金玲玉， 房少梅， 劉文琰

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東廣州 510642）

數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)和體會(huì)

金玲玉， 房少梅， 劉文琰

（華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)系，廣東廣州 510642）

剖析了數(shù)學(xué)分析與初等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)史、泛函分析等課程之間的內(nèi)在聯(lián)系，闡述了其對(duì)于數(shù)學(xué)分析教學(xué)的影響；同時(shí)就如何改革數(shù)學(xué)分析的教學(xué)方法，如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高學(xué)生的創(chuàng)新能力等提了幾點(diǎn)建議.

數(shù)學(xué)分析；教學(xué)改革；教學(xué)方法

在數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的本科教學(xué)中，“數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何”通常稱(chēng)為“老三基”，是大學(xué)低年級(jí)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)課，其中數(shù)學(xué)分析尤其重要.首先它歷時(shí)最長(zhǎng)，總學(xué)時(shí)約300學(xué)時(shí)左右，其教學(xué)過(guò)程貫穿三到四個(gè)學(xué)期；其次它為學(xué)生提供學(xué)習(xí)后繼專(zhuān)業(yè)課程（如常微分方程、復(fù)變函數(shù)論、實(shí)變函數(shù)論、概率統(tǒng)計(jì)等）所必須的基本理論、基本方法和基本技能.數(shù)學(xué)分析所體現(xiàn)的分析思想，邏輯推理方法，處理問(wèn)題的技巧以及整個(gè)數(shù)學(xué)思維方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和科學(xué)研究中起著奠基性的重要作用.數(shù)學(xué)分析一直是數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重，而數(shù)學(xué)分析的教學(xué)也一直存在諸多難點(diǎn) ，比如：教學(xué)內(nèi)容過(guò)于抽象化、理論化，容易使學(xué)生感到枯燥，難以理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣難；教授具體的知識(shí)點(diǎn)容易，使學(xué)生掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和創(chuàng)新能力難；與數(shù)學(xué)系其他專(zhuān)業(yè)課程、與初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)進(jìn)行適當(dāng)?shù)你暯与y等等.

針對(duì)上述難點(diǎn)，下面我們結(jié)合自己多年來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革的實(shí)踐，談?wù)勔恍┱J(rèn)識(shí)和體會(huì).

1 聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與初等微積分進(jìn)行教學(xué)

微積分理論是數(shù)學(xué)分析與高等數(shù)學(xué)教學(xué)的主體.數(shù)學(xué)分析不同于高等數(shù)學(xué)的是，它已超出“經(jīng)典微積分”的范疇，更多地關(guān)注十九世紀(jì)微積分嚴(yán)格化的成果，甚至近代分析學(xué)的成果.簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)分析研究的是“嚴(yán)格意義下的微積分”.

數(shù)學(xué)系新生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析之前，絕大部分已經(jīng)在中學(xué)學(xué)過(guò)初等微積分，包括對(duì)極限和導(dǎo)數(shù)等概念的較為直觀的定義，以及較為簡(jiǎn)單的求極限、求導(dǎo)數(shù)和求積分的運(yùn)算等.而在大學(xué)階段所學(xué)的“嚴(yán)格意義下的微積分”，涵蓋了初等微積分的內(nèi)容，并在此基礎(chǔ)上對(duì)極限、導(dǎo)數(shù)等概念給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，同時(shí)對(duì)微積分理論體系中的定理給出了嚴(yán)格的證明.為了在中學(xué)微積分教學(xué)的基礎(chǔ)上，立足于更高的觀點(diǎn)來(lái)講授數(shù)學(xué)分析，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)“嚴(yán)格意義下的微積分”的必要性，我們作了如下兩點(diǎn)嘗試：

1.1 聯(lián)系初等數(shù)學(xué)進(jìn)行教學(xué).

初等數(shù)學(xué)是常量的、靜態(tài)的數(shù)學(xué)，它只能解決和解釋常量的幾何問(wèn)題和物理問(wèn)題，比如求規(guī)則圖形的長(zhǎng)度、面積和體積，勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度，常力沿直線所作的功，以及質(zhì)點(diǎn)間的吸引力等；微積分是變量的、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)，它解釋和解決那些變化的幾何問(wèn)題和運(yùn)動(dòng)的物理過(guò)程，特別是描述一些物體的漸近行為和瞬時(shí)物理量等，比如不規(guī)則圖形的長(zhǎng)度、面積和體積，一般運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，變力沿曲線作功，一般物體間的吸引力等.

例1導(dǎo)數(shù)概念的引入——變速直線運(yùn)動(dòng)，切線斜率［1］.

