楊小遠， 李尚志

（1.數(shù)學、信息、行為教育部重點實驗室，北京； 2.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，北京 100191）

大學一年級學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)探索與實踐

楊小遠， 李尚志

（1.數(shù)學、信息、行為教育部重點實驗室，北京； 2.北京航空航天大學數(shù)學與系統(tǒng)科學學院，北京 100191）

詳細介紹了我們在主講《工科數(shù)學分析》課程中以問題驅(qū)動的研究性微積分教學模式和培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的探索與實踐.

數(shù)學分析；創(chuàng)新能力；研究性微積分教學模式

1 前 言

在每年參加研究生面試的時候，我們喜歡提出這樣幾個問題：談談對有限覆蓋定理的理解、Taylor公式的局限性、閉區(qū)間套定理的理解、黎慢積分與勒貝格積分的區(qū)別、引入函數(shù)一致連續(xù)概念的意義是什么？它帶給我們什么“好處”等.學生的回答讓我們感到吃驚，學生對這些概念定理都能準確敘述，但是對數(shù)學的認識卻一點也沒有，竟然回答Taylor公式的局限性是計算復雜，需要計算高階導數(shù).有限覆蓋就是把區(qū)間覆蓋.這些學生考研究生的數(shù)學分析成績都不錯，面對同學們這些回答，讓我們思考一個問題，數(shù)學教育目的是什么？如果學生將主要精力用于作大量數(shù)學題目，死記硬背數(shù)學定理和公式，而忽略了對數(shù)學問題的本質(zhì)理解，這應該是數(shù)學教育的失敗.近幾年，我們一直在探索新的教育模式，工科數(shù)學分析課程建設所做的全部努力是讓學生對數(shù)學問題知其然，又要知其所以然，廢除以作題為主的學習模式.為此我們倡導并實踐以問題驅(qū)動的研究性微積分教學模式，提出并實踐設置系列探索類問題.學生的學習過程不在是單一的學習過程，而是不斷思考、探索和發(fā)現(xiàn)的過程.下面詳細介紹我們的教學研究與實踐.

2 大學一年級學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)模式的探索與實踐

2.1 讓學生對數(shù)學問題知其然又要知其所以然.

本文第二作者在他最新出版的《線性代數(shù)》書中寫到，數(shù)學不是“奉天承運皇帝詔曰”從天而降的抽象定義和推理，而是一部由創(chuàng)造發(fā)明的系列故事組成的連續(xù)?。?］.在他主持的國家精品課程《數(shù)學大觀》視頻講座中，提出思想（idea）指揮技巧（Technique）.數(shù)學的教學要引起學生對數(shù)學的興趣，讓學生愛數(shù)學［2］.在教學過程中羅列知識，仿佛這些定理是“奉天承運皇帝詔曰”從天而降，學生很難對數(shù)學感興趣.要讓學生對數(shù)學問題知其然又要知其所以然，才能引起學生對數(shù)學的興趣.例如為什么引入函數(shù)一致連續(xù)概念？為什么引入函數(shù)項級數(shù)的一致收斂概念？這些概念能帶給我們什么？在教學過程中，要引導學生對這些問題的認識，函數(shù)一致連續(xù)使得弧長、曲線、曲面積分計算理論嚴謹化，函數(shù)一致收斂是有限次極限，求導和積分的運算法則推廣到無窮多次的前提.對實數(shù)系六個等價命題的理解，我們以閉區(qū)間套和有限覆蓋定理來說明.對這兩個定理，初學者感到莫名奇妙，不知道為什么提出這兩個定理.閉區(qū)間套定理實際上是逐步逼近的思想，閉區(qū)間套所有的交點是問題的“解”，而閉區(qū)間套就是逐步逼近“解”所在的區(qū)間，當區(qū)間長度趨于零的時候，“解”求出.有限覆蓋實際上是將無窮維問題轉(zhuǎn)化為有限問題處理，或者說將逐點問題轉(zhuǎn)化為整體問題.在整個教學過程中，我們用這兩個定理解決許多理論和應用問題，使得學生在學習的過程中逐步加深對定理的理解.講授Riemann積分，那么Riemann積分的缺點是什么？Lebesgue定理告訴我們，Riemann積分對函數(shù)的依賴性很強，函數(shù)項逐項積分要求函數(shù)項級數(shù)一致收斂，這樣“苛刻”條件在許多實際問題中不能滿足，導致Lebesgue積分的提出和研究.在教學過程中，強調(diào)對數(shù)學問題的本質(zhì)理解，讓學生對數(shù)學問題知其然又要知其所以然，這是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的前提，否則即使將數(shù)學分析的定理全部背熟，都等于零，沒有意義.

