杜先存，趙金娥

（紅河學(xué)院a.教師教育學(xué)院，b.數(shù)學(xué)系，云南蒙自 661199）

通常的Pell方程指形如x2-Dy2＝±1或x2-Dy2＝±4（x，y∈Z，D 是一個非完全平方的正整數(shù)）的不定方程.廣義的Pell方程是上述形式的推廣，它具有以下兩種基本形式：

x2-Dy2＝C（x，y，C∈Z，D 是一個非完全平方的正整數(shù)）；

ax2-by2＝±1或±2或±4（x，y∈Z，ab∈Z＋，a，b是非完全平方的正整數(shù)）.

Pell方程經(jīng)過許多人的研究，不僅在理論上已日臻成熟，而且其應(yīng)用價值也在不斷被挖掘.在現(xiàn)實生活中，關(guān)于Pell方程的應(yīng)用也非常廣泛，在其他一些領(lǐng)域，如計算機(jī)科學(xué)、電子學(xué)、信號的數(shù)字處理等方面，也應(yīng)用到Pell方程的相關(guān)知識.Pell方程的理論成果在丟番圖逼近理論及代數(shù)數(shù)論中起著十分重要的作用，并且對于解決一類丟番圖方程解的存在性問題有著很大的幫助.

關(guān)于廣義Pell方程x2-Dy2＝C的解的問題，文獻(xiàn)［1］已有一些結(jié)果.關(guān)于廣義Pell方程ax2-by2＝1的解的問題，文獻(xiàn)［2］已有一些結(jié)果.關(guān)于Pell方程

的整數(shù)解的問題，文獻(xiàn)［3-5］已有如下結(jié)果：

定理1′［3］當(dāng)D≡1（mod 4）時，（＊）有整數(shù)解.

定理2′［4］當(dāng)≡5（mod 8）且為素數(shù)時，（＊）有正整數(shù)解.

定理3′［5］當(dāng)D≡3（mod 4）或D 含 有4m＋3型素因子時，（＊）無整數(shù)解.

定理4′［5］當(dāng)D≡0（mod 4）時，（＊）無整數(shù)解.

定理5′［5］當(dāng)≡1（mod 8）且為素數(shù)時，若D＝r2＋s2（其中r、s為奇數(shù)），如果r≡±3（mod 8），s≡±3（mod 8），則（＊）無整數(shù)解.

對于D≡2（mod 4）的情形，即Pell方程（＊）變?yōu)?/p>

則比較復(fù)雜.本文就Pell方程（＊＊）的解進(jìn)行討論.

1 預(yù)備知識

引理1［6］當(dāng)n∈Z＋時，一切大于2的質(zhì)數(shù)，不是形如4n＋1就是形如4n-1.

引理2［6］當(dāng)n∈Z＋時，任意多個形如4n＋1的數(shù)的積仍是4n＋1的數(shù).

2 相關(guān)定理及證明

2.1 n為奇數(shù)的情形

定理1 當(dāng)n為奇數(shù)且2n＋1為素數(shù)時，（＊＊）無整數(shù)解.

證明 當(dāng)n為奇數(shù)時，令n＝2k＋1（k∈N），因為2n＋1為合數(shù)，所以4k＋3為合數(shù).設(shè)4k＋3＝pi（pi為質(zhì)數(shù)，i＝1，2，…，s），則由引理1，得pi（i＝1，2，…，s）不是形如4n＋1就是形如4n-1的數(shù).若pi（i＝1，2，…，s）全為4n＋1型，則由引理2，得pi仍是4n＋1型的數(shù)，這與“4k＋3（＝4（k＋1）-1）是4n-1型的數(shù)”矛盾，故pi（i＝1，2，…，s）中至少有一個是4n-1（＝4（n-1）＋3）型的數(shù)，即4k＋3中至少有一個是4m＋3型的素因數(shù).因此，由定理3′，得式（1）無整數(shù)解，故（＊＊）無整數(shù)解.則（＊＊）為x2-（8k＋6）y2＝-1，即

因為2n＋1為素數(shù)，所以4k＋3為素數(shù).由定理3′得，式（1）無整數(shù)解，故（＊＊）無整數(shù)解.

定理2 當(dāng)n為奇數(shù)且2n＋1為合數(shù)時，（＊＊）無整數(shù)解.

證明 當(dāng)n為奇數(shù)時，令n＝2k＋1（k∈N），則（＊＊）為x2-（8k＋6）y2＝-1，即

2.2 n為偶數(shù)的情形

證明 當(dāng)n為偶數(shù)時，令n＝2k（k∈N），則（＊＊）為x2-（8k＋2）y2＝-1，即

定理4 當(dāng)n為偶數(shù)且2n＋1中含有4m＋3型素因子時，（＊＊）無整數(shù)解.

證明 當(dāng)n為偶數(shù)時，令n＝2k（k∈N），則（＊＊）為x2-（8k＋2）y2＝-1，即

由于2n＋1中含有4m＋3型素因子，則8k＋2中含有4m＋3型素因子.因此，由定理3′，得式（2）無整數(shù)解，故（＊＊）無整數(shù)解.

因為k為單數(shù)，設(shè)k＝2k′＋1（k′∈N），則2n＋1＝4k＋1＝8k′＋5，所以8k′＋5≡5（mod 8），即2n＋1≡5（mod 8）.又因為2n＋1為素數(shù)，故由定理2′，得式（2）有正整數(shù)解，所以（＊＊）有正整數(shù)解.

3 實 例

例 判斷下列方程是否有解：

解 ① 因為22＝2×11＝2×（2×5＋1），5為奇數(shù)，故由定理1，得x2-22y2＝-1無整數(shù)解.

② 因為30＝2×15＝2×（2×7＋1），7為奇數(shù)且15＝3×5，故15中含素因數(shù)3和5，故由定理2，得x2-30y2＝-1無整數(shù)解.

③ 因 為42＝2×21＝2×（2×10＋1），10為偶數(shù)且，故由定理3，得x2-42y2＝-1無整數(shù)解.

④ 因 為18＝2×9＝2×（2×4＋1），4為偶數(shù)且9中含素因數(shù)3，故由定理4，得x2-18y2＝-1無整數(shù)解.

⑤ 因 為34＝2×17＝2×（2×8＋1），8為偶數(shù)且34＝32＋52，3≡3（mod 8），5≡-3（mod 8），故由定理5，得x2-34y2＝-1無整數(shù)解.

［1］ 趙丕卿，趙剛堂.Pell方程x2-（a2-1）y2＝k的解集［J］.沈陽大學(xué)學(xué)報，2009，21（5）：107-110.

［2］ 杜先存，萬飛，趙金娥.Pell方程ax2-by2＝1的最小解［J］.湖北民族學(xué)院學(xué)報，2012，30（1）：35-38.

［3］ 柯召，孫琦.談?wù)劜欢ǚ匠蹋跰］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2011：22-23.

［4］ 曹珍富.不定方程及其應(yīng)用［M］.上海：上海交通大學(xué)出版社，2007：2-4.

［5］ 曹珍富.丟番圖方程引論［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989：160-161.

［6］ 王進(jìn)明.初等數(shù)論［M］.北京：人民教育出版社，2002：27.