俞洪玲，沈忠燕

(浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

與廣義歐拉函數(shù)有關(guān)的方程

俞洪玲，沈忠燕*

(浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院，浙江杭州310012)

利用初等方法，研究與廣義歐拉函數(shù)有關(guān)的方程φ2(n)=2ω(n)、φ2(φ2(n))= 2ω(n)的可解性，并獲得方程的所有正整數(shù)解.

廣義歐拉函數(shù);方程;正整數(shù)解

1 引言

為了將Lehmer同余式從模素?cái)?shù)的平方推廣到模任意整數(shù)的平方，蔡天新［6］等定義了如下的廣義歐拉函數(shù).

定義 廣義歐拉函數(shù)

定理1方程的所有正整數(shù)解為n=5，8，15，20，24，60.

定理2方程的所有正整數(shù)解為n=11，17，25，32，51，55，62，65，68，75，77，80，82，88，93，96，99，100，104，112，122，124，144，165，170，195，204，220，231，238，240，246，260，264，280，286，300，306，308，310，312，336，350，360，366，372，396，450，510，660，714，780，840，858，924，930，990，1050，2310.

2 引理

為了完成定理的證明，我們需要引入一些引理.

引理2 方程φ2(n)=1的正整數(shù)解為n=2，3，4，6.

由引理1得

a)當(dāng)α=β=0時(shí)，方程顯然無(wú)解;

b)當(dāng)α≠0，β=0時(shí)，φ(n)=φ(2α)=2α－1=2，則α=2，即n=4;

c)當(dāng)α=0，β≠0時(shí)，φ(n)=φ(3β)=3β－12=2，則β=1，即n=3;

d)當(dāng)α≠0，β≠0時(shí)，φ(n)=φ(2α3β)=2α－13β－12=2，則α=β=1，即n=6.

綜上可得，方程φ2(n)=1的正整數(shù)解為n=2，3，4，6.

引理3 方程φ2(n)=2的正整數(shù)解為n=5，8，10，12.

證明 由φ2(n)=φ(n)得φ(n)=4，則n的素因數(shù)小于等于5，令

由引理1得

a)當(dāng)α=β=0，γ≠0時(shí)，φ(n)=φ(5γ)=5γ－14=4，則γ=1，即n=5; b)當(dāng)γ=β=0，α≠0時(shí)，φ(n)=φ(2α)=2α－1=4，則α=3，即n=8; c)當(dāng)β≠0，α=γ=0時(shí)，φ(n)=φ(3β)=3β－12=4，方程顯然無(wú)解;

d)當(dāng)γ=0，α≠0，β≠0時(shí)，φ(n)=φ(2α3β)=2α－13β－12=4，則α=2，β=1，即n=12; e)當(dāng)β=0，α≠0，γ≠0時(shí)，φ(n)=φ(2α5γ)=2α－15γ－14=4，則α=γ=1，即n=10;

f)當(dāng)α=0，β≠0，γ≠0時(shí)，φ(n)=φ(3β5γ)=3β－15γ－18=4，方程顯然無(wú)解;

g)當(dāng)α=β=γ=0時(shí)，方程顯然無(wú)解;

h)當(dāng)α≠0，β≠0，γ≠0時(shí)，φ(n)=φ(2α3β5γ)=2α－13β－15γ－18=4，方程顯然無(wú)解.綜上可得，方程φ2(n)=2的正整數(shù)解為n=5，8，10，12.

引理4 方程φ2(n)=4的正整數(shù)解為n=15，16，20，24，30.

證明 由φ2(n)=4可知φ(n)=8，則n的素因數(shù)小于等于5，令

用引理3的方法可得方程φ2(n)=4的正整數(shù)解為n=15，16，20，24，30.

引理5 方程φ2(n)=8的正整數(shù)解為n=17，32，34，40，48，60.

證明 由φ2(n)=8可知φ(n)=16，則n的素因數(shù)小于等于17，由16的因子可以令

用引理3的方法可得方程φ2(n)=8的正整數(shù)解為n=17，32，34，40，48，60.