2.2 精煉傳統(tǒng)數(shù)學分析內(nèi)容，研究共性問題的教學.

數(shù)學分析內(nèi)容十分龐大，可謂“洋洋大觀，琳瑯滿目”，但是最本質(zhì)核心的內(nèi)容并不多.例如多元微積分就是一元微積分的推廣，許多結(jié)論和證明方法幾乎都是平行的.因此必須讓學生掌握微積分本質(zhì)核心問題，注意許多共性問題的學習，抓住本質(zhì)問題，學生的思路變得清晰.例如在數(shù)學分析中任何問題的提出都是以極限形式給出，數(shù)列極限，函數(shù)極限，導數(shù)、微分、定積分、重積分、曲線與曲面積分的定義都是用極限表述的，極限數(shù)學化定義是微積分發(fā)展史上里程碑的概念，使得微積分形成目前嚴謹體系.因此數(shù)列極限定義的學習和理解是關(guān)鍵，函數(shù)極限，導數(shù)、微分、定積分、重積分、曲線與曲面積分的定義刻畫問題的本質(zhì)與數(shù)列極限一致.數(shù)學分析以柯西命名的定理很多，如數(shù)列極限收斂的柯西定理，函數(shù)極限存在的柯西定理，數(shù)項級數(shù)收斂的柯西定理，函數(shù)項級數(shù)一致收斂的柯西定理，廣義積分收斂柯西定理，含參變量積分一致收斂的柯西定理，面對如此多的柯西定理，學生經(jīng)常不知所措，引導學生把握這些定理的共性問題，雖然他們描述不同數(shù)學問題，實際上刻畫問題的思想是一致的，都是研究問題自身變化規(guī)律.這些柯西定理，數(shù)列極限的柯西定理是基礎，其余都是推廣.同樣判斷數(shù)項級數(shù)收斂、函數(shù)項級數(shù)一致收斂、廣義積分收斂、含參變量積分的一致收斂的狄里克萊和阿貝爾判別方法的都是相應問題柯西定理思想的延伸，刻畫問題的思想是一致的.數(shù)學分析中有幾個概念學生理解起來十分困難，例如函數(shù)的一致連續(xù)，函數(shù)項級數(shù)的一致收斂，含參積分一致收斂，刻畫這些概念“一致”性的數(shù)學特征是相同的.在教學過程中，引導學生抓住本質(zhì)問題，使得數(shù)學的學習變得輕松.

2.3 將微積分經(jīng)典內(nèi)容進行拓展與延伸，力求反映當代數(shù)學的發(fā)展趨勢.

