楊鎮(zhèn)杭

（浙江省電力試驗(yàn)研究院，杭州 310014）

幾何凸（凹）函數(shù)積分的上（下）界比較及其一般結(jié)果

楊鎮(zhèn)杭

（浙江省電力試驗(yàn)研究院，杭州 310014）

運(yùn)用齊次函數(shù)的分析性質(zhì)，在基本不等式中插入了一個(gè)齊次加權(quán)”平均”，推廣加細(xì)了基本不等式.作為特例，得到了加權(quán)的對數(shù)，指數(shù)平均不等式，從而部分解決了文［1］提出的問題.

幾何凸函數(shù)；齊次函數(shù)；加權(quán)對數(shù)平均；基本不等式；上下界

1 問題的提出

定義 稱φ為［a，b］上的嚴(yán)格幾何凸函數(shù)，如果φ（x）在［a，b］?R＋上連續(xù)，且對于任意x1，x2∈［a，b］，t∈（0，1），有

若（1.1）反向，則稱φ為［a，b］上的嚴(yán)格幾何凹函數(shù).

對幾何凸函數(shù)的研究已有較豐富的參考文獻(xiàn)，見［1］－［4］.其中文［1］研究了幾何凸（凹）函數(shù)的定積分的上（下）界，得到了下列結(jié)果：

定理1.1設(shè)b＞a＞0，函數(shù)f在［a，b］上正值可積.如果f為［a，b］上的幾何凸函數(shù)，則有

定理1.2的兩個(gè)不等式可改寫為

于是定理1.1（1.2）中幾何凸（凹）函數(shù)的定積分的兩個(gè)上（下）界的比較就歸結(jié)為以下問題：

這正是張小明先生在文［1］附錄2中所列問題9的一部分.

這個(gè)問題的深刻意義在于：1）它事實(shí)上提出了加權(quán)的對數(shù)平均問題，這在以往此類文章中均未見涉及，而仍然停留在算術(shù)平均或擬算術(shù)平均的范圍；2）它涉及到加權(quán)對數(shù)平均對加權(quán)算術(shù)平均和加權(quán)幾何平均的隔離問題.因此對這個(gè)問題的研究將會導(dǎo)出一系列新的平均不等式.

以下我們將運(yùn)用齊次函數(shù)的分析性質(zhì)，獲得確定（1.11）大小關(guān)系的更為廣泛的結(jié)果.作為特例，我們有

2 預(yù)備定理

為建立比（1.12）更廣泛的結(jié)果，我們需要齊次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（見［8］）.為方便起見，引述如下.

定義2.1設(shè)f（x，y）定義在Ω上.若對任意t＞0，（tx，ty）∈Ω，有

則稱f（x，y）是x，y的n次齊次函數(shù).

引理2.1設(shè)f（x，y）是Ω上的n次齊次函數(shù)，且fx，fy均存在，則fx，fy均是Ω上的n－1次齊次函數(shù)，且有

特別地，當(dāng)n＝1時(shí)，fx，fy均為0次齊次函數(shù)，即有

如果f（x，y）≠0，則（2.6）可改寫為

由（2.3）～（2.7），我們可方便地證明下列兩個(gè)預(yù)備定理.

證因H（u，v）為正數(shù)u，v的正一次齊次函數(shù)，由（2.3），（2.4）和（2.7）可知

因此，如果I＜0，則Fx（x，y）關(guān)于y嚴(yán)格單調(diào)遞減，故

（i）當(dāng)y＞x時(shí)，有Fx（x，y）＜Fx（x，x）＝0，此時(shí)F（x，y）關(guān)于x單調(diào)遞減，從而有F（x，y）＞F（y，y）＝0；

（ii）當(dāng)y＜x時(shí)，有Fx（x，y）＞Fx（x，x）＝0，此時(shí)F（x，y）關(guān)于x單調(diào)遞增，從而有F（x，y）＞F（y，y）＝0.

由（i），（ii）可知，不論y＞x還是y＜x總有F（x，y）＞0，即

同理可證，當(dāng)I＞0時(shí)不等式（2.11）的反向不等式成立.

預(yù)備定理2.2設(shè)H（u，v）為正數(shù)u，v的正一次齊次函數(shù)，a，b，x，y＞0，x≠y，則當(dāng)Huv＜

（＞）0時(shí)，有

其中p，q的意義同（2.9）.