引理6 方程φ2(n)=16的正整數(shù)解為n=51，64，68，80，96，102，120.

證明 由φ2(n)=16可知φ(n)=32，則n的素因數(shù)小于等于17，由32的因子可以令

用引理3的方法可得方程φ2(n)=16的正整數(shù)解為n=51，64，68，80，96，102，120.

引理7 方程φ2(n)=5的正整數(shù)解為n=11，22.

證明 由φ2(n)=5可知φ(n)=10，則n的素因數(shù)小于等于11，由10的因子可以令

用引理3的方法可得方程φ2(n)=5的正整數(shù)解為n=11，22.

引理8 方程φ2(n)=10的正整數(shù)解為n=25，33，44，50，66.

證明 由φ2(n)=10可知φ(n)=20，則n的素因數(shù)小于等于19，由20的因子可以令

用引理3的方法可得n=25，33，44，50，66.

引理9 方程φ2(n)=12的正整數(shù)解為n=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90.

證明 由φ2(n)=12可知φ(n)=24，則n的素因數(shù)小于等于13，由24的因子可以令

用引理3的方法可得n=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90.

引理10 方程φ2(n)=17無(wú)解.

證明 由φ2(n)=17可知φ(n)=34，則n的素因數(shù)小于等于17，由34的因子可以令

用引理3的方法可知n無(wú)解.

引理11 方程φ2(n)=15的解為n=31，62.

證明 由φ2(n)=15可知φ(n)=30，則n的素因數(shù)小于等于31，由30的因子可以令

用引理3的方法可知n=31，62.

引理12 方程φ2(n)=20的解為n=41，55，75，82，88，100，110，132，150.

證明 由φ2(n)=20可知φ(n)=40，則n的素因數(shù)小于等于41，由40的因子可以令

用引理3的方法可知n=41，55，75，82，88，100，110，132，150.

引理13［7］53當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，φ(2n)=φ(n);當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，φ(2n)=2φ(n).

引理14 φ2(n)=24的解為n=65，104，105，112，130，140，144，156，168，180，210.φ2(n)=30的解為n=61，77，93，99，122，124，154，186，198.φ2(n)=32的解為n=85，128，136，160，170，192，204，240.

證明類似于引理3.

3 定理1的證明

n=1，n=2顯然都不是方程φ2(n)=2ω(n)的解.下面討論n＞2時(shí)，方程φ2(n)=2ω(n)解的情況.

3.1 當(dāng)ω(n)=1時(shí)

當(dāng)ω(n)=1時(shí)，由引理3可知滿足φ2(n)=2的解為n=5，8，10，12.這些解中滿足ω(n)=1的解為n=5，8.

3.2 當(dāng)ω(n)=2時(shí)

當(dāng)ω(n)=2時(shí)，φ2(n)=4，由引理4可知滿足φ2(n)=4的解為n=15，16，20，24，30.這些解中滿足ω(n)=2的解為n=15，20，24.

3.3 當(dāng)ω(n)=3時(shí)

當(dāng)ω(n)=3時(shí)，φ2(n)=8，由引理5可知滿足φ2(n)=8的解為n=17，32，34，40，48，60.這些解中滿足ω(n)=3的解為n=60.

3.4 當(dāng)ω(n)≥4時(shí)

令n=pα11pα22…pαkk(k≥4)，其中p1，p2，…，pk為不同素?cái)?shù)，滿足2≤p1＜p2＜…＜pk，

所以當(dāng)ω(n)≥4時(shí)，方程φ2(n)=2ω(n)無(wú)解.綜上可知，方程(1)僅有6個(gè)解n=5，8，15，20，24，60.

4 定理2的證明

由廣義歐拉函數(shù)定義及引理2，引理3可知n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，12都不是方程φ2(φ2(n)) =2ω(n)的解.容易驗(yàn)證n=11是方程φ2(φ2(n))=2ω(n)的其中一個(gè)解.下面討論n＞12(即φ2(n)＞2)，方程φ2(φ2(n))=2ω(n)解的情況.