精煉了傳統(tǒng)數(shù)學分析內(nèi)容的同時，增加數(shù)學的應用背景，力求為學生打開應用數(shù)學的窗口，讓抽象的數(shù)學變得具體，同時注重數(shù)學分析經(jīng)典內(nèi)容與現(xiàn)代應用數(shù)學分支的聯(lián)系，以開闊學生的視野.數(shù)列極限部分，增加了數(shù)列極限的應用實例，如自然界中的混沌現(xiàn)象，這使得學生在掌握極限基本理論的同時，了解了新的數(shù)學分支.在函數(shù)極限與連續(xù)一章，介紹了連續(xù)函數(shù)壓縮映射原理.在此基礎上介紹了不動點理論在非線性方程求根中的應用，同時介紹了非線性方程求根的幾個基本理論問題：算法的收斂速度和局部與全局收斂問題，這樣學生對無窮小階的運算有全新的認識.Taylor公式是微積分的經(jīng)典內(nèi)容，我們沒有停留在介紹Taylor公式和其簡單應用，而是通過利用Taylor公式與導數(shù)數(shù)值計算的介紹，闡述了Taylor在科學計算中的應用，并且給出了更一般結(jié)論—李查遜（Richardson）外推.同時，介紹了克服Taylor公式局部逼近的Lagrange插值與誤差分析，以及函數(shù)的最佳一致逼近問題，讓學生對函數(shù)數(shù)值逼近領(lǐng)域有一個初步的認識，并激發(fā)他們進一步深入學習函數(shù)逼近的其它內(nèi)容.在定積分部分，不僅介紹了Riemann可積的達布上和下和定理，而且增加了Lebesgue定理與Lebesgue積分的介紹，加深了學生對Riemann積分的認識，同時了解了Lebesgue積分研究的意義.實際上Lebesgue積分在各個數(shù)學分支的應用成了現(xiàn)代數(shù)學的一個特征.在微分方程部分，特別強調(diào)了數(shù)學建模的思想，讓學生學會用數(shù)學模型描述實際問題并求解.在介紹了幾種經(jīng)典的求解方法的基礎上，增加了微分方程數(shù)值求解的基本方法和幾個基本理論問題：數(shù)值解的收斂性和穩(wěn)定性.在傅里葉級數(shù)部分，在介紹經(jīng)典傅里葉級數(shù)和變換的基礎上，分析了傅里葉變換的局限性，在此基礎上介紹了小波變換和分數(shù)階傅里葉變換基本思想，以及在工程技術(shù)領(lǐng)域中的應用.在多元函數(shù)極值問題部分，介紹了約束和非約束非線性優(yōu)化的基本求解方法，使得學生對數(shù)值優(yōu)化理論這一分枝有初步的了解.總之，我們力求在有限的篇幅內(nèi)，擴展教學的寬度，讓學生有更多的發(fā)現(xiàn)，體會微積分的作用.但是這些內(nèi)容不是在理論上任意拔高，將高觀點強加給學生，讓學生不知所云，而是要遵循學生的認識規(guī)律.我們的原則是利用數(shù)學分析的知識，使學生能夠?qū)W懂和理解這些問題，重在強調(diào)方法和思想.讓學生從開始學基本知識，由不懂到懂，打好基礎，然后再逐步將數(shù)學問題引向深入，最后達到對數(shù)學理解有一定的高度.

2.4 學習與研究必備工具：MATLAB軟件.

數(shù)學的抽象往往讓學生不知所云，難以理解.因此在教學過程中抽象的數(shù)學概念和定理的證明思想盡可能用幾何直觀給予解釋.要求學生會用MATLAB軟件，這是數(shù)學學習和研究的必備工具，下面舉例說明.

例1MATLAB軟件在分析函數(shù)一致連續(xù)中的應用.

函數(shù)一致連續(xù)是數(shù)學分析非常重要和難理解的數(shù)學概念，要求學生在分析函數(shù)是否一致連續(xù)的時候先繪圖，然后在給出嚴謹?shù)睦碚摲治?，這樣學生學起來輕松.

函數(shù)

從圖像可以初步判斷在R上不一致連續(xù)，因為兩個函數(shù)在定義域的區(qū)域內(nèi)圖像幾乎垂直x軸，然后在此基礎上給出嚴謹?shù)淖C明，這里從略.

圖1

例2圖2用MATLAB軟件在分析Taylor公式局部逼近特性示意圖.

圖2

例3MATLAB軟件在積分學中的應用.

圖3解釋重積分概念的示意圖，隨著分割的不斷加密，逐步逼近曲頂體積.

圖3

圖4是空間曲面uv分割示意圖.討論空間曲面計算問題時候，曲面uv分割是重要的概念.

