楊玉波 王秀和 朱常青

（山東大學(xué)電氣工程學(xué)院 濟(jì)南 250061）

1 引言

隨著高性能永磁材料的出現(xiàn)和現(xiàn)代電機(jī)控制技術(shù)的發(fā)展，永磁電機(jī)以其高效率、高功率密度等優(yōu)勢(shì)在各個(gè)行業(yè)得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。但是永磁電機(jī)中，永磁體和有槽電樞相互作用，引起電機(jī)內(nèi)磁場(chǎng)能量的變化，產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩，引起電機(jī)系統(tǒng)的振動(dòng)和噪聲，影響系統(tǒng)的控制精度，因此關(guān)于齒槽轉(zhuǎn)矩的產(chǎn)生機(jī)理、計(jì)算方法和削弱措施一直是中外學(xué)者的研究熱點(diǎn)。

目前對(duì)于齒槽轉(zhuǎn)矩的分析計(jì)算方法一般有兩種，即解析法和有限元法。有限元法能夠考慮漏磁、飽和以及復(fù)雜結(jié)構(gòu)的影響，可準(zhǔn)確計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩。但是采用有限元法時(shí)，必須計(jì)算至少一個(gè)齒槽轉(zhuǎn)矩的周期，為了保證計(jì)算的精度，必須保證足夠小的步長(zhǎng)，并且研究結(jié)構(gòu)參數(shù)變化對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響時(shí)，需不斷重復(fù)整個(gè)計(jì)算過(guò)程，耗時(shí)較長(zhǎng)，并且計(jì)算結(jié)果只針對(duì)特定模型，很難得到指導(dǎo)性的規(guī)律[1-3]。為解決該問(wèn)題，在很多文獻(xiàn)中將有限元法和優(yōu)化算法結(jié)合，尋找最優(yōu)解。但是，同樣存在耗時(shí)過(guò)長(zhǎng)的缺點(diǎn)，同時(shí)優(yōu)化結(jié)果往往結(jié)構(gòu)復(fù)雜[4-7]。

解析法由于難以考慮飽和和漏磁等因素，影響了其計(jì)算的準(zhǔn)確性，但是解析法能夠揭示結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，得到指導(dǎo)性的規(guī)律[3]，因此得到了廣泛的采用，相關(guān)文獻(xiàn)得到了多種齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式[8-12]，提出并研究了多種齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱方法[1,2,13-18]。

基于解析法研究的齒槽轉(zhuǎn)矩削弱措施一般是通過(guò)改變永磁體產(chǎn)生的氣隙磁通密度分布削弱齒槽轉(zhuǎn)矩[13-15]，或者通過(guò)改變氣隙磁導(dǎo)削弱齒槽轉(zhuǎn)矩[13,16]。兩類方法都是通過(guò)結(jié)構(gòu)的改變，削弱對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩有影響的氣隙磁通密度平方和相對(duì)氣隙磁導(dǎo)平方的傅里葉分解系數(shù)[13]。但是采用解析法準(zhǔn)確地計(jì)算結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對(duì)這些傅里葉分解次數(shù)的影響比較困難，因此文獻(xiàn)中主要采用理想的簡(jiǎn)化模型[13-16,19]。文獻(xiàn)[19]中提出的分塊永磁削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的方法，其分析的基礎(chǔ)就是簡(jiǎn)化的氣隙磁通密度模型，基于該模型研究了分塊數(shù)和分塊大小的影響，難以得到普遍適用的一般規(guī)律。

本文從另一個(gè)角度分析電機(jī)結(jié)構(gòu)的變化對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，不是基于對(duì)氣隙磁通密度變化的準(zhǔn)確計(jì)算，而是基于齒槽轉(zhuǎn)矩的周期性和對(duì)稱性，采用疊加法分析了分塊永磁體對(duì)表面式永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，得到了永磁分塊數(shù)、永磁分塊寬度和分塊間隔與總的齒槽轉(zhuǎn)矩之間的關(guān)系，并進(jìn)行了有限元驗(yàn)證。

2 基于疊加法的永磁分塊方法研究

齒槽轉(zhuǎn)矩是由于永磁體與有槽電樞的相對(duì)位置變化引起的磁場(chǎng)能量變化導(dǎo)致的，而總的齒槽轉(zhuǎn)矩可簡(jiǎn)化為每個(gè)永磁體產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩的疊加[13]，文獻(xiàn)[22-24]中研究了采用轉(zhuǎn)矩疊加分析齒槽轉(zhuǎn)矩的方法。對(duì)于極數(shù)為2p和槽數(shù)為z的永磁電機(jī)，齒槽轉(zhuǎn)矩在一個(gè)齒距內(nèi)的周期數(shù)可表示為[9]