4.1 當(dāng)ω(n)=1時(shí)

當(dāng)ω(n)=1時(shí)，φ2(φ2(n))=2，由引理3可知，φ2(n)=5，8，10，12.

4.1.1 當(dāng)φ2(n)=5時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ2(n)=5時(shí)，由引理7可知，n=11，22.這些解中滿足ω(n)=1的解為n=11.

4.1.2 當(dāng)φ2(n)=8時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ2(n)=8時(shí)，由引理5可知，n=17，32，34，40，48，60.這些解中滿足ω(n)=1的解為n= 17，32.

4.1.3 當(dāng)φ2(n)=10時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ2(n)=10時(shí)，由引理8可知，n=25，33，44，50，66.這些解中滿足ω(n)=1的解為n=25.

4.1.4 當(dāng)φ2(n)=12時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ2(n)=12時(shí)，由引理9可知，n=35，39，45，52，56，70，72，78，84，90.這些解中不存在滿足ω (n)=1的解.

4.2 當(dāng)ω(n)=2時(shí)

當(dāng)ω(n)=2時(shí)，φ2(φ2(n))=4，由引理4可知，φ2(n)=15，16，20，24，30.

4.2.1 當(dāng)φ2(n)=15時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ2(n)=15時(shí)，由引理11可知，n=31，62.這些解中滿足ω(n)=2的解為n=62.

4.2.2 當(dāng)φ2(n)=16時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ2(n)=16時(shí)，引理6可知，n=51，64，68，80，96，102，120.這些解中滿足ω(n)=2的解為n= 51，68，80，96.

4.2.3 當(dāng)φ2(n)=20時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ2(n)=20時(shí)，由引理12可知，n=41，55，75，82，88，100，110，132，150.這些解中滿足ω(n)= 2的解為n=55，75，82，88，100.

4.2.4 當(dāng)φ2(n)=24時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ2(n)=24時(shí)，引理14可知，n=65，104，105，112，130，140，144，156，168，180，210.這些解中滿足ω(n)=2的解為n=65，104，112，144.

4.2.5 當(dāng)φ2(n)=30時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ2(n)=30時(shí)，由引理14可知，n=61，77，93，99，122，124，154，186，198.這些解中滿足φ(n) =2的解為n=77，93，99，122，124.

4.3 當(dāng)ω(n)=3時(shí)

當(dāng)ω(n)=3時(shí)，φ2(φ2(n))=8，由引理5可知，φ2(n)=17，32，34，40，48，60.所以，φ(n)=34，64，68，80，96，120.令

其中p1，p2，p3為不同素?cái)?shù)，由引理1可知，

4.3.1 當(dāng)φ(n)=34時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=34時(shí)，

由計(jì)算可知沒(méi)有滿足條件的n值.

4.3.2 當(dāng)φ(n)=64時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=64時(shí)，

由計(jì)算可知滿足條件的n=170，204，240.

4.3.3 當(dāng)φ(n)=68時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=68時(shí)，

由計(jì)算可知沒(méi)有滿足條件的n值.

4.3.4 當(dāng)φ(n)=80時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=80時(shí)，

由計(jì)算可知滿足條件的解為n=165，220，246，264，300.

4.3.5 當(dāng)φ(n)=96時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=96時(shí)，

由計(jì)算可知滿足條件的解為n=195，238，260，280，306，312，336，360.

4.3.6 當(dāng)φ(n)=120時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=120時(shí)，

由計(jì)算可知滿足條件的解為n=231，308，310，350，366，372，396，450.

4.4 當(dāng)ω(n)=4時(shí)

當(dāng)ω(n)=4時(shí)，φ2(φ2(n))=16，引理6可知，φ2(n)=51，64，68，80，96，102，120.所以，φ(n)= 102，128，136，160，192，204，240.令

其中p1，p2，p3，p4為不同的素?cái)?shù).由引理1可知，

4.4.1 當(dāng)φ(n)=102時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=102時(shí)，

由計(jì)算可知沒(méi)有滿足條件的解.