同樣在討論切線問(wèn)題時(shí)，初等數(shù)學(xué)定義為過(guò)圓的半徑端點(diǎn)且垂直于該半徑的直線或與圓只有一個(gè)交點(diǎn)的直線稱(chēng)為圓的切線，這是孤立靜止的觀點(diǎn)，它并不適用于所有的曲線.要考慮任意曲線在其上任意一點(diǎn)處的切線，需要用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)考察問(wèn)題.在曲線上任取一動(dòng)點(diǎn)，連接兩點(diǎn)的直線即為曲線的割線，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沿曲線無(wú)限接近定點(diǎn)時(shí)，割線的極限位置即為曲線在該點(diǎn)的切線，切線的斜率為運(yùn)動(dòng)割線斜率的極限.

例1考慮的速度和斜率在勻速運(yùn)動(dòng)和直線的情形下，其計(jì)算是簡(jiǎn)單的除法，但對(duì)于“非勻速運(yùn)動(dòng)”和“曲線”，其計(jì)算就是求導(dǎo)數(shù)，即求函數(shù)增量與自變量增量商的極限.相應(yīng)地，求函數(shù)增量可以用求微分近似代替.

例2積分概念的引入——曲邊梯形的面積和變力作功［1］.

例2考慮的面積和功在直邊形和常力的情形下，其計(jì)算是簡(jiǎn)單的加法與乘法，但對(duì)“曲邊形”和“變力”的情形，其計(jì)算就是積分.

綜合上述兩例，可以給出一個(gè)不太準(zhǔn)確的說(shuō)法：微積分研究的是“非線性情形下的和差積商”.

講解導(dǎo)數(shù)和積分概念時(shí) ，要突出背景問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)變化和非線性的特征，與初等數(shù)學(xué)形成鮮明的對(duì)比——從直到曲、均勻到非勻、常量到變量、有限到無(wú)限，從而使學(xué)生認(rèn)識(shí)到微積分是數(shù)學(xué)從常量時(shí)期進(jìn)入變量數(shù)學(xué)時(shí)期的一個(gè)重要的里程碑，并逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)來(lái)看待和解決問(wèn)題.

1.2 聯(lián)系初等微積分，運(yùn)用悖論和反例進(jìn)行教學(xué).

學(xué)生在中學(xué)里已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)了微積分最重要的幾個(gè)基本概念，并學(xué)會(huì)了初步的微積分算法.進(jìn)入大學(xué)后，他們接觸到“嚴(yán)格意義下的微積分”，經(jīng)常會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)問(wèn)題：

一是難以接受微積分概念的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義，如數(shù)列極限的ε－N定義、一致連續(xù)的定義等，在學(xué)習(xí)過(guò)程中感到極大的困難；

二是對(duì)已經(jīng)學(xué)過(guò)的微積分中的相關(guān)運(yùn)算缺乏耐心，沒(méi)有進(jìn)一步深入探究和學(xué)習(xí)的動(dòng)力.

為了解決上述問(wèn)題，我們?cè)诮淌谙嚓P(guān)內(nèi)容時(shí)，首先是盡量完整清晰地給出概念的具體背景，講清楚概念的來(lái)龍去脈，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，其次，也是我們更為看重的一個(gè)方法是：密切結(jié)合初等數(shù)學(xué)和初等微積分的內(nèi)容，運(yùn)用悖論和反例進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生體會(huì)到微積分嚴(yán)格化的必要性，同時(shí)在進(jìn)行計(jì)算和證明時(shí)有意識(shí)地驗(yàn)證條件，避免陷阱.

例3發(fā)散級(jí)數(shù)悖論［2］.

這是一個(gè)常見(jiàn)的幾何級(jí)數(shù)，沿襲中學(xué)數(shù)學(xué)中級(jí)數(shù)求和的一個(gè)技巧，可以考慮把上式兩邊都乘以2，就得到

從而得到S＝2，即級(jí)數(shù)的和是2.

但若對(duì)級(jí)數(shù)S＝1＋2＋4＋8＋16＋…施行同樣的變換，則有

從而得到S＝－1，這個(gè)結(jié)果顯然是荒謬的.

為什么會(huì)出現(xiàn)這種荒謬的結(jié)果？通過(guò)這個(gè)例子，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到：中學(xué)熟知的級(jí)數(shù)求和技巧只適用于一部分級(jí)數(shù)，它的應(yīng)用是有條件的，即只有收斂級(jí)數(shù)才能運(yùn)用.從而引入級(jí)數(shù)的收斂性和發(fā)散級(jí)數(shù)的概念.

