陳 璟， 李潔坤

（柳州師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣西柳州 545004）

一類具有飽和因子的奇異時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒保性能控制

陳 璟， 李潔坤

（柳州師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，廣西柳州 545004）

研究了具有飽和因子的非線性奇異時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒保性能控制問題.目的是設(shè)計(jì)一個(gè)魯棒控制器和保成本控制器，通過線性矩陣不等式方法（LMI）得出了魯棒控制器和保性能控制器存在的充分條件.當(dāng)這些LMI方法是可解時(shí)，分別給出了魯棒控制器和保性能控制器的解析表達(dá)式.

不確定奇異系統(tǒng)；魯棒控制；保性能控制；LMI方法

1 引 言

因?yàn)槠娈愊到y(tǒng)理論在實(shí)際中的廣泛應(yīng)用而受到越來越多的關(guān)注，特別是線性奇異系統(tǒng)的H∞控制問題的研究有了很大的發(fā)展［1－4］.非線性奇異系統(tǒng)的研究也有一定的進(jìn)展，文獻(xiàn)［5－6］討論了非線性廣義系統(tǒng)的魯棒控制問題，得到了有意義的結(jié)果.本文研究具有飽和因子并含有不確定參數(shù)的非線性時(shí)滯廣義系統(tǒng)的魯棒保性能控制問題，通過線性矩陣不等式方法（LMI）得出了魯棒控制器和保性能控制器存在的充分條件.當(dāng)這些LMI方法是可解時(shí)，分別給出了魯棒控制器和保性能控制器的解析表達(dá)式.

2 問題描述

考慮如下不確定廣義系統(tǒng)：

式中x（t）∈Rn，u（t）∈Rm，ω（t）∈Rq，Z（t）∈Rp分別是系統(tǒng)的狀態(tài)向量，控制輸入，干擾輸入和控制輸出；A，B，B1，B2，B3，C，D是已知的適當(dāng)維數(shù)實(shí)常矩陣.ΔA，ΔA1，ΔB1，ΔB，表示適當(dāng)維數(shù)不確定矩陣.E∈Rn×n為奇異矩陣，且rand（E）＝r＜n（n為系統(tǒng)維數(shù)）.飽和因子

假設(shè)參數(shù)不確定項(xiàng)都具有如下結(jié)構(gòu)：

其中H，E1，E2，E3是己知的適維數(shù)的常數(shù)矩陣，F(xiàn)（t）是滿足不等式FT（t）F（t）≤I的約束函數(shù)矩陣，F(xiàn)（t）的每個(gè)元素是Lebesgue可測的.

對系統(tǒng)（1），選取性能指標(biāo)函數(shù)

式中Q＞0，R＞0為給定的對稱正定加權(quán)矩陣.

本文將考慮設(shè)計(jì)一反饋控制器

使系統(tǒng)（l）是保性能控制系統(tǒng).

將式（5）運(yùn)用到式（l）中，得閉環(huán)系統(tǒng)

3 主要結(jié)果

為了討論系統(tǒng)（1）的保性能控制，先給出如下引理.

引理1［7］廣義系統(tǒng)＝Ax（t）＋A1x（t－h(huán)）是正則、無脈沖且穩(wěn)定的，如果存在矩陣Q和矩陣P，使得

定理1給定常數(shù)γ＞0，對于不確定性廣義閉環(huán)系統(tǒng)（6）和不確定性矩陣（2）以及性能指標(biāo)（4），如果存在矩陣Q＞0及可逆矩陣P＞0，P∈Rn×n和存在ε＞0，使得不等式

則不確定性廣義系統(tǒng)（1）為H∞保性能系統(tǒng).且u（t）＝Kx（t）是系統(tǒng)（1）的一個(gè)H∞魯棒保性能控制器，性能指標(biāo)函數(shù)（4）存在上確界

在給定的零初值條件下，對于給定的常數(shù)γ＞0，令

由Schur補(bǔ)性質(zhì)可知，N＜0等價(jià)于式（8）成立，所以由式（11）可得‖z（t）‖2≤γ‖ω（t）‖2.

同時(shí)不考慮干擾，即ω（t）＝0，由于（8）成立，則

成立.再由Schur補(bǔ)性質(zhì)得

又由式（3）和（9）得ETP＝PTE≥0.根據(jù)引理1可知系統(tǒng)（6）穩(wěn)定、正則且無脈沖.

由式（8）和（10）并運(yùn)用Schur補(bǔ)性質(zhì)，有

綜上，由定義1得定理的結(jié)論成立.

定理1給出了系統(tǒng)（1）的H∞保性能魯棒控制器存在的一個(gè)充分條件，但由于式（8）中含有系統(tǒng)的不確定參數(shù)矩陣，因此不能直接用于控制器的設(shè)計(jì)，下面將不確定項(xiàng)消去.

（8）等價(jià)于

應(yīng)用矩陣的Schur補(bǔ)性質(zhì)式（13）對所有的不確定性成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)ε＞0，使得

綜上所述，得

定理2給定常數(shù)γ＞0，對于系統(tǒng)（1）和性能指標(biāo)函數(shù)（4），存在狀態(tài)反饋控制器K使得閉環(huán)系統(tǒng)（6）是H∞保性能系統(tǒng)當(dāng)且僅當(dāng)存在適當(dāng)常數(shù)ε＞0，具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣Y，W和非奇異X∈Rn×n，使得對所有的不確定性，不等式（7）和（15）成立.

此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)H∞保性能器為u（t）＝Y(jié)X－1x（t），相應(yīng)的可保性能指標(biāo)為

4 結(jié)束語

本文研究了一類狀態(tài)方程帶有時(shí)滯與飽和因子的奇異系統(tǒng)的魯棒保性能控制問題，利用線性矩陣不等式（LMI）方法巧妙地設(shè)計(jì)出狀態(tài)反饋控制器，并給出了系統(tǒng)的魯棒控制器和保性能控制器存在的充分條件.

［1］Yu L，Chu J.An LMI approach to guaranteed cost control of 1inear uncertain time－delay systems［J］.Automatic，1999，35（6）：1155－1159.

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［7］俞立，魯棒性——線性矩陣不等式處理方法［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2002.

Robust Guaranteed Cost Control for Uncertain Nonlinear Systems with Saturation Actuators

CHENJing，LIJie－kun
（Department of Mathematics and Computer Science，Liuzhou Teachers College，Guangxi 545004，China）

Robust control and guaranteed cost control problems for uncertain nonlinear structured perturbation systems with Saturation Actuators are discussed.The aim is to design a robust controller and a guaranteed cost controller.By means of the linear matrix inequality approach（LMI），sufficient conditions for existence of robust controller and guaranteed cost controller are presented.When these LMIs are feasible，explicit expressions of robust controller and guaranteed cost controllers are obtained respectively.

uncertain singular systems；robust control；guaranteed cost control；LMI approach

TP13

A

1672－1454（2012）04－0054－05

2009－09－22

柳州師范高等?？茖W(xué)校科研重點(diǎn)資助項(xiàng)目（LSZ2011A002）；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（11161029）