4.4.2 當(dāng)φ(n)=128時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=128時(shí)，

由計(jì)算可知滿足條件的解為n=510.

4.4.3 當(dāng)φ(n)=136時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=136時(shí)，

由計(jì)算可知沒(méi)有滿足條件的解.

4.4.4 當(dāng)φ(n)=160時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=160時(shí)，

由計(jì)算可知滿足條件的解為n=660.

4.4.5 當(dāng)φ(n)=192時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=192時(shí)，

由計(jì)算可知滿足條件的解為n=714，780，840.

4.4.6 當(dāng)φ(n)=204時(shí)，n的取值情況

當(dāng)φ(n)=204時(shí)，

由計(jì)算可知沒(méi)有滿足條件的解.

4.4.7 當(dāng)φ(n)=240時(shí)，n的取值情況當(dāng)φ(n)=240時(shí)，由計(jì)算可知滿足條件的解為n=858，924，930，990，1050.

4.5 當(dāng)ω(n)=5時(shí)

當(dāng)ω(n)=5時(shí)，φ2(φ2(n))=32，引理14可知，φ2(n)=32的解為n=85，128，136，160，170，192，204，240.所以，

當(dāng)p1，p2，p3，p4，p5取最小的5個(gè)素?cái)?shù)時(shí)，由計(jì)算可知

所以當(dāng)ω(n)=5時(shí)，只有n=2310一個(gè)解.

4.6 ω(n)≥6時(shí)

故方程φ2(φ2(n))=2ω(n)等價(jià)于

所以要求解方程φ2(φ2(n))=2ω(n)的解，只需求解方程

由引理5可知，方程φ2(n)=8的解為n=17，32，34，40，48，60.則只需求解方程

因?yàn)?/p>

所以當(dāng)ω(n)≥6時(shí)，方程φ2(φ2(n))=2ω(n)無(wú)解.綜上可知，方程(2)的解為n=11，17，25，32，51，55，62，65，68，75，77，80，82，88，93，96，99，100，104，112，122，124，144，165，170，195，204，220，231，238，240，246，260，264，280，286，300，306，308，310，312，336，350，360，366，372，396，450，510，660，714，780，840，858，924，930，990，1050，2310.

［1］呂志宏.一個(gè)包含Euler函數(shù)的方程［J］.西北大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，36(1):17-20.

［2］馬靜.方程φ(n)=2tw(n)(t∈Z+)的解［J］.安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，32(1):23-26.

［3］Zhang T P，Ma Y K.An equation involving Euler’s φ function［J］.Scientia Magna，2008，4(1):109-112.

［4］田呈亮.一個(gè)包含歐拉函數(shù)的方程［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，26(1):96-98.

［5］李怡君.一類數(shù)論函數(shù)的性質(zhì)［J］.商丘師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，23(9):20-22.

［6］Cai T X，F(xiàn)u X D，Zhou X.A congruence involving the quotients of Euler and its applications(II)［J］.Acta Arith，2007，130(3):203-214.

［7］Hardy G H，Wright E M.An Introduction to the Theory of Numbers［M］.北京:人民郵電出版社，2007.

The Equations Related with Generalized Euler Function

YU Hongling，SHEN Zhongyan
(School of Science and Technology，Zhejiang International Studies University，Hangzhou 310012，China)

The equations φ2(n)=2ω(n)and φ2(φ2(n))=2ω(n)related with generalized Euler function is studied using elementary method，and all positive integer solutions are obtained.

generalized Euler function;equation;positive integer solutions

O156.4

A

2095－2074(2012)03－0091－07

2012－03－01

俞洪玲(1990－)，女，浙江杭州人，浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)2008級(jí)本科生.

*通訊作者:沈忠燕(1978－)，女，浙江桐鄉(xiāng)人，浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)系講師，理學(xué)博士.