艾 姣， 馬保國， 吳利飛

（1.陜西省榆林第二實驗中學(xué)，陜西榆林 718000； 2.延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

Lω－空間的ωδ－緊性

艾 姣1， 馬保國2， 吳利飛1

（1.陜西省榆林第二實驗中學(xué)，陜西榆林 718000； 2.延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西延安 716000）

在Lω－空間中借助βα－ωδ－開覆蓋，定義了Lω－空間的ωδ－緊性，ωδ－基與ωδ－子基，并證明了ωδ－緊性被連續(xù)的Zadeh型函數(shù)所保持，Tychonoff乘積定理也成立.

Lω－空間；ωδ－開集；βα－ωδ－開覆蓋；ωδ－緊性

1 預(yù)備知識

在本文中L表示fuzzy格，即具有逆序?qū)蠈?yīng)“′”的完全分配格.0和1分別表示L中的最小元和最大元.M（L）表示L中全部分子之集，X表示非空集，LX表示X上的全體L－集.0X和1X分別表示LX中的最小元和最大元.M＊（LX）表示LX的全體分子之集.β（α）表示α（α∈L）的最大極小集，β＊（α）＝β（α）∩M（L）表示α的標準極小集，β（A）表示A的最大極小集，β＊（A）＝β（A）∩M＊（LX），記A（a）＝｛x∈X｜a∈β（A（x））｝.其余未說明的概念和記號見參考文獻.

定義1.1［1］設(shè)X為一個非空集合，ω：LX→LX為滿足下列條件的算子：

（i）ω（1X）＝1X；（ii）?A，B∈LX，A≤B，有ω（A）≤ω（B）；（iii）?P∈LX，有P≤ω（P）.則稱ω為L－fuzzy保序算子.如果A＝ω（A），則稱A為LX中的ω集.記Ω＝｛A∈LX｜A＝ω（A）｝，稱序?qū)Γ↙X，Ω）為L－fuzzy保序算子空間，簡稱為Lω－空間.當LX＝2X時，文［2］相應(yīng)地給出了定義，稱為ω－保序算子空間，并記（X，Δ）.

定義1.2［1］設(shè)（LX，Ω）是Lω－空間，xα∈M＊（LX），P∈LX.如果存在Q∈Ω使xα≤／Q且P≤Q，則稱P為xα的ω－遠域，記ωη（xα）為xα的所有ω－遠域構(gòu)成的集族.如果A∈LX且?P∈ωη（xα），有A≤／P，則稱xα為A的ω－附著點.A的所有ω－附著點之并稱為A的ω－閉包，記.如果A＝，則稱A為LX中的ω－閉集，記ωC（LX）為（LX，Ω）中的所有ω－閉集構(gòu)成的集族.如果A為ω－閉集，則稱A′為ω－開集，記ωO（LX）為（LX，Ω）中的所有ω－開集構(gòu)成的集族.如果P為ω－閉集且xα≤／P，則稱P為xα的ω－閉遠域，記ωη－（xα）為xα的所有ω－閉遠域構(gòu)成的集族.

定義1.3［2］設(shè)（LX，Ω）是Lω－空間，xα∈M＊（LX），A∈LX.如果?P∈ωη－（xα）有A≤／ωcl（ωint（P）），則稱xα為A的ωδ－附著點.記ωδcl（A）為A的所有ωδ－附著點之并，稱為A的ωδ－閉包.如果A＝ωδcl（A），則稱A為LX中的ωδ－閉集.如果A為ωδ－閉集，則稱A′為ωδ－開集，記ωδC（LX）（ωδO（LX））為（LX，Ω）中的所有ωδ－閉集（ωδ－開集）構(gòu)成的集族，而記

定義1.4設(shè)（LX，Ω）是Lω－空間，xα∈M＊（LX），P∈LX，如果P為ωδ－閉集且xα≤／P，則稱P為xα的ωδ－閉遠域，記ωδη－（xα）為xα的所有ωδ－閉遠域構(gòu)成的集族.如果存在xα的ωδ－閉遠域Q使P≤Q，則稱P為xα的ωδ－遠域，記ωδη（xα）為xα的所有ωδ－遠域構(gòu)成的集族.

定義1.5［3］設(shè)L1，L2是兩個F格，X與Y是兩個非空分明集，p：X→Y是分明映射，q：L1→L2是序同態(tài).則由p，q按下列方式誘導(dǎo)出一個從LX1到LX2的函數(shù)

稱f為廣義Zadeh型函數(shù)，并記為f＝pq.

