李曉康

（陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 漢中 723000）

數(shù)學(xué)建模思想在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中的應(yīng)用

李曉康

（陜西理工學(xué)院 數(shù)學(xué)系，陜西 漢中 723000）

數(shù)學(xué)建模，即運用數(shù)學(xué)原理與方法解決實際問題的全部過程.討論了將數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)用到概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中，采用案例式教學(xué)，以培養(yǎng)和提高學(xué)生的以解決問題為核心的實踐和應(yīng)用能力，并給出了兩個教學(xué)中的案例.

數(shù)學(xué)建模；概率論與數(shù)理統(tǒng)計；案例式教學(xué)

數(shù)學(xué)建模，即運用數(shù)學(xué)原理與方法解決實際問題的全部過程，其中包括問題的簡化與假設(shè)、模型的建立與求解、解的分析與評價、模型的檢驗與應(yīng)用.它鍛煉和培養(yǎng)的是以發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題為核心的綜合能力，是與數(shù)學(xué)的實質(zhì)相符合的.數(shù)學(xué)的實質(zhì)在于透過現(xiàn)象，描述問題的本質(zhì)及其內(nèi)在規(guī)律，并利用合適的數(shù)學(xué)形式將其表述.傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)課程的教育教學(xué)方式非常重視學(xué)生的邏輯思維與推力、計算能力的培養(yǎng)，而在學(xué)生的實踐能力與動手能力的培養(yǎng)方面顯得不足.為了加強學(xué)生的實踐能力與動手能力的培養(yǎng)，近年來，國內(nèi)一些院校及學(xué)者紛紛開展了傳統(tǒng)教育教學(xué)體系的改革與研究[1,2]，全國中小學(xué)也開展了新課程教育教學(xué)內(nèi)容與手段的改革.隨著基礎(chǔ)教育改革的不斷深入，在當(dāng)前教育改革發(fā)展的諸多工作中，培養(yǎng)和培訓(xùn)適應(yīng)我國經(jīng)濟、社會發(fā)展特別是新一輪基礎(chǔ)教育課程改革需要的新型教師，是一項重要而緊迫的任務(wù).近年來，數(shù)學(xué)專業(yè)在培養(yǎng)目標，課程體系，教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面也進行了一系列改革.但改革的深度和速度仍不能適應(yīng)社會對人才的需要，具體表現(xiàn)在：

1）培養(yǎng)目標和課程體系仍立足于本專業(yè)，重視本專業(yè)課程的縱向發(fā)展而忽視學(xué)科之間的橫向聯(lián)系.數(shù)學(xué)教學(xué)過分強調(diào)每個學(xué)科或課程自身的體系，而不同學(xué)科或課程的內(nèi)容及方法嚴重割裂，這既不利于整體數(shù)學(xué)觀點的建立，又制約了數(shù)學(xué)綜合能力的提高，培養(yǎng)的學(xué)生知識面狹窄，綜合應(yīng)用能力差.

2）課程內(nèi)容仍存在陳舊僵化的弊端.現(xiàn)行數(shù)學(xué)課程體系，大多數(shù)內(nèi)容是19世紀以前的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，而富于活力的近現(xiàn)代內(nèi)容，特別是20世紀以來的數(shù)學(xué)研究的新成果則無法進入課堂，既不能適應(yīng)社會發(fā)展和科技進步，又脫離基礎(chǔ)教育實際.

3）以數(shù)學(xué)建模思想和技術(shù)為核心的數(shù)學(xué)思想和方法迅速滲透和應(yīng)用到生產(chǎn)、生活、工程技術(shù)的各個領(lǐng)域.而傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)類課程在這一方面不能滿足社會對實踐型和應(yīng)用型人才的要求.

因此，原有課程設(shè)置和教學(xué)內(nèi)容已不能適應(yīng)社會經(jīng)濟發(fā)展對人才的需要.將數(shù)學(xué)建模思想、方法融入到數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的主干課程，強化以數(shù)學(xué)建模思想和技術(shù)為核心的實踐、應(yīng)用能力的培養(yǎng)，改革、創(chuàng)新傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式，適應(yīng)新形勢下社會對人才的要求，具有十分重要的理論與實際意義.

