郭 祥 貴

（天津理工大學(xué)a.自動化學(xué)院電氣工程系；b.天津市復(fù)雜系統(tǒng)控制理論及應(yīng)用重點實驗室，天津 300384）

控制理論與實踐中的一個基本問題是設(shè)計反饋控制律，以保證閉環(huán)系統(tǒng)具有所要求的動態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能.最常用的控制器設(shè)計方法有狀態(tài)反饋控制和輸出反饋控制兩種.然而，在許多工程實踐中，系統(tǒng)的狀態(tài)往往不能直接測量或者通過測量輸出信號得到部分信息［1-2］，特別是那些只能測量到輸出信號的系統(tǒng)，這使得狀態(tài)反饋控制方案在工程中較難實現(xiàn).考慮到實施控制的成本和系統(tǒng)可靠性等因素，采用輸出反饋控制更具有實際意義［3］.目前，針對線性系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋控制問題的研究已經(jīng)有了很多相關(guān)結(jié)果［4-5］.

然而，隨著科學(xué)技術(shù)和工程應(yīng)用的發(fā)展，工業(yè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)越來越復(fù)雜，以及測量變參數(shù)的困難、環(huán)境噪聲等，許多實際工業(yè)系統(tǒng)，如化工、冶金、通信、航空航天等，都具有非線性特性，且難以獲得它們的精確數(shù)學(xué)模型.由此，針對非線性系統(tǒng)的控制和濾波得到了日益廣泛的重視和研究，并取得了許多有意義的結(jié)果［6-9］.針對非線性不確定系統(tǒng)，文獻(xiàn)［6］研究了魯棒H∞狀態(tài)反饋控制器設(shè)計，而文獻(xiàn)［7-9］考慮了可靠濾波器設(shè)計問題.需要指出的是，針對非線性控制問題，主要考慮了狀態(tài)反饋控制.針對非線性系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋控制問題也得到了一些不錯的成果［10-11］.其中，文獻(xiàn)［10］針對不確定T-S連續(xù)模糊系統(tǒng)研究了跟蹤控制問題，并給出了基于輸出反饋跟蹤控制的模型參考.文獻(xiàn)［11］基于Lyapunov技術(shù)研究了測量非線性系統(tǒng)的輸出反饋控制問題，并給出了基于動態(tài)輸出反饋的狀態(tài)觀測器存在的充分條件.然而，系統(tǒng)中含有非線性因素，使得針對非線性系統(tǒng)的動態(tài)輸出反饋控制器設(shè)計本身具有一定的難度，因此，相關(guān)文獻(xiàn)相對較少.

本文針對具有非線性不確定的連續(xù)非線性系統(tǒng)研究了動態(tài)輸出反饋控制器的設(shè)計方法，所設(shè)計的控制器能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定且滿足給定的H∞性能要求.提出了一類基于S-過程的方法處理帶有非線性不確定的問題，并給出了基于LMI技術(shù)［12］的動態(tài)輸出反饋控制器存在的充分條件.最后，通過仿真算例說明了本文所提方法的有效性.

1 問題描述

連續(xù)非線性系統(tǒng)描述為其中，x（t）∈Rn表示狀態(tài)向量，w（t）∈Rr表示外部干擾，并假設(shè)屬于L2［0，＋∞），u（t）∈Rm表示控制輸入，z（t）∈Rq表示被調(diào)輸出，且y（t）∈Rp表示測量輸出.另外，系統(tǒng)矩陣A，B1，B2，C1，C2，D12，D21，F(xiàn)及H 為具有合適維數(shù)的已知常數(shù)矩陣.函數(shù)f（＊）和h（＊）是未知的向量非線性函數(shù)，并滿足如下假設(shè)：

假設(shè) 假設(shè)向量非線性函數(shù)f（＊）和h（＊）是未知函數(shù)，并滿足如下有界條件：

其中，矩陣M∈Rn×n和N∈Rn×n為已知常數(shù)矩陣.為了方便描述，并不失一般性，總假設(shè)

注1 自然現(xiàn)象就其本質(zhì)來說，都是復(fù)雜的、非線性的.因此，如何刻畫非線性系統(tǒng)的特征是研究非線性系統(tǒng)的前提條件.基于上述事實，本文研究如式（1）所示的連續(xù)非線性系統(tǒng)，以便能精確地描述系統(tǒng)建模時出現(xiàn)的不確定性.

注2 假設(shè)中所給的非線性條件已經(jīng)被廣泛研究，如文獻(xiàn)［6，8］.然而上述文獻(xiàn)都只是研究了基于狀態(tài)反饋的魯棒可靠H∞控制及可靠濾波器設(shè)計.

