關(guān) 威，高斌斌

（沈陽航空航天大學(xué) 自動化學(xué)院，遼寧 沈陽 110136）

通過魯棒控制設(shè)計技術(shù)得到的控制器將會對控制器參數(shù)的攝動及不確定性表現(xiàn)出較強(qiáng)的敏感性及脆弱性［1］.這意味著在控制器設(shè)計過程中，微小的控制器參數(shù)攝動都有可能導(dǎo)致閉環(huán)系統(tǒng)性能下降甚至導(dǎo)致系統(tǒng)崩潰.目前，有大量的文章考慮到非脆弱控制及濾波器設(shè)計問題［2-7］.然而，已有文獻(xiàn)主要考慮單一性能下的控制器設(shè)計問題［5-7］.而在考慮混合性能的情況下進(jìn)行非脆弱動態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計是一個極為復(fù)雜而困難的問題.

混合H2／H∞控制器設(shè)計技術(shù)因其具有H2最優(yōu)控制及H∞魯棒控制兩者的共同優(yōu)點，可廣泛應(yīng)用于實際控制工程領(lǐng)域.針對線性系統(tǒng)，混合H2／H∞控制問題已經(jīng)得到廣泛的研究［8-9］.然而，滿足混合性能的非脆弱控制器設(shè)計方面的成果卻很少［10］.文獻(xiàn)［10］針對一類線性周期采樣系統(tǒng)考慮了穩(wěn)態(tài)協(xié)方差及魯棒H∞性能的非脆弱一致性問題，其中，周期采樣系統(tǒng)以間隔的形式進(jìn)行描述.然而，非脆弱混合H2／H∞動態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計問題仍有待解決.基于這一原因，本文在考慮乘性控制器參數(shù)變化的情況下，通過線性矩陣不等式方法設(shè)計了混合H2／H∞動態(tài)輸出反饋控制器，從而保證了閉環(huán)系統(tǒng)具有漸近穩(wěn)定性及混合H2／H∞性能.另外，針對凸多面體結(jié)構(gòu)的不確定線性系統(tǒng)，其結(jié)果可被推廣到魯棒非脆弱混合H2／H∞控制器的設(shè)計中.由于文中所給的設(shè)計條件含有等式約束，因此，本文考慮采用文獻(xiàn)［11］所提的連續(xù)線性規(guī)劃矩陣方法（SLPMM，Sequential Linear Programming Matrix Method）來解決該非凸的問題，并通過Matlab YALMIP工具包求解.本文涉及的定義及符號如下：P＝PT＞0（P＝PT≥0）說明P為正定（半正定）矩陣；diag｛ρ1，ρ2，…，ρn｝代表對角矩陣，其對角線元素為ρ1，ρ2，…，ρn.另外，本文通過“＊”標(biāo)注對稱矩陣中省略的部分.

1 問題描述

考慮如下離散時間系統(tǒng)：

式中，x（k）∈Rn，u（k）∈Rm，w（k）∈Rγ，z（k）∈Rq及y（k）∈Rp分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量、控制輸入向量、擾動向量、控制輸出向量及測量輸出向量，且假設(shè)w（k）為高斯白噪聲信號；系統(tǒng)矩陣A，B1，C1，B2，C2，D12及D21為具有相應(yīng)維數(shù)的已知常數(shù)矩陣.

本文旨在設(shè)計動態(tài)輸出反饋控制器，其結(jié)構(gòu)描述如下：

式中，AK1，BK1及CK1為所要設(shè)計的控制器參數(shù)；Δ1，Δ2及Δ3為控制器增益的變化量，定義如下：

式中，F(xiàn)l（k）（l＝1，2，3）為實不確定矩陣，且

于是可得如下新形式的控制器描述：

式中，M為可逆矩陣.

將控制器（7）應(yīng)用于系統(tǒng)（1）中，可得如下閉環(huán)系統(tǒng)：

于是，非脆弱混合H2／H∞動態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計問題可表述如下：

（1）如不存在外部擾動，即w（k）＝0，那么閉環(huán)系統(tǒng)（8）是漸近穩(wěn)定的；

（2）閉環(huán)系統(tǒng)（8）具有 H2／H∞性能，當(dāng)且僅當(dāng)傳遞函數(shù)矩陣T（z）＝Ccl（zI-Acl）-1Bcl同時滿足‖T（z）‖∞＜γ∞及‖T（z）‖2＜γ2.

以下引理將對本文的主要結(jié)論起到支撐作用.

引理1［12］令N＝NT.H及E為具有相應(yīng)維數(shù)的實數(shù)矩陣，F(xiàn)（k）滿足FT（k）F（k）≤ρI，于是有

當(dāng)且僅當(dāng)存在ε＞0且滿足

下面給出H2及H∞范數(shù)有界的實有界引理.