例4函數(shù)極限值悖論［2］.

，作變量替換x＝y(tǒng)＋π并回顧sin（y＋π）＝－siny，就得到

另一方面，有sin2x＋cos2x＝1對(duì)一切x成立，于是就有1＝0.

例4可以使學(xué)生驚訝地發(fā)現(xiàn)，原來(lái)常用的變量替換也是不能隨便用的，前提條件是函數(shù)極限必須存在！結(jié)合這個(gè)例子，可以提醒學(xué)生，在運(yùn)用函數(shù)極限的相關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候，也必須先驗(yàn)證法則的適用條件是否成立.

通過(guò)上述例子，使學(xué)生體會(huì)到直觀的認(rèn)識(shí)、常規(guī)的做法常常是很不可靠的，為了在實(shí)際應(yīng)用中避免出現(xiàn)謬誤，必須加深對(duì)概念的理解，學(xué)習(xí)它們的嚴(yán)格化定義，同時(shí)對(duì)法則的適用條件要進(jìn)行嚴(yán)格的驗(yàn)證，并學(xué)會(huì)把標(biāo)準(zhǔn)法則的條件加以弱化或改變，以使法則適用于更廣闊的領(lǐng)域.

2 揭示概念間的內(nèi)在聯(lián)系

在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，最基本的要求是讓學(xué)生掌握基本知識(shí)，基本技能.但是僅僅只有這些是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的.數(shù)學(xué)分析教的不僅是一種知識(shí)，更是一種思想，一種學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法.對(duì)一些具體的知識(shí)，通過(guò)進(jìn)行抽絲剝繭般的分析，從不同特征中找出共同的本質(zhì)，揭示出概念間的內(nèi)部聯(lián)系，就可以使零散的知識(shí)點(diǎn)統(tǒng)一起來(lái)，并使學(xué)生對(duì)分析學(xué)的基本概念和基本思想加深認(rèn)識(shí).

數(shù)學(xué)分析概念繁多，但是數(shù)學(xué)分析的幾個(gè)重要概念，如函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)和可積［1］，都可以用極限的思想［1－2］將它們連貫串通起來(lái).

可積：函數(shù)f（x）在［a，b］上可積?對(duì)于［a，b］的任何分割T，以及任意選取的點(diǎn)集｛ξi｝，

從教學(xué)過(guò)程中可以不斷的啟發(fā)學(xué)生，雖然這三種定義完全不同，但要注意到這些定義的共同點(diǎn)：都是通過(guò)極限定義的.以上三個(gè)定義實(shí)質(zhì)是三種不同形式的極限.可見(jiàn)極限是這些定義的基礎(chǔ).從連續(xù)、可導(dǎo)、可積概念出發(fā)可以推廣到多重積分，曲面、曲線積分，級(jí)數(shù)等等.這樣，極限就將整個(gè)數(shù)學(xué)分析聯(lián)系起來(lái)了.所以，極限思想可以說(shuō)是貫穿數(shù)學(xué)分析的始終.

3 與后續(xù)課程聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行教學(xué)

我們?cè)跀?shù)學(xué)分析教學(xué)過(guò)程中，一直試圖將數(shù)學(xué)分析和一些后續(xù)課程如常微分方程、泛函分析、實(shí)變函數(shù)等聯(lián)系在一起進(jìn)行，以便加深學(xué)生對(duì)于各門(mén)課程之間聯(lián)系的了解，進(jìn)而充分認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)分析是整個(gè)數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).

例5從研究對(duì)象出發(fā)，揭示數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)、泛函分析之間的內(nèi)在聯(lián)系.

a）數(shù)學(xué)分析研究的主要對(duì)象——函數(shù)，可記作y＝f（x）.定義域是R中子集，自變量取值為實(shí)數(shù).

b）泛函分析［3］中研究的主要對(duì)象之一 ——泛函，可記作y＝f（g）.定義域是由函數(shù)構(gòu)成的集合，自變量取值為函數(shù)或映射.泛函就是以函數(shù)為自變量的特殊映射.

c）實(shí)變函數(shù)［4］中研究的主要對(duì)象之一 —— 測(cè)度，可記作y＝m（E）.定義域是以集合為元素構(gòu)成的集合，自變量取值為集合.測(cè)度是以集合為自變量，滿(mǎn)足一定規(guī)則的特殊映射.