針對系統(tǒng)（1）設(shè)計如下形式的動態(tài)輸出反饋控制器：

為了方便描述，定義如下矩陣：

那么，閉環(huán)系統(tǒng)可以描述如下：

本文的主要目標(biāo)是設(shè)計動態(tài)輸出反饋控制器（3），使得閉環(huán)系統(tǒng)（4）在無外部干擾時是漸近穩(wěn)定的，同時滿足H∞性能要求.

首先，給出如下幾個對推導(dǎo)本文主要結(jié)果具有重要作用的引理.

引理1 （S-過程）［13］令 T0（x），T1（x），…，Tp（x）為二次函數(shù)，其中，x∈Rn，即

式中，Ψi＝ΨTi.如果存在非負(fù)常數(shù)τ1，…，τp，使得式子

成立，那么

成立.

引理2［8］假設(shè)f（＊）是向量非線性函數(shù)，且M∈Rn×n為已知常數(shù)矩陣，則由下述條件

‖f（x（t））‖ ≤ ‖Mx（t）‖ （?x∈Rn）可以推出

成立.

引理3［14-15］給定對稱矩陣ψ∈Rn×n以及矩陣P∈Rn×m和Q∈Rp×n滿足

那么，當(dāng)且僅當(dāng)

成立時，對于合適維數(shù)的矩陣X，下述不等式是可解的：

其中，ζP和ζQ分別為矩陣P和Q的零空間.

2 主要結(jié)果

2.1 穩(wěn)定性分析及L2增益分析

下面基于多變量變化及S-過程研究閉環(huán)系統(tǒng)（4）的穩(wěn)定性分析及L2增益分析.首先，給出全維漸近穩(wěn)定的結(jié)果.

引理4 當(dāng)w（t）≡0時，對于閉環(huán)系統(tǒng)（4），給定矩陣M和N.如果存在矩陣P＝PT＞0及非負(fù)常數(shù)τi（i＝1，2），使得成立，那么，在無外部干擾w（t）的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的.

證明 選擇如下Lyapunov函數(shù)：

其中，矩陣P＝PT＞0為所要求的.

當(dāng)w（t）＝0時，結(jié)合閉環(huán)系統(tǒng)（4），對上述Lyapunov函數(shù)求導(dǎo)可得

由引理2和式（2）可得

由Schur補(bǔ)引理，式（5）等價于如下式子：

那么，結(jié)合引理1和式（6），可以得到Ψ0＜0.因此，當(dāng)外部干擾w（t）＝0時，閉環(huán)系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的.

在給出本文控制器的設(shè)計方法之前，給出如下引理，該引理能保證閉環(huán)系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的，同時滿足H∞性能約束.

引理5 對于閉環(huán)系統(tǒng)（4），給定常數(shù)γ＞0及已知常數(shù)矩陣M∈Rn×n和N∈Rn×n.如果存在矩陣P＝PT＞0和非負(fù)常數(shù)τi（i＝1，2），使得

成立，那么，閉環(huán)系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的，同時滿足H∞性能約束.其中，F(xiàn)1＝τ1LTMT，F(xiàn)2＝τ2LTNT.

證明 為了使閉環(huán)系統(tǒng)（4）滿足H∞性能約束，需要考慮如下性能指標(biāo)：

因此，由Lyapunov穩(wěn)定性理論可以得出條件（7）能夠保證閉環(huán)系統(tǒng)（4）漸近穩(wěn)定且同時滿足H∞性能約束.

2.2 鎮(zhèn)定控制器設(shè)計

在無外部擾動w（t）的情況下，下面給出使得閉環(huán)系統(tǒng)（4）全維漸近穩(wěn)定的動態(tài)輸出反饋控制器（3）存在的充分條件.首先，給出如下定理.

定理1 在無外部擾動w（t）的情況下，如果存在矩陣X＞0，Y＞0及非負(fù)常數(shù)τi（i＝1，2），使得如下不等式

成立，那么，存在如式（3）中的動態(tài)輸出反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)（4）漸近穩(wěn)定.

證明 顯然，矩陣不等式（5）可以重新寫成如下形式：

由引理3，式（12）成立的充要條件是

為了將所要設(shè)計的問題線性化，需要適當(dāng)?shù)木仃囎儞Q.基于文獻(xiàn)［16］中的變量變換技術(shù)，將矩陣P和P-1分解成如下形式：

其中，矩陣P和P-1具有合適的維數(shù)，并且有U∈Rn×n，M∈Rn×n，V∈Rn×n，N∈Rn×n，X＝XT＞0∈Rn×n，Y＝Y(jié)T＞0∈Rn×n.不失一般性，總假設(shè)矩陣M和N 行滿秩（具體可參考文獻(xiàn)［16］）.那么，可以得到

這意味著式（13）中的兩個不等式分別等價于式（10）和式（11）.

