黃 潔，徐 璇，張宇槐，楊 瑜

(浙江外國語學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

(h-m)-凸函數(shù)的一些不等式

黃 潔，徐 璇，張宇槐，楊 瑜*

(浙江外國語學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

研究了(h-m)-凸函數(shù)的一些不等式，利用分析的方法，獲得了(h-m)-凸函數(shù)不等式的4個結(jié)論，推廣了相應(yīng)文獻中的結(jié)果.

(h-m)-凸函數(shù);不等式;超相乘函數(shù)

1 引言

凸函數(shù)在各種不等式中起著重要的作用，近年來引起了不少學(xué)者的關(guān)注，參見文獻［1-3］.最近，文獻［4］給出了h-凸函數(shù)的定義并研究了h-凸函數(shù)的一些性質(zhì)和不等式.文獻［5］在文獻［4］的基礎(chǔ)上，進一步研究了h-凸函數(shù)的一些不等式.而文獻［6］給出了(h-m)-凸函數(shù)的定義.受文獻［4-6］的啟發(fā)，本文研究(h-m)-凸函數(shù)的一些不等式，推廣了文獻［4］和［5］的相應(yīng)結(jié)果.

2 預(yù)備知識

令I(lǐng)和J是R上的區(qū)間，為證明本文的主要結(jié)果，我們需要如下的一些定義和引理，定義1-3參見文獻［4-6］.

定義1 設(shè)函數(shù)h:J→R是非負的且h≠0，f:I→R是非負的且對任意的x，y∈I和α∈(0，1)，都有

則稱f:I→R是h-凸函數(shù).反之，稱f:I→R是h-凹函數(shù).

定義2 函數(shù)h:J?R→R是非負的.當f為非負且對任意的x，y∈ 0，[ ]b(b＞0)，m∈ 0，[ ]1和α∈(0，1)，都有

則稱f:［0，b］→R是(h-m)-凸函數(shù).反之，稱f:［0，b］→R是(h-m)-凹函數(shù).

定義3 函數(shù)h:J→R，若對任意的x，y∈J，有h(xy)≥h(x)h(y)成立，則稱h:J→R是超相乘函數(shù).反之，稱h:J→R是非超相乘函數(shù).

引理1 假設(shè)h:J→R是非負的超相乘函數(shù)，f:I→R是(h-m)-凸函數(shù)且m∈(0，1］，令x1，x2，x3∈I且x1＜x2＜x3，則

當h是非負的非超相乘函數(shù)且滿足f:I→R是(h-m)-凹函數(shù)時，不等號反向.

證明 f是(h-m)-凸函數(shù)，令x1，x2，x3∈I且x1＜x2＜x3，則

又因為h為非負的超相乘函數(shù)，故

同理得

令h(x3-x1)＞0，由于f為(h-m)-凸函數(shù)，不妨令(1)式中的

則

故(1)式化為兩邊同乘以h(x3-x1)即得(2)式.

3 主要結(jié)果和證明

下面，我們給出本文的主要結(jié)果.

定理1 ω1，…，ωn是正實數(shù)(n≥2)，當h是非負的超相乘函數(shù)且滿足f是(h-m)-凸函數(shù)，m∈ [0 ，1]，x1，…，xn∈I，則

證明 因為f是(h-m)-凸函數(shù)，當n=2時，有

故(4)式成立.

假設(shè)當n=k-1時，(4)式成立，即

因此，當n=k時，

將(5)式代入(6)式得

又因為h是非負的超相乘函數(shù)，所以由定義3知(7)式可化為

故當n=k時，(4)式成立.

定理得證.

注1 當m=1，即f是h-凸函數(shù)，定理1即文獻［4］中的定理19.

推論1 當h是非負的超相乘函數(shù)且滿足f是(h-m)-凸函數(shù)時，x1，…，xn∈I，m∈［0，1］，則

定理2 假設(shè)w1，…，wn是正實數(shù)，(m0，M)?I，h:(0，∞)→R為非負的超相乘函數(shù)，并且f是(hm)-凸函數(shù)，對于任意的x1，…，xn∈(m0，M)，m∈(0，1］，則

當h是非負的非超相乘函數(shù)且f是(h-m)-凹函數(shù)時，不等號反向.

證明 根據(jù)引理1，在式(3)中取x3=M，x2=xi和x1=m0得

注2 當m=1時，即f是h-凸函數(shù)，定理2即為文獻［4］中的定理21.

定理3 設(shè)h:J?R→R是非負的超相乘函數(shù)，若對于任意的x1，x2，…，xn∈［0，b］(b＞0)，m∈(0，1］，f:［0，b］→R是(h-m)-凸函數(shù)，則

證明 因為f:［0，b］→R是(h-m)-凸函數(shù)，則

而

由推論1知，(10)式可化為

將(11)式代入(9)式得

定理得證.

注3 當m=1，即f是h-凸函數(shù)，定理3即為文獻［5］中的定理11.

則

證明 因為f:［0，b］→R是(h-m)-凸函數(shù)，由推論1得

由(11)式得

將(13)式代入(12)式得

定理得證.

注4 當m=1，即f是h-凸函數(shù)，定理4即為文獻［5］中的定理12.

［1］Gill P M，Pearce C E M，Pecˇaric＇J.Hadamard?s inequality for r-convex functions［J］.J Math Anal Appl，1997，215(2): 461-470.

［2］Dragomir S S.On some new inequalities of Hermite-Hadamard type for m-convex functions［J］.Tamkang J Math，2002，33 (1):45-55.

［3］Bessenyei M，Páles Z.Hermite-Hadamard inequalities for generalized convex functions［J］.Aequationes Math，2005，69 (1-2):32-40.

［4］Varo?anec S.On h-convexity［J］.J Math Anal Appl，2007，326(1):303-311.

［5］Latif M A.On some inequalities for h-convex functions［J］.Int J Math Anal，2010，4(30):1473-1482.

［6］?zdemir M E，Akdemir A O，Set E.On(h-m)-convexity and Hadamard-type inequalities［J/OL］.Math CA，2011.［2012-03-12］.http://arxiv.org/pdf/1103.6163v1.

Some Inequalities For(h-m)-Convex Functions

HUANG Jie，XU Xuan，ZHANG Yuhuai，YANG Yu
(School of Science and Technology，Zhejiang International Studies University，Hangzhou 310012，China)

This paper studies some inequalities for(h-m)-convex functions.By applying the method of analysis，four conclusions on the inequalities of(h-m)-convex functions are obtained.And the results extend to some related results in the relevant literature.

(h-m)-convex functions;inequality;supermultiplicative function

O178.1

A

2095-2074(2012)03-0080-05

2012-04-15

黃潔(1990-)，女，浙江紹興人，浙江外國語學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2010級本科生;徐璇(1994-)，女，浙江臺州人，浙江外國語學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2010級本科生;張宇槐(1992-)，男，浙江紹興人，浙江外國語學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2010級本科生.

*通訊作者:楊瑜(1981-)，男，浙江安吉人，浙江外國語學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系副教授，理學(xué)博士.