圖4 空間曲面u曲線與v曲線分割示意圖

定積分，重積分，曲線與曲面積分的計算是積分學的重要內(nèi)容，然而這些計算問題的前提是對積分區(qū)域數(shù)學描述，要求學生在進行各類積分計算的時候，用MATLAB軟件繪出積分區(qū)域示意圖，對積分的計算非常有益處.

2.5 學生創(chuàng)新能力培養(yǎng)模式.

從大學一年級開始我們就對學生進行適當?shù)囊龑?，激發(fā)他們的科學研究意識，就《工科數(shù)學分析》課程內(nèi)容設置了系列探索類問題，分為基礎研究、應用研究和實踐類問題.目的是培養(yǎng)學生養(yǎng)成閱讀、思考和探索問題的能力，擺脫中學的題海戰(zhàn)術(shù)，不要求他們完成數(shù)學分析中技巧性和難度過高的題目，而是要求學生將精力集中在對數(shù)學概念和本質(zhì)問題的學習上，鼓勵學生嘗試更多的探索類問題，引導學生通過數(shù)學公式看世界.在我們主講的班級，學生成立30多個研究小組，每個研究小組3到5人，學生選題完全按照自愿的原則，對感興趣的問題進行研究.每學期完成1到2個探索類問題，我們的總體思路如下：

圖5

由于篇幅有限，這里部分介紹學生研究情況.

2.5.1 數(shù)列極限與混沌現(xiàn)象

數(shù)列是數(shù)學分析的基礎和核心，在學完極限的定義和基本性質(zhì)以后我們介紹了自然界的混沌現(xiàn)象.通過介紹幾個典型問題：三體問題，蝴蝶效應，昆蟲繁衍模型，展現(xiàn)混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生過程，最后介紹混沌現(xiàn)象的應用.學生對三個具體的混沌模型產(chǎn)生了濃厚的興趣，在這里數(shù)列的極限不再是抽象的概念，而是表述現(xiàn)實世界的數(shù)學工具.

關(guān)于數(shù)列與極限設置了探索類問題：

（i）研究Stolz定理成立的充分必要條件.

（a）證明被去掉區(qū)間的長度之和為1，康托集集合有無窮多個點；

（b）對于二維情況的康托集是按照如下方式進行的.將邊長為1的正方形等分9個小正方形，去掉中間的小正方形（開區(qū)間），在乘下的8個小正方形中在去掉相應的中間的九分之一，依次類推，證明去掉所有正方形面積為1，但是剩余的點集和康托集集合有無窮多個點；

（c）分析研究上述結(jié)論.

（i）閉區(qū)間套定理和有限覆蓋定理的應用.

（ii）實驗課題：關(guān)于Logistic序列.在生態(tài)學中種群增長的模型是Logistic序列

其中pn表示一個單獨物種在第n年時規(guī)模與種群數(shù)量最大值的比值，0≤pn≤1.

（iv）當3＜k＜3.4，分析序列的變化趨勢；

（v）分析3.6＜k＜4序列變化趨勢，若取p0＝0.001序列變化趨勢.

研究小組對于第（i）個問題進行了研究，研究了多種Stolz定理成立的充分必要條件，研究結(jié)果已經(jīng)被《高等數(shù)學研究》錄用.問題（ii）是為后續(xù)的可數(shù)集合和零側(cè)度集合概念作準備，很多學生對這個問題好奇，發(fā)表論文見附錄2）.對于問題（iii）研究小組在整個數(shù)學分析課程的學習過程中積累這兩個定理在不同數(shù)學問題中的應用，寫出了分析報告.問題（iv）通過編程實現(xiàn)，研究小組的學生對混沌現(xiàn)象有個初步感性認識.

2.5.2 函數(shù)極限與連續(xù)以及壓縮映射原理.