本文旨在探討將數(shù)學(xué)建模思想和方法滲透和融入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中，改革傳統(tǒng)的課堂教學(xué)模式，培養(yǎng)和提高學(xué)生應(yīng)用隨機數(shù)學(xué)的思想方法建模、解決實際問題的實踐、應(yīng)用能力.

1 概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的特點

概率論與數(shù)理統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支.其理論方法獨特，抽象，它是建立在公理化結(jié)構(gòu)之上，理論嚴密，體系完整，同時，它的實踐性又很強，很多重要的統(tǒng)計思想、方法都是來自于實踐，又運用于實踐.故它與數(shù)學(xué)建模的“始于實踐，終于實踐”的特點是一致的，可采用數(shù)學(xué)建模教學(xué)的模式組織和實施課堂教學(xué)，以便激發(fā)和提高學(xué)生對本課程的興趣，達到良好的教學(xué)目的與效果.

2 采用案例式教學(xué)方法，將數(shù)學(xué)建模思想融入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)

為將數(shù)學(xué)建模思想融入到概率論與數(shù)理統(tǒng)計教學(xué)中，培養(yǎng)和提高學(xué)生以解決問題為核心的實踐和應(yīng)用能力，可按照數(shù)學(xué)建模課程的模式組織概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中某些內(nèi)容的教學(xué).具體來講，就是以實際問題為背景，采用案例式教學(xué)方法.“案例教學(xué)”就是通過實際問題的描述、假設(shè)、建模與求解，演示理論與方法的應(yīng)用過程.數(shù)學(xué)上，這樣的教學(xué)方式就是所謂的“問題解決”的數(shù)學(xué)建模的思想.這種方法不拘泥于對理論和方法的闡述，更注重對理論與方法的實際應(yīng)用過程的展示：包括問題的描述、所涉及的變量及其相互關(guān)系、問題的假設(shè)與簡化、問題的數(shù)學(xué)模型的建立與求解.即案例式教學(xué)是以問題為中心的一種教學(xué)方法，以問題為主線，發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，解決問題，以問題開始，以解決問題結(jié)束.通過這種教學(xué)方式，可強化學(xué)生對基本概念、方法的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教學(xué)中，在介紹完每一章的基本概念、理論、方法之后，適當(dāng)?shù)囊胍恍┫嚓P(guān)的教學(xué)案例，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對所學(xué)基本知識的理解，通過對案例的深入分析，可以強化學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.下面介紹幾個在本課程中使用的案例.

2.1 運氣問題

此問題通過對日常生活中的運氣問題的分析，加深了大家對古典概型中相關(guān)知識與方法的理解[3,4].問題如下：

日常生活中，我們經(jīng)常遇到某件事（結(jié)果）連續(xù)發(fā)生，如打牌時連續(xù)摸到好牌（或臭牌），是否存在我們所說的運氣？

下面運用古典概型相關(guān)方法對此進行深入分析，以使學(xué)生對此問題有更深入的理解.

我們運用擲硬幣試驗對打牌問題進行描述：

第i次擲出正面表示第i次得到好牌，用“1”表示；

第i次擲出反面表示第i次得到臭牌，用“0”表示；

則可以得到由“1”和“0”表示的序列，表示幾輪得到的牌，如：1000111001111000等.

在此序列中，連續(xù)出現(xiàn)的：“1”和“0”成為 1游程和 0游程，“1”和“0”的個數(shù)稱為游程長度，則出現(xiàn)的1游程和0游程表示連續(xù)摸到好牌和連續(xù)摸到臭牌.那么，出現(xiàn)1游程和0游程有何規(guī)律呢？讓我們先分析下面的例子：

以上結(jié)果可由下面問題得出：

對m>r,滿足方程x1+x2+…+xr=m的正整數(shù)解（x1,x2,…xr）共有個.