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的時(shí)候，就讓學(xué)生了解：隨著研究對(duì)象的不同而形成了不同的數(shù)學(xué)分支.這樣能進(jìn)一步擴(kuò)大學(xué)生的知識(shí)面，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的興趣；同時(shí)可進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析中函數(shù)概念的理解，對(duì)于后續(xù)課程如實(shí)函、泛函的學(xué)習(xí)就有一定的幫助.

解 兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)，可得

所以

實(shí)質(zhì)上方程（1）就是一個(gè)常微分方程.從方程（1）可以直觀地看出所謂的微分方程就是含有有關(guān)未知變量導(dǎo)數(shù)的方程.常微分方程中導(dǎo)數(shù)是關(guān)于一個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù).若方程中有關(guān)于多個(gè)自變量的導(dǎo)數(shù)，那就是偏微分方程.之前我們學(xué)習(xí)的方程從本質(zhì)上說(shuō)都是代數(shù)方程.

將求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和介紹常微分方程聯(lián)系起來(lái)，可為下一步學(xué)習(xí)常微分方程作鋪墊，同時(shí)可加深對(duì)隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的理解，也進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)分析這門(mén)基礎(chǔ)課的重要性的認(rèn)識(shí).

4 注重講解知識(shí)的來(lái)源 啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)新

在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，注意講解知識(shí)的來(lái)源，運(yùn)用觀察、啟發(fā)、歸納的手段讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究的方法，調(diào)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的興趣，提高其創(chuàng)新的能力.

例7 泰勒展式［1］的推導(dǎo)過(guò)程.

式，f（x）在定義域上可微.可見(jiàn)微分學(xué)中用一次多項(xiàng)式可近似逼近f（x），誤差為o（x－x0）.

提出問(wèn)題：可否將f（x）用n次多項(xiàng)式逼近呢？逼近的誤差是否更精確？誤差是多少？

注意觀察：若f（x）一階可導(dǎo)，則可用一次多項(xiàng)式p1（x）逼近.且滿(mǎn)足

那么f（x）在什么條件下可用n次多項(xiàng)式pn（x）逼近，pn（x）應(yīng)滿(mǎn)足什么條件呢？顯然可猜想到：若f（x）在定義域上n階可導(dǎo)，那么可用pn（x）逼近，且pn（x）滿(mǎn)足

因此可求n次多項(xiàng)式pn（x）.可設(shè)

即可得如下方程組

這樣，猜測(cè)的pn（x）就計(jì)算出來(lái)，下面需要驗(yàn)證pn（x）近似地逼近f（x），且精度更準(zhǔn)確.實(shí)際上，通過(guò)柯西中值定理可計(jì)算f（x）－pn（x）＝o（（x－x0）n）.這樣可推導(dǎo)出泰勒展式［1］從以上泰勒展式的推導(dǎo)過(guò)程中，可以向?qū)W生介紹數(shù)學(xué)研究的主要方法.實(shí)際上可分為三步：

1.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：原先用一次多項(xiàng)式可逼近f（x），精度為o（（x－x0）），精度不夠，如何提高精度.

2.觀察猜想：用n次多項(xiàng)式逼近f（x），精度是否可提高為o（（x－x0）n），且通過(guò)觀察一次多項(xiàng)式滿(mǎn)足的條件，猜測(cè)n次多項(xiàng)式滿(mǎn)足的條件.

3.計(jì)算驗(yàn)證猜想，解決問(wèn)題：通過(guò)計(jì)算可證實(shí)我們的猜想.

通過(guò)以上三步，可以很自然地推導(dǎo)出泰勒展式.在教學(xué)過(guò)程采用類(lèi)似于例7的教學(xué)方法，可提高學(xué)生的創(chuàng)新興趣，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究的基本方法，且具有初步的創(chuàng)新能力.

5 結(jié)合數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)

我國(guó)老一輩數(shù)學(xué)家余介石等人曾受美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因的深刻影響，主張：“歷史之于教學(xué)，不僅在名師大家之遺言軼事，足生后學(xué)高山仰止之思，收聞風(fēng)興起之效.更可指示基本概念之有機(jī)發(fā)展情形，與夫心理及邏輯程序，如何得以融和調(diào)劑，不至相背，反可相成，誠(chéng)為教師最宜留意體會(huì)之一事也.”這對(duì)于數(shù)學(xué)分析教學(xué)來(lái)說(shuō)，尤其如此.結(jié)合數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)于相關(guān)知識(shí)的理解.另外從數(shù)學(xué)史的整個(gè)發(fā)展趨勢(shì)中，學(xué)生可以初步了解微積分知識(shí)的基本框架.

例8教授數(shù)學(xué)分析第一章——實(shí)數(shù)集與函數(shù)，引入第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的故事.