講授了函數(shù)的極限與連續(xù)的基本理論以后，我們介紹了連續(xù)函數(shù)的應用：壓縮映射原理.為了進一步開拓學生的思路，讓學生有更多的想像空間，在課堂上介紹了如果將不動點推廣到一幅圖像上會怎么樣？在此基礎上介紹了不動點理論在分形圖像壓縮中的應用，闡明創(chuàng)新思想的重要性.在這一章我們設置了探索類問題

（i）在目前結(jié)論基礎上，研究函數(shù)一致連續(xù)判別方法.

（ii）函數(shù)一致連續(xù)概念的應用.

（iii）利用分形壓縮方法實現(xiàn)下面圖像的壓縮（壓縮比由自己決定）

研究小組針對問題（i），對一元函數(shù)和多元函數(shù)以及向量函數(shù)的一致連續(xù)判別方法進行了深入研究，得到了有一定價值的結(jié)論，研究成果發(fā)表論文見附錄1），7），10），12），這個研究小組在整個數(shù)學分析的學習過程中一直對這個概念產(chǎn)生了濃厚的情趣，并且就這一概念在曲線積分、曲面積分、重積分、含參積分中的應用寫出了分析報告.由于我主講的班級是計算機專業(yè)，有一些編程能力比較強的同學對問題（iii）非常感興趣，通過進一步查閱相關(guān)的書籍，利用分形原理編程實現(xiàn)了圖像的高倍壓縮.

2.5.3 導數(shù)與微分.

導數(shù)與微分的教學內(nèi)容很多，主要是利用導數(shù)來研究函數(shù)的性質(zhì).我們介紹了導數(shù)在非線性方程求根中的應用，同時介紹了非線性方程求根的幾個基本問題：局部收斂與全局收斂，收斂速度分析.使得學生體會引入無窮小階概念的重要性，在這一章，我們設置了探索類問題如下：

（i）研究無窮區(qū)間上的三個中值定理.

（ii）應用問題研究：通過研究設計環(huán)形滑車道.

假設滑道上升部分的斜率為0.8，下降部分的斜率為－1.6，并且兩段的直的路徑y(tǒng)＝L1（x），y＝L2（x）和一段拋物線y＝ax2＋bx＋c組成，對于光滑的軌道，前進的方向應該是光滑的，因此應該使得三條線段在連接點P，Q處有切線，如圖7所示.研究下面問題：

（a）假設P，Q之間的水平距離為100米，求出a，b，c，使得該軌道在連接點處是光滑的；

（b）為了設計更為光滑的曲線，假設連接中間拋物線y＝ax2＋bx＋c兩段函數(shù)分別用

為了確保上面三段函數(shù)在連接點的二階導數(shù)相等，研究上面11個未知數(shù)的函數(shù)關(guān)系.

（c）研究設計你喜歡的環(huán)形滑車道路.

圖7

通過查閱非線性方程數(shù)值解方面的書籍和文獻學習和研究同倫算法，并寫出分析報告.

研究小組對問題（i）進行了深入的研究，得到一些結(jié)論，發(fā)表論文見附錄13）.對（iv）學生設計了自己喜歡的滑行軌道.對問題（v）研究小組通過查閱相關(guān)書籍，進一步深入學習，寫出了分析實驗報告.

2.5.4 Taylor公式與插值逼近初步.

Taylor公式是微積分的經(jīng)典內(nèi)容，具有十分重要的理論和應用價值.但傳統(tǒng)的教學方法往往過于強調(diào)其推理和證明，使學生難以理解其思想精髓.在教學過程中通過Taylor公式在導數(shù)數(shù)值計算中的簡單應用，闡述了Taylor在科學計算中的應用，通過Taylor公式構(gòu)造更高精度的計算公式—計算數(shù)學領(lǐng)域的外推算法.在此基礎上給出更一般的結(jié)論—李查遜外推（Richardson），同時讓學生了解控制舍入誤差是科學計算中面臨的重要問題.同時講授了拉格朗日插值和最佳一致逼近問題的相關(guān)結(jié)論.在這一章，設置了探索類問題.

（i）用李查遜外推（Richardson）研究高階導數(shù)的數(shù)值計算.