一般地，可考慮獨立重復(fù)擲硬幣n次，得到m個反面，用0和1表示反面和正面，則結(jié)果可用0和1的序列表示，用R表示1游程的個數(shù)，則恰有r個1游程的概率為：

下面是一組100次擲硬幣試驗的結(jié)果：

由 3.1 式：n=100，m=47,可計算得：

r 22 23 24 25 26 27 28 29 P 0.064 0.102 0.137 0.157 0.154 0.129 0.092 0.056

由以上結(jié)果可得：

即以近90%的概率，1游程數(shù)在22到29之間.還可計算得：

由以上結(jié)果可以看出，連續(xù)出現(xiàn)多個1（1游程）的概率是很大的，即連續(xù)多次摸到好牌，同理，連續(xù)出現(xiàn)多個0（0游程）的概率也是很大的，即連續(xù)多次摸到臭牌，這就解釋了運氣問題.

此問題還可以應(yīng)用于解釋體育比賽（如乒乓球、羽毛球、排球等）中連續(xù)贏球和輸球.

2.2 求職問題

考慮如下問題：在求職過程中，會陸續(xù)收到若干單位錄用，但只能和一個單位簽約，一旦簽約，就不能和別的單位簽約，是否能和理想的單位簽約？

對此問題，可考慮如下策略：

假設(shè)能被n個單位錄用，先放棄部分單位，不和前k（k=1,2,…,n-1）個單位簽約，若后面有比前k個單位更理想的單位，立即簽約，否則，繼續(xù)等待.在此策略下，尋找k，使能和理想單位簽約的概率最大，稱k為最優(yōu)策略.

設(shè)Ak表示在此策略下和最理想單位簽約；

由全概率公式可得：

對不同的n，由上式計算得pk如下：

3 4 5 6 7 8 9 10 p1 0.5 0.458 0.417 0.381 0.350 0.324 0.302 0.283 p2 0.333 0.417 0.433 0.428 0.414 0.398 0.382 0.283 p3 0.250 0.350 0.392 0.407 0.410 0.406 0.366 p4 0.200 0.300 0.352 0.380 0.393 0.399 p5 0.167 0.262 0.319 0.352 0.398 p6 0.143 0.230 0.290 0.373 p7 0.125 0.208 0.327 p8 0.111 0.265 p9 0.189

由上表可以看出，對于不同的n，可得最優(yōu)策略如下表：

n 3 4 5 6 7 8 9 10 k 1 1 2 2 2 3 3 3 pk 0.500 0.458 0.433 0.428 0.414 0.410 0.406 0.399

從上表可以看出，隨著n的增加，最優(yōu)的k值也相應(yīng)增加，但相應(yīng)的概率隨之減小.

對于更大的n,有下面的近似公式：

但是，此策略也面臨不能和理想單位簽約的風(fēng)險，即：理想單位在前k個，即X≤k,此事件發(fā)生的概率為：

對較大的n和最優(yōu)的k值，上述概率為：

即和理想單位簽約的概率和面臨的風(fēng)險是一樣的，都為0.368.

此案例亦可在別的場合使用，如金融市場，有許多投資機會，為抓住最佳投資機會，可考慮以上策略.

3 結(jié)論

在實際教學(xué)過程中，可根據(jù)教學(xué)內(nèi)容精心選擇相關(guān)案例，以提出問題的方式，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識進行分析，激發(fā)學(xué)生的探究結(jié)果的興趣.在此基礎(chǔ)上，可對教學(xué)案例進行深入剖析，以加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解和應(yīng)用.

〔1〕鄧華玲，等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的改革與實踐[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2004（1）.

〔2〕施慶生，等.《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程的教學(xué)改革與實踐[J].南京工業(yè)大學(xué)學(xué)報（社會科學(xué)版），2004（3）.

〔3〕何書元.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2007.

〔4〕劉新平.概率論與數(shù)理統(tǒng)計[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，2010.

G642

A

1673-260X（2012）03-0191-03

陜西理工學(xué)院教改項目（XJG1120）