引理2（H∞范數(shù)界）［13］令γ∞＞0，于是可得如下兩個等價的條件：

（1）系統(tǒng)（8）為漸近穩(wěn)定的，且T（z）的H∞范數(shù)不會超過γ∞＞0，即

（2）存在一個實數(shù)矩陣G∞及對稱正定矩陣P∞＝＞0，滿足

引理3（H2范數(shù)界）［14］給定γ2＞0，于是可得如下兩個等價的條件：

（1）系統(tǒng)（8）為漸近穩(wěn)定的，且T（z）的H2范數(shù)不會超過γ2＞0，即

（2）存在矩陣G2、正定對稱矩陣P2＝＞0及W＝WT＞0，滿足

2 主要結(jié)果

下面針對控制器不確定的情況給出基于線性矩陣不等式的動態(tài)輸出反饋混合H2／H∞控制器設(shè)計方法.對于所有可容許的乘性控制器增益不確定性，該方法能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的且同時滿足H2／H∞性能.對于多目標(biāo)控制問題，通常是給定其中的一個性能指標(biāo)，然后優(yōu)化另一個性能指標(biāo)，或者通過加權(quán)實現(xiàn)兩者的綜合優(yōu)化.本文采用后者，較好地解決了H2性能和H∞性能之間的綜合優(yōu)化問題 .通過以上分析，混合H2／H∞控制問題可通過求解如下最優(yōu)化問題解決：

其中，α及β分別為兩目標(biāo)函數(shù)的加權(quán)系數(shù) .然而，多目標(biāo)控制問題（17）的求解過程是非凸的并且是難以得到解決的［15］.因此，為了解決上述困難，引入約束G2＝G∞＝G且P2＝P∞＝P.值得一提的是，以上策略被大量用于混合H2／H∞.下面，基于矩陣不等式方法，給出動態(tài)輸出反饋非脆弱混合H2／H∞控制器存在的充分性條件.首先，給出如下定義：

定理 給定標(biāo)量γ2＞0，γ∞＞0以及加權(quán)系數(shù)α、β（其中，α、β∈ ［0，1 ］且α＋β＝1），如果存在常數(shù)εl（l＝1，2，3）及矩陣

那么，系統(tǒng)（8）是漸近穩(wěn)定的且滿足H2／H∞范數(shù)約束（11）和（13）.另外，如果這些不等式存在解，那么控制器可由如下式子給出：

證明 由Schur補(bǔ)引理可得，矩陣不等式（20）及式（21）等價于

將引理1應(yīng)用于式（25）、式（26）及式（27），并將式（3）代入可得

構(gòu)造如下矩陣：

將式（23）代入式（22），并由Schur補(bǔ)引理可得

如果定理存在解，那么由式（24）可得矩陣S是非奇異的.定義

其中，U和V是非奇異的 .將式（41）代入式（38）、式（39）及式（40）中，并令M＝VY-1≠O，則有

在式（42）、式（43）及式（44）兩邊分別同時乘以

因此，由式（17）可得閉環(huán)系統(tǒng)（8）是漸近穩(wěn)定的，且同時滿足 H2／H∞范數(shù)約束（13）及式（11）.

注：如果對于L＞0和ˉH＞0，不等式

3 仿真例子

3.1 針對確定系統(tǒng)的數(shù)值算例

考慮如下系統(tǒng)參數(shù)及控制器的增益變化參數(shù)：

通過帶有SeDuMi求解器的YALMIP工具包，求解滿足條件Ω＜0、式（22）及式（50）的可行性問題，可得最優(yōu)H∞性能指標(biāo)為γ∞＝0.537 5，控制器參數(shù)為

另外，在滿足條件（19）、Ψ＜0、式（21）、式（22）及式（50）下，可得最小值Tr（W）＝0.348 3，并有

考慮多目標(biāo)優(yōu)化問題時，首先設(shè)加權(quán)系數(shù)為α＝0.8，β＝0.2.在約束條件式（19）～式（22）及式（50）下，可得優(yōu)化指標(biāo)為0.516 6.控制器參數(shù)為

3.2 針對不確定系統(tǒng)的數(shù)值算例

考慮如下系統(tǒng)參數(shù)：

同時，通過最小化指標(biāo)Tr（W）＝1.681 6可得H2控制器，其控制器參數(shù)如下：

進(jìn)而考慮多目標(biāo)優(yōu)化問題，首先設(shè)加權(quán)系數(shù)為α＝0.8，β＝0.2，可得最優(yōu)性能指標(biāo)為2.103 1及如下多目標(biāo)控制器參數(shù)：

4 結(jié) 語

針對控制器帶有乘性變增益情況的離散系統(tǒng)，本文考慮了非脆弱混合H2／H∞輸出反饋控制器的設(shè)計問題.基于矩陣不等式技術(shù)，針對動態(tài)輸出反饋控制器的存在性給出了充分條件.以所得結(jié)果為基礎(chǔ)，針對帶有凸多面體結(jié)構(gòu)的不確定離散系統(tǒng)，考慮了魯棒非脆弱混合H2／H∞輸出反饋控制器設(shè)計問題.

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