（ii）1748年，Euler利用

得到e的精度到23位.2000年，Xavier Gourdon仍然用這個公式，得到e的一百二十億位小數(shù)的精度，你能否探索Xavier Gourdon研究方法.

（iii）Taylor公式和Lagrange插值，這是函數(shù)逼近理論中的最基本的方法，但是兩種逼近方法都有缺陷.讀者可以通過查閱函數(shù)數(shù)值逼近方面書籍，進一步學習樣條插值逼近和最佳插值逼近問題，這些逼近方法即保證了逼近的收斂問題.

研究小組針對問題（i）進行了深入研究，研究了高維問題的外推算法，提出了任意階導數(shù)的數(shù)值方法，并對算法的性能進行了分析，發(fā)表論文見附錄8），11）.研究小組對（ii）進行了深入研究，通過查閱大量英文文獻，全面總結(jié)了歷史上各個時期數(shù)學家對e的研究成果，對Xavier Gourdon提出的算法進行了學習、分析，分析報告已經(jīng)被《高等數(shù)學研究》錄用.這兩個學習小組對問題（iii）和（iv）都進一步學習寫出分析實驗報告.

2.5.5 從傅立葉級數(shù)到小波變換.

Fourier變換理論在現(xiàn)代分析中占有核心的地位.在課堂上我們詳細討論Fourier級數(shù)與Fourier變換的基本概念和原理，介紹小波變換，分數(shù)階Fourier變換基本思想.對這一章，我們設置了探索類問題.

（i）通過查閱相關(guān)書籍進一步了解Fourier變換在工程領(lǐng)域的應用，并針對你感興趣的領(lǐng)域?qū)懸环輬蟾妫⒄務勀銓栴}的理解與認識.

（ii）通過查閱相關(guān)書籍進一步了解小波變換的基本思想和方法以及在工程領(lǐng)域的應用，并針對你感興趣的領(lǐng)域?qū)懸环莘治鰣蟾妫⒄務勀銓栴}的理解與進一步的設想.

（iii）通過查閱相關(guān)書籍進一步了解分數(shù)階Fourier變換的基本思想和方法以及在工程領(lǐng)域的應用，并針對你感興趣的領(lǐng)域?qū)懸环輬蟾?，談談與Fourier變換相比，分數(shù)階Fourier變換的優(yōu)勢.

針對這些問題，學生成立了許多研究小組，通過查閱書籍進一步學習，學生對自己感興趣的領(lǐng)域?qū)懗隽朔治鰣蟾?，很多同學對語音識別產(chǎn)生了濃厚的興趣.

2.5.6 數(shù)項級數(shù)與函數(shù)項級數(shù).

數(shù)項級數(shù)的內(nèi)容應該是數(shù)列極限問題的推廣，函數(shù)項級數(shù)研究的中心就是和函數(shù)的分析性質(zhì)，我們設置如下探索類問題.

（i）研究比Raabe判別法更精確的正項級數(shù)收斂的判別法.

隨著m的增大，以｛bm，n｝為基數(shù)列的判別法的精度不斷提高，由此得到足夠高精度的正項級數(shù)判別法，結(jié)論如下：

2.5.7 與計算機相結(jié)合的探索類問題.

計算機技術(shù)的迅速發(fā)展改變了人們思維方式和科學研究方式，促進了許多數(shù)學分枝的迅速發(fā)展.因此我們淡化了函數(shù)作圖和過于復雜的積分計算等問題的教學，增加了非線性方程求根的數(shù)值方法、數(shù)值積分，非線性數(shù)值優(yōu)化初步以及常微分方程數(shù)值求解的基本理論問題，這些內(nèi)容都依賴用計算機來實現(xiàn)算法和進行分析，這些內(nèi)容提高了學生利用計算機解決問題的能力.

（i）研究一類高振蕩常微分方程數(shù)值解法和誤差分析.

（ii）研究一類二階延遲常微分方程的數(shù)值解法，并給出誤差分析.

（iii）用連續(xù)函數(shù)介值定理和閉區(qū)間套定理研究下面非線性方程組根的計算方法.