大約公元前5世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了“畢達(dá)哥拉斯悖論［5］”.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為：宇宙間一切事物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比.但后來(lái)由于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形的斜邊不能表示成整數(shù)或整數(shù)之比（不可通約）.這一新發(fā)現(xiàn)直接觸犯了畢氏學(xué)派的根本信條，稱(chēng)為“畢達(dá)哥拉斯悖論”.該悖論導(dǎo)致了當(dāng)時(shí)認(rèn)識(shí)上的“危機(jī)”，從而產(chǎn)生了第一次數(shù)學(xué)危機(jī).

在發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)之前，人們認(rèn)為只有整數(shù)和整數(shù)之比，這一認(rèn)識(shí)是做為公理存在的.但隨著知識(shí)的發(fā)展，社會(huì)的進(jìn)步，當(dāng)時(shí)的公理導(dǎo)致了悖論的出現(xiàn).通過(guò)了解第一次危機(jī)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)學(xué)生開(kāi)展創(chuàng)新，而不總是墨守成規(guī).同時(shí)對(duì)有理數(shù)有了更深刻的理解，增加了對(duì)于實(shí)數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)的興趣.

例9無(wú)窮小的學(xué)習(xí)與第二次數(shù)學(xué)危機(jī).

無(wú)窮小是零嗎？──第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，貝克萊悖論［6］.貝克萊指出：“牛頓在求導(dǎo)數(shù)時(shí)認(rèn)為無(wú)窮小既等于零又不等于零，召之即來(lái)，揮之即去，這是荒謬的”.沒(méi)有清楚的無(wú)窮小概念，從而使得導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念也不清楚，無(wú)窮大概念不清楚，而且導(dǎo)致了發(fā)散級(jí)數(shù)求和的任意性，符號(hào)的不嚴(yán)格使用，不考慮連續(xù)就進(jìn)行微分，不考慮導(dǎo)數(shù)及積分的存在性以及函數(shù)可否展成冪級(jí)數(shù)等等問(wèn)題.

通過(guò)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，對(duì)照數(shù)學(xué)分析教材中無(wú)窮小的概念，學(xué)生可以加深理解：無(wú)窮小是一類(lèi)趨向于零的函數(shù)，常數(shù)零也是一類(lèi)特殊的無(wú)窮小.

上面這些是我們?cè)诙嗄陻?shù)學(xué)分析教學(xué)中得到的一些認(rèn)識(shí)和體會(huì)，每進(jìn)行一輪數(shù)學(xué)分析的教學(xué)，都會(huì)有一些新的認(rèn)識(shí)和新的體會(huì)以及新的感悟.如何把這些感悟、這些教材上沒(méi)有用公式表述出來(lái)的思想，傳授給學(xué)生，讓學(xué)生除了掌握教材中數(shù)學(xué)分析的系統(tǒng)知識(shí)體系之外，還能體會(huì)到那種只可意會(huì)、不可言傳的美妙思維方法，這是我們努力的目標(biāo).

總而言之，數(shù)學(xué)分析常講常新.

［1］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（上、下冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2001：1－4，87－88，134－142，200－202.

［2］陶哲軒.陶哲軒實(shí)分析［M］.王昆揚(yáng)譯.北京：人民郵電出版社，2008：4－6.

［3］張恭慶，郭懋正.泛函分析講義［M］.北京：北京大學(xué)出版社，1990.

［4］鄭維行，王聲望.實(shí)變函數(shù)與泛函分析概要［M］.北京：高等教育出版社，2005.

［5］（美）克萊因（Kline M）.古今數(shù)學(xué)思想（第一冊(cè)）［M］.朱學(xué)賢，申又棖，葉其孝，等譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002：37－38.

［6］（美）克萊因（Kline M）.古今數(shù)學(xué)思想（第二冊(cè)）［M］.朱學(xué)賢，申又棖，葉其孝，等譯.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，2002：150－151.

Some Opinions and Understandings on Teaching Reform of Mathematical Analysis

JINLing－yu，F(xiàn)ANGShao－mei，LIUWen－yan
（Department of Mathematics，South China Agricultural University，Guangzhou 510642，China）

we investigate some new teaching methods of mathematical analysis.In addition，we make some reform and exploration on several aspects such as teaching content，teaching method，and the improving interest in learning mathematical analysis.

mathematical analysis；teaching reform；teaching method

G424

C

1672－1454（2012）04－0025－06

2009－11－02

華南農(nóng)業(yè)大學(xué)教改重點(diǎn)項(xiàng)目（JG12013）