定義1.6［4］設(shè)（LX，Ω）是Lω－空間，e∈M＊（LX），?為LX中的一個ω－開集族，即??ωO（LX），如果LX中的每個ω－開集都可表示為?中的若干成員之并，即?G∈ωO（LX），?φ??，使得G＝∨B∈φB，則稱?為（LX，Ω）中的一個ω－基.若γ?ωO（LX）中有限個成員的交的全體構(gòu)成（LX，Ω）的一個ω－基，則稱γ為（LX，Ω）的ω－子基.

定義1.7［5］設(shè)（LX，Ω）是Lω－空間，α∈M（L），G∈LX，Φ?ωO（LX），若?x∈X，xα?β（G′），有xα∈β（∨A∈ΦA(chǔ)），則稱Φ是G的一個βα－ω－開覆蓋.

定義1.8［5］設(shè)（LX，Ω）是Lω－空間，G∈LX，如果?α∈M（L），G的每個βα－ω－開覆蓋都有有限子族構(gòu)成G的βα－ω－開覆蓋，則稱G為ω－緊集.若G＝1X，則稱（LX，Ω）為ω－緊空間.

引理1.1［6］設(shè)L1，L2是完全分配格，f：L1→L2，則下列結(jié)論等價：

（i）f保極小集；（ii）f保任意sup.

2 ωδ－緊集

定義2.1 設(shè)（LX，Ω）是Lω－空間，α∈M（L），G∈LX，Φ?ωδO（LX），若?x∈X，xα?β（G′），有xα∈β（∨A∈ΦA(chǔ)），則稱Φ是G的一個βα－ωδ－開覆蓋.

顯然，Φ是G的一個βα－ωδ－開覆蓋當且僅當?x∈X，α∈β（G′（x）∨（∨A∈ΦA(chǔ)（x）））.

定義2.2 設(shè)（LX，Ω）是Lω－空間，G∈LX，如果?α∈M（L），G的每個βα－ωδ－開覆蓋都有有限子族構(gòu)成G的βα－ωδ－開覆蓋，則稱G為ωδ－緊集.若G＝1X，則稱（LX，Ω）為ωδ－緊空間.

3 Tychonoff乘積定理

定義1.7設(shè)（LX，Ω）是Lω－空間，e∈M＊（LX），?為LX中的一個ωδ－開集族，即??ωδO（LX），如果LX中的每個ωδ－開集都可表示為?中的若干成員之并，即?G∈ωδO（LX），?φ??，使得G＝∨B∈φB，則稱?為（LX，Ω）中的一個ωδ－基.若γ?ωδO（LX）中有限個成員的交的全體構(gòu)成（LX，Ω）的一個ωδ－基，則稱γ為（LX，Ω）的ωδ－子基.

定理3.1設(shè)?a，b∈L，β（a∧b）＝β（a）∩β（b），?是（LX，Ω）的ωδ－子基，G∈LX.若?α∈M（L），G的每個由?中的元組成的βα－ωδ－開覆蓋都有有限子族構(gòu)成G的βα－ωδ－開覆蓋，則G是ωδ－緊的.

證只須證G的每個βα－ωδ－開覆蓋都有有限子族構(gòu)成G的βα－ωδ－開覆蓋.令

［1］陳水利，董長清.L－fuzzy保序算子空間［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2002，16（專輯）：36－41.

［3］He Wei.Generalized Zadeh function［J］.Fuzzy Sets and Systems，1998，97：381－386.

［4］陳水利.L－fuzzy保序算子空間的ω－基及其性質(zhì)［J］.江漢石油學(xué)院學(xué)報，2003，25（3）：143－146.

［5］韓紅霞，孟廣武.L保序算子空間的ω－緊性［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2009，25（2）：390－395.

［6］王戈平.完全分配格上的若輔助序與廣義序同態(tài)［J］.數(shù)學(xué)季刊，1998，3（4）：76－83.

ωδ－Compactness inL－order－preserving Operator Spaces

AiJiao1，MaBao－guo2，WuLi－fei1
（1.Yulin Second Experimental Middle School，YuLin 718000China；2.College of mathematics and computer seience，Yanan University，Yanan 716000China）

By means ofβα－ωδ－open cover，the notion ofωδ－compactness，ωδ－base andωδ－subbase inLωspaces is discussed.It is proved thatωδ－compactness is preserved by continuously generalized Zadeh functions and that the Tychonoff Theorem forωδ－compactness is true.

Lωspaces；ωδ－open sets；－ωδ－open cover；ωδ－compactness

O189

A

1672－1454（2012）04－0046－04

2010－02－02