潘 杰， 周 玲

（合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，合肥 230009）

一道大學生數(shù)學競賽題的聯(lián)想

潘 杰， 周 玲

（合肥工業(yè)大學數(shù)學學院，合肥 230009）

通過對一個正弦函數(shù)不等式的類比，給出了余弦函數(shù)、正切函數(shù)、雙曲正弦函數(shù)、雙曲余弦函數(shù)、反正弦函數(shù)、反雙曲正弦函數(shù)的不等式.

類比聯(lián)想；初等函數(shù)不等式；冪級數(shù)展開式

2006年湖南省大學生數(shù)學競賽數(shù)學專業(yè)試題的A－2題為：

設x∈R，｜x｜＜1，證明不等式

解答如下.

當｜x｜≤1時，由sinx的冪級數(shù)展開式得

通過對不等式（1），（2）的類比，本文給出幾個類似的不等式，有關結論下面以命題形式給出.

命題設x∈R，｜x｜＜1，則有

證明如下.

當｜x｜≤1時，由cosx的冪級數(shù)展開式得

注 也可用證明不等式（1）的方法來證明不等式（5）.

用證明不等式（2）的方法可證不等式（6），過程從略.

類似不等式（3）的證明可證不等式（7）；類似不等式（4）的證明可證不等式（8）.

故不等式（9）成立.

由不等式（9）知，當｜x｜≤1時，

此即不等式（10）.

再由［1］知，當｜x｜≤1時，

特別當x＝1時，有

所以當｜x｜≤1時，

故不等式（11）成立.

類似不等式（10）的證明可證不等式（12）.

仍由［1］知，當｜x｜≤1時，

特別當x＝1時，有

所當當｜x｜≤1時，

故不等式（13）成立.

類似不等式（10）的證明可證不等式（14）.

［1］菲赫金哥爾茨ГМ.微積分學教程（第二卷第二分冊）［M］.北京大學高等數(shù)學教研室譯.北京：人民教育出版社，1954：414，447，450.

O174

C

1672－1454（2012）04－0136－04

2009－05－20

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