（iv）利用李查遜外推（Richardson）研究廣義積分的外推算法，并編程實現(xiàn).研究小組對上述問題進行研究，問題（i）和（ii）的研究結(jié)論發(fā)表論文見附錄5）.

3 附錄：學生研究小組發(fā)表錄用論文

1）王瑋彬（39192109），馬建華（39191221），楊小遠.向量函數(shù)一致連續(xù)的比較判別方法研究［J］.數(shù)學理論與應用，2012，2（1）：45－52.

2）楊小遠，范子沛（38060505），孫玉泉.《工科數(shù)學分析》中的探索類問題及教學案例［J］.高等數(shù)學研究，2012，15（1）：98－102.

3）王建元（39061422），張博宇（390614080），楊小遠.二重級數(shù)收斂性研究［J］.河南科學，2011，29（12）：1387－1397.

4）孫玉泉，張文峰（39027126），楊小遠.微積分中積分的統(tǒng)一與運算［J］.河南科學，2011，29（2）：391－396.

5）張凱（39061511），唐文琦（39061629），魏華（39061525），楊若松（39061629），楊小遠.一類常微分方程數(shù)值解法［J］.河南科學，2011，29（2）：127－132.

6）楊小遠，葉子豪（38060228），楊南君（38060226）.正項級數(shù)判別法的進一步研究［J］.河南科學，2010，28（5）：510－514.

7）楊小遠，馬建華（39191221），張立文（39191224），王瑋彬（39192109）.關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法研究［J］.河南科學，2010，28（6）：635－637.

8）楊小遠，周渝智（39192119），林柏洪（39191121）.N階導數(shù)的外推算法研究［J］.河南科學，2010，28（7）：762－766.

9）楊小遠，王瑋彬（39192109），張立文（39191224）.振蕩函數(shù)一致連續(xù)性研究［J］.河南科學，2010，28（8）：899－900.

10）楊小遠，王瑋彬（39192109），馬建華（39191221）.多元振蕩函數(shù)一致連續(xù)性研究［J］.河南科學，2010，28（9）：1061－1064.

11）楊小遠，林柏洪（39191121），張權(quán)（39191205）.高維李查遜外推算法的研究和應用［J］.河南科學，2010，28（10）：1213－1220.

12）楊小遠，王瑋彬（39192109），馬建華（39191221）.多元函數(shù)一致連續(xù)的比較判別方法研究［J］.河南科學，2010，28，（12）：1501－1503.

13）張凱（39061511），唐文琦（39061629），魏華（39061525），楊若松（39061629），魏成（39061523），楊小遠.關(guān)于羅爾定理的進一步討論［J］.高等數(shù)學研究2010，13（5）：58－60.

4 結(jié) 論

本文詳細介紹了我們在主講《工科數(shù)學分析》課程中以問題驅(qū)動的研究性微積分教學模式和培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的嘗試以及取得的成績.我們不能說學生的研究結(jié)論有多重要，但是他們邁出可喜的一步，他們懂得了如何學習，如何思考問題，養(yǎng)成開放思維的習慣，為今后的學習和未來的研究打下扎實的基礎.

［1］李尚志.線性代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，2011.

［2］國家視頻精品課程［DB］.http：∥video.jingpinke.com／details？uuid＝8503ff93－1361－1000－95c1－fae62e9cd3a4.

Fostering Creativity in College Freshmen：an Empirical Exploration

YANGXiao－yuan，LIShang－zhi
（Department of Mathematics，School of Mathematics and Systems，Beihang University，Beijing 100191，China）

This paper details an innovative approach used in teaching Analysis for Engineers.The projects－based curriculum and the question－driven instruction mode provide an effective vehicle for developing students＇creativity，a significant improvement upon the traditional curriculum design.

analysis；creativity；projects－based calculus teaching

O177.2

A

1672－1454（2012）04－0013－09

2011－08－10

北京市精品課程建設項目；北京航空航天大學重點教改項目“工科數(shù)學分析開放式教學研究與實踐”