構(gòu)造如下矩陣：

由PP-1＝I，可以得到

那么，可以得出P＞0，與式（17）等價.

［15］，如果線性矩陣不等式（10）和式（11）的解（X＞0，Y＞0）滿足如下秩約束：

那么，nc階（nc≤n）的控制器就可以通過構(gòu)造得到.選擇矩陣U＞0和矩陣N，使得

從而，通過求解矩陣不等式（12）得到鎮(zhèn)定輸出反饋控制器K.

注3 顯然，式（19）的一個特解是N＝U＝Y(jié)-X-1.

2.3 動態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計

下面通過矩陣線性化變換方法來設(shè)計動態(tài)輸出反饋H∞控制律.首先給出如下定理.

定理2 給定常數(shù)γ＞0和已知常數(shù)矩陣M和N，如果存在矩陣X＞0，Y＞0及非負(fù)常數(shù)τi（i＝1，2）滿足式（9）及以下矩陣不等式：

那么，閉環(huán)系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的，且L2增益小于或等于γ.假設(shè)矩陣不等式（9）和式（20）存在解），那么，所期望的動態(tài)輸出反饋控制器（3）的增益矩陣可以由式（21）得出：

式中，矩陣 M∈Rn×n和N∈Rn×n滿足式（18）中的約束.

證明 如果存在矩陣P＞0使得不等式（7）成立，那么，閉環(huán)系統(tǒng)（4）是漸近穩(wěn)定的，且從w（t）到z（t）的L2增益小于或等于γ.

將矩陣P和P-1分解成如式（14）的形式，并構(gòu)造如式（15）中的矩陣J1和J2.

對控制變量作如下線性變換：

注4 需要指出的是，對于給定的τ1和τ2，定理2中的條件將是線性的.相關(guān)的討論及如何選擇參數(shù)τ1和τ2可以參考文獻(xiàn)［17-18］等.因此，可以通過凸優(yōu)化算法實現(xiàn)γ的最小化.

基于定理2，動態(tài)輸出反饋控制器可由如下算法獲得：

S1 固定參數(shù)τ1和τ2，使得條件（20）轉(zhuǎn)化為線性條件.

其中，最小干擾抑制為γ＊.

S3 獲得最優(yōu)γ值及控制器增益.

3 仿真例子

下面給出數(shù)值例子說明所設(shè)計的動態(tài)輸出反饋控制策略的有效性.考慮不穩(wěn)定非線性連續(xù)系統(tǒng)（1）具有如下矩陣參數(shù)：

可以很容易判別出開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.因此，本文的目標(biāo)是設(shè)計一動態(tài)輸出反饋H∞控制器，如式（3）所示，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定且滿足H∞性能要求.給定τ1＝5及τ2＝1.1，基于算法，最小化定理2中的γ值，可以得到H∞性能γ＝0.305 5，其相應(yīng)的控制器增益矩陣由式（21）求得如下：

為了更加清晰地說明本文所提方法的有效性，給出如下仿真結(jié)果.假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)和控制器的初始狀態(tài)分別為x0＝［0.2 0 0.1-0.5］，＝ ［ 0000］ ， 并且假設(shè)外部干擾輸入wT（t）＝ ［ w1（t） w2（t）］T，其中，

其中，函數(shù)f（x（t））和h（x（t））滿足非線性約束（2）.

圖1給出了開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線.從圖1可以看出，當(dāng)沒有控制器作用時，開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的.圖2給出了在所設(shè)計的動態(tài)輸出反饋控制器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)，從該圖可以看出此時的系統(tǒng)是穩(wěn)定的.由此說明本文所提控制策略的有效性.

圖1 開環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.1 State curve of the open loop system

圖2 閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線Fig.2 State curve of the closed-loop system

4 結(jié) 語

本文針對一類非線性不確定連續(xù)系統(tǒng)考慮了動態(tài)輸出反饋H∞控制器設(shè)計的問題.提出了一種結(jié)合S-過程的新的方法來處理非線性不確定的問題.接著，基于線性矩陣不等式技術(shù)，給出了控制器存在的充分條件，給出了控制器的具體描述形式，并通過凸優(yōu)化算法進(jìn)行求解.最后，通過仿真算例進(jìn)一步驗證了所提方法的有效性.

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