梁銀雙

(中州大學(xué)信息工程學(xué)院，鄭州450044)

1．引言

人們?cè)趯?duì)非線性科學(xué)的研究中提出了孤子的概念。早在1834年，英國(guó)科學(xué)家Scott．Russel就發(fā)現(xiàn)了孤子水波，隨著近代數(shù)學(xué)與物理的發(fā)展，人們?cè)诹黧w、等離子體、非線性光學(xué)、生物神經(jīng)傳播等一系列領(lǐng)域中，都觀察到孤立子。孤立子理論已成為非線性科學(xué)的一個(gè)重要研究領(lǐng)域，它引起人們極大的興趣。另一方面，這一理論又為非線性偏微分方程提供了求顯式解的方法。如反散射方法［1］，變換方法［2］，Darboux變換方法［3］，Hirota雙線性方法［4］，齊次平衡法［5］，分離變量法［6］，對(duì)稱約束法［7］，Lie 對(duì)稱法［8］等。其中，Darboux變換方法是一種自然而美妙的方法。它從平凡解出發(fā)，可以得到孤子方程的精確解。這些方法的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，使得大量的非線性偏微分方程得以成功求解。

2．Darboux變換的起源

1882 年，G．Darboux研究了一個(gè)二階線性常微分方程(現(xiàn)在稱之為一維Schr?dinger方程)的特征值問(wèn)題:

其中，u(x)是給定的函數(shù)，稱為勢(shì)函數(shù)，λ是常數(shù)，稱為譜參數(shù)。Darboux發(fā)現(xiàn)了下面的事實(shí):

設(shè) u(x)和 φ(x，λ)是滿足(2．1)式的兩個(gè)函數(shù)，對(duì)任意給定的常數(shù) λ0，令 f(x)= φ(x，λ0)，

即f(x)是(2．1)式當(dāng)λ=λ0時(shí)的一個(gè)解。

這樣，借助于f(x)=φ(x，λ0)所做的變換(2．2)將滿足(2．1)的一組函數(shù)(u，φ)變化為滿足同一方程的另一組函數(shù)(u′，φ′)。這就是最原始的Darboux變換:

(u，φ)→(u′，φ′)，在 f(x)≠0 處它是有效的。

3．Darboux變換的基本思路

Darboux變換的基本思路:利用非線性方程的一個(gè)解及其Lax對(duì)的解，借助于譜問(wèn)題之間的規(guī)范變換，得

則這里所定義的函數(shù) u′(x)和 φ′(x，λ)也滿足(2．1)式，即到Darboux變換，然后通過(guò)代數(shù)運(yùn)算及微分運(yùn)算來(lái)得出非線性方程的新解和Lax對(duì)相應(yīng)的解。

近年來(lái)，Darboux變換方法得到迅速發(fā)展，已成功地應(yīng)用于求解一系列與特征值問(wèn)題相聯(lián)系的非線性孤子方程的顯式解，發(fā)展趨勢(shì)由一維到多維，由單一的孤子演化方程到耦合演化方程組。［9］Darboux變換的優(yōu)點(diǎn)非常明顯，只需作一次完全可積的線性方程組的求解，然后就可用代數(shù)運(yùn)算來(lái)得到非線性孤子方程的新解。

4．KdV方程的Darboux變換

下面以KdV方程為例來(lái)說(shuō)明方法。

關(guān)于φ的線性方程組

這里 u，φ 均為 x，t的函數(shù)。

命題 KdV方程(4．1)是方程組(4．2)的可積條件。

證明 由(4．2)的第一式得出φxx=(-λ-u)φ

由方程組(4．2)的第二式得

方程組(4．2)可積的充要條件是(4．3)與(4．4)相等，且對(duì)任意λ成立，則u需滿足KdV方程(4．1)式。因此KdV方程(4．1)是方程組(4．2)的可積條件。同時(shí)方程組(4．2)也稱為KdV方程的Lax對(duì)。

進(jìn)一步驗(yàn)證還發(fā)現(xiàn)上述Darboux變換(2．2)也適用于KdV方程(4．1)。

即有如下定理:

定理 如果已知KdV方程的一個(gè)解u，通過(guò)解線性方程組(4．2)得到φ(x，t，λ)，取λ得一個(gè)值λ0，得到

由Darboux變換(2．2)就可獲得KdV方程的一個(gè)新解u′，同時(shí)(2．2)中的φ′為相應(yīng)的Lax對(duì)的解。

證明 設(shè)從KdV方程的平凡解u=0出發(fā)，此時(shí)線性方程組(4．2)可化為:

根據(jù)λ的取值分兩種情況來(lái)討論方程組(4．5)的解。

取 λ0=-1，則 f(x，t)= φ(x，t，-1)=ex+4t，lnf(x，t)=x+4t

代入 Darboux變換(2．2)得 u′=0。

其中，c1，c2為任意常數(shù)。

取 λ0=1，則 f(x，t)= φ(x，t，1)=cos(x+4t)，lnf(x，t)=ln cos(x+4t)

代入Darboux變換(2．2):

得:

其中u′(x)為KdV方程的一個(gè)新解，同時(shí)φ′(x，λ)為相應(yīng)的Lax對(duì)的解。

［1］Ablowitz M J，Clarkson P A．Solitons＆nonlinear evolution equations and Inverse Scattering［M］．Cambridge University Press，1991．

［2］Rogers C，Schief W K．Darboux Transformations，Geometry and Mordem Applications in Soliton Theory［M］．Cambridge University Press，2002．

［3］Matveev V B，Salle A M．Darboux Transformation and Solitons［M］．Springer，Berlin，1991．

［4］Hirota R．The Direct Method in Soliton Theory［M］．Cambridge University Press，2004．

［5］范恩貴．齊次平衡法，Weiss-Tabor-Carnevale及Clarkson-Kruskal約化之間的聯(lián)系［J］．物理學(xué)報(bào)，2000(49):1409．

［6］Lou S Y，Chen L L．Formal variable separation aproach for nonintegrable models［J］．J．Math．Phys，1999(40):6491．

［7］Lou S Y，Hu X B．Infinitely many Lax pairs and Symmetry constraints of the KP equation［J］．J．math．phys，1997(38):6401．

［8］Tu G Z．A new Hierarchy of Integrable Systems and Its Hamiltonian Structures［J］．Scientia．Sinica，1988，31(12):28．

［9］谷超豪，胡和生，周子翔．孤立子中的Darboux變換及其幾何應(yīng)用［M］．上海:上?？萍汲霭嫔?，1999．