因此，如果Huv＜0，則Fx（x，y）關(guān)于y嚴(yán)格單調(diào)遞減，故

（i）當(dāng)y＞x時(shí)，有Fx（x，y）＜Fx（x，x）＝0，此時(shí)F（x，y）關(guān)于x單調(diào)遞減，從而有F（x，y）＞F（y，y）＝0；

（ii）當(dāng)y＜x時(shí)，有Fx（x，y）＞Fx（x，x）＝0，此時(shí)F（x，y）關(guān)于x單調(diào)遞增，從而有F（x，y）＞F（y，y）＝0.

由（i），（ii）可知，不論y＞x還是y＜x總有F（x，y）＞0，即

同理可證，當(dāng)Huv＞0時(shí)不等式（2.13）的反向不等式成立.

由預(yù)備定理1和預(yù)備定理2，我們有

推論2.1設(shè)H（u，v）為正數(shù)u，v的正一次齊次函數(shù)，a，b，x，y＞0，x≠y，則當(dāng)I＝（lnH）uv＜0且Huv＞0時(shí)，有

其中p，q的意義同（2.9）.

不等式（2.14）表明，在基本不等式中還可插入一個(gè)新的”平均”（事實(shí)上它未必是一個(gè)平均，而徒具平均形式而已）.

3 問題的解決

接下來，讓我們運(yùn)用第2節(jié)的預(yù)備定理和推論，證明不等式（1.12）.

令H（u，v）＝L（u，v），則H（u，v）是正數(shù)u，v的正一次齊次函數(shù)，

由推論2.1知不等式（2.14）成立.而

令x＝f（a），y＝f（b）即得不等式（1.12）.

4 其 他

本文的預(yù)備定理除了包含基本不等式外，還包含了一些新的平均不等式.例如，設(shè)a，b，x，y＞0，x≠y，那么

這是基本不等式的加權(quán)形式.

這是指數(shù)平均不等式［9］.

（iii）H（u，v）＝｜u－v｜（u≠v）為u，v的正一次齊次函數(shù).通過偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算可得I＝ln（H）uv＞0，Huv＝0.由預(yù)備定理2.1可得

這實(shí)際上是加權(quán)的基本不等式的反向不等式［10］.

［1］張小明.幾何凸函數(shù)［M］.合肥：安徽大學(xué)出版社，2004.

［2］張小明，吳善和.幾何凸函數(shù)的一個(gè)充要條件及其應(yīng)用［J］.湖南理工學(xué)院學(xué)報(bào)，2003，16（3）：17.

［3］張小明，李世杰.若干凸函數(shù)不等式在幾何凸函數(shù)中的移植［J］.徐州師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2004，22（2）：25－28.

［4］Constantin P，Niculescu.Convexity according to the geometric mean［J］.Mathematical Inequalities ＆Applications，2000，3（2）：155－167.

［5］哈代G H，李特伍德J E，波利亞G.不等式［M］.北京：科學(xué)出版社，1965.

［6］密特利諾維奇D S.解析不等式［M］.北京：科學(xué)出版社，1987.

［7］匡繼昌.常用不等式［M］.2版.長沙：湖南教育出版社，1993：39－49.

［8］楊鎮(zhèn)杭.齊次函數(shù)凸性的簡易判定及應(yīng)用［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2004，7（4）：14－19.

［9］楊鎮(zhèn)杭.指數(shù)平均與對數(shù)平均［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識，1987（4）：76－78.

［10］楊鎮(zhèn)杭.反向基本不等式及應(yīng)用［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（5）：147－151.

Comparison of Upper（Lower）Bounds for Integral of Geometrically Convex（Concave）Functions and General Results

YANGZhen-hang
（Zhejiang Province Electric Power Test and Research Institute，Hangzhou 310014，China）

Using the analytic properties of homogeneous functions，a homogeneous weighted mean is inserted in basic inequality，which generalizes and refines the basic inequality.As special examples，the inequalities for weighted logarithmic mean and exponential mean are presented，consequently apart of problems in article［1］is resolved.

geometrically convex functions；homogeneous functions；weighted logarithmic mean；basic inequality；upper and lower bounds

O178

A

1672－1454（2012）04－0076－05

2009－06－23；［修改日期］2009－12－07