個角度觀測β1,β2,β3…,βn和n2個邊長觀測S1，S2，…,Sn,n1+n2=n,則權(quán)陣為

P=diag(pβ1,…,pβn1,ps1,…,psn2)

(14)

定權(quán)公式為：

(15)

式中σβ1=σβ2=…=σβ。定權(quán)時一般令

(16)

即以方向觀測中誤差為邊角網(wǎng)平差中的單位權(quán)觀測值中誤差，由此可得：

(17)

2.基于MATLAB的自由網(wǎng)平差

2.1 控制點的自動獲取

為減少用戶不干預(yù)的情況下進行平差計算，本文采用從原始觀測文件獲取控制點的方法。具體算法為：在邊角網(wǎng)中，把所有點視為測站點或照準(zhǔn)點，所以只需對邊長和角度觀測文件進行遍歷并把點號存入相應(yīng)數(shù)組中即可。

2.2近似坐標(biāo)的計算

考慮到變形監(jiān)測的邊角網(wǎng)大多為邊角同測網(wǎng)，在計算近似坐標(biāo)時采用的是極坐標(biāo)法，基本思路：若存在已知方位角，首先判斷該方位角的起點是否是已知點A、終點是否是所求的待定點P，如果是，搜索邊長AP即可按極坐標(biāo)公式計算坐標(biāo)；若沒有已知方位角或其終點不是P，則搜索與P有方向觀測的已知點A，再由A搜索另一個已知點B，且A到B有方向觀測值，于是可求出AP的方位角，在搜索AP的邊長觀測值，由極坐標(biāo)公式即可計算P點的坐標(biāo)。

2.3平差計算和精度評定

在邊角網(wǎng)的誤差方程的線性化的過程中運用的是泰勒級數(shù)進行展開的，為保證平差結(jié)果的正確性，理論上說近似值應(yīng)很接近坐標(biāo)的真實值，這樣引起的改正數(shù)誤差才足夠小。本文采用的是迭代趨近，直至坐標(biāo)改正值小于0.1mm，這就保證了平差坐標(biāo)的可靠性，為后續(xù)的變形分析提供可靠的依據(jù)。

3.秩虧自由網(wǎng)平差結(jié)果及分析

采用的數(shù)據(jù)為pad2002邊角網(wǎng)算例(原網(wǎng)形如圖 3)，進行自由網(wǎng)平差。平差結(jié)果見表1，表 2和表 3，驗后平面單位權(quán)中誤差=0.67s，迭代次數(shù)為3。

圖3 采用算例邊角網(wǎng)網(wǎng)形圖

測站點照準(zhǔn)點邊長觀測值(m)改正數(shù)(mm)邊長平差值(m)132300.061.342300.06134143090.3531.83090.3548253643.234-9.313643.22469232115.9194.062115.92306244363.611-6.54363.6045352169.0733.522169.07652342620.9091.022620.91002453922.86-1.973922.85803

比較圖 3和圖 4不難看出，采用重心基準(zhǔn)進行的秩虧自由網(wǎng)平差算法，有效克服了傳統(tǒng)經(jīng)典平差固定基準(zhǔn)的缺陷，準(zhǔn)確給出了所有觀測點(含固定基準(zhǔn)下已知點1，2)的誤差并形象繪制了誤差橢圓。為變形網(wǎng)的分析和變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的后處理提供了可靠的數(shù)據(jù)和準(zhǔn)確快捷的圖形分析依據(jù)。

4.結(jié)語

本文采用MATLAB開發(fā)的自由網(wǎng)平差程序克服了傳統(tǒng)經(jīng)典平差的不足，對變形監(jiān)測數(shù)據(jù)進行了更嚴密的平差，準(zhǔn)確的給出了所有觀測點的誤差。對指導(dǎo)變形分析和工程應(yīng)用有著重要的實際意義和應(yīng)用價值。

表2 方向平差結(jié)果

表3 坐標(biāo)平差結(jié)果

圖4 邊角網(wǎng)網(wǎng)形圖及誤差橢圓圖(誤差橢圓比例為100)

[1]劉衛(wèi)國，陳昭平，張穎.MATLAB程序設(shè)計與應(yīng)用[M].北京:高等教育出版社，2002.

[2]左廷英，劉慶元.MATLAB在測量控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計與平差中的應(yīng)用[J].礦山測量，2003(2)：46-47.

[3]陶忠剛，王寶山，王勇，等.MATLAB軟件在測量平差中的應(yīng)用[J].焦作工學(xué)院學(xué)報，2002(5)：393-395.

[4]武漢大學(xué)測繪學(xué)院測量平差學(xué)科組.測量平差基礎(chǔ)[M].武漢：武漢大學(xué)出版社，2003.

2012-01-14

周蘊(1979—)，男，湖南攸縣人，鄭州市規(guī)劃勘測設(shè)計研究院工程師，主要從事測繪工程技術(shù)研究。

P228.4；TP319.9

A

1008-3715(2012)02-0119-03

(責(zé)任編輯呂志遠)