式中p—極對(duì)數(shù)；

z—電樞槽數(shù)；

GCD—最大公約數(shù)。

對(duì)于每極整數(shù)槽（Np=1）的極數(shù)和槽數(shù)組合，每個(gè)永磁磁極與電樞槽口具有相同的相對(duì)位置，因此每個(gè)磁極的齒槽轉(zhuǎn)矩在一個(gè)齒距內(nèi)有相同的分布，總的齒槽轉(zhuǎn)矩周期數(shù)同為 1。對(duì)于每極非整數(shù)槽（Np＞1）的組合，每個(gè)磁極與槽口的相對(duì)位置不同，齒槽轉(zhuǎn)矩的分布也不同，導(dǎo)致總齒槽轉(zhuǎn)矩的周期數(shù)大于 1。因此，相對(duì)于每極整數(shù)槽結(jié)構(gòu)，每極非整數(shù)槽時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩一般較小，因此文獻(xiàn)[20]中將合理選擇極數(shù)和槽數(shù)組合作為一種重要的削弱措施。

利用齒槽轉(zhuǎn)矩的周期性以及與槽口相對(duì)位置變化對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩分布的影響，可以分析齒槽轉(zhuǎn)矩的削弱措施。文獻(xiàn)[21]中提出將4極36槽電機(jī)的任意兩磁極偏移 1/2齒距可削弱齒槽轉(zhuǎn)矩。這是因?yàn)槠?/2齒距后，兩個(gè)磁極的齒槽轉(zhuǎn)矩偏移半個(gè)周期，消除了齒槽轉(zhuǎn)矩的基波，從而削弱了齒槽轉(zhuǎn)矩。但是該方法并不能削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的2次諧波，因此在有些情況下該方法的削弱效果并不理想。

本文利用齒槽轉(zhuǎn)矩的周期性和齒槽轉(zhuǎn)矩疊加法分析分塊永磁磁極對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響。每個(gè)永磁磁極分為寬度相同的Ns塊，且均勻分布，每個(gè)分塊的寬度為θ，兩相鄰分塊的間隔為γ，如圖1所示。不考慮端部效應(yīng)和飽和的影響，永磁電機(jī)總的齒槽轉(zhuǎn)矩可看做每個(gè)永磁分塊產(chǎn)生的齒槽轉(zhuǎn)矩的疊加。

圖1 分塊永磁磁極示意圖Fig.1 Permanent magnet segementation（Ns=4）

式中Tn—轉(zhuǎn)矩諧波幅值；

α—定、轉(zhuǎn)子相對(duì)位置。

由于每個(gè)永磁磁極分為寬度相同的Ns塊，且均勻分布，則總的齒槽轉(zhuǎn)矩可看做Ns個(gè)永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的疊加，總的齒槽轉(zhuǎn)矩可表示為

式中，Δβ為相鄰兩永磁分塊的偏移角度，可用圖 1中永磁分塊寬度和永磁分塊間隔表示為

如需消去齒槽轉(zhuǎn)矩的n次諧波，可通過(guò)合理選擇偏移角度Δβ使得

由于對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩分布有影響的是永磁體與電樞槽口的相對(duì)位置，因此偏移角度Δβ一般表示為齒槽轉(zhuǎn)矩周期的整數(shù)倍的形式

式中k—正整數(shù)；

Δβs—相鄰永磁分塊相對(duì)位置變化角度，如圖2所示。

圖2 永磁分塊與槽口的相對(duì)位置關(guān)系（Np=1）Fig.2 The relative position of permanent magnet segments with slot opening

式（5）可表示為

通過(guò)合理選擇Δβs使得式（7）為零，就可消除齒槽轉(zhuǎn)矩的n次諧波。分析式（7）可得到以下結(jié)論：

（1）式中 sinnNpz(α+(Ns-1)Δβs/2)項(xiàng)只會(huì)影響齒槽轉(zhuǎn)矩n次諧波的分布，不會(huì)影響其大小。

（2）式中 sin(nNsNpzΔβs/2)/sin(nNpzΔβs/2)項(xiàng)決定了齒槽轉(zhuǎn)矩的大小。

（3）如果消除齒槽轉(zhuǎn)矩的基波，須使其分子項(xiàng)sin(NsNpzΔβs/2)=0，分母項(xiàng) sin(NpzΔβs/2)≠0。并且能夠使得基波為零的Δβs必然能使得除Ns及其倍數(shù)次外的諧波為零（由于能使得基波為零的Δβs會(huì)使得Ns及其倍數(shù)次諧波的分母項(xiàng)為零，因此不能消除Ns及其倍數(shù)次齒槽轉(zhuǎn)矩諧波）。對(duì)Ns及其倍數(shù)次諧波的影響可采用式（5）計(jì)算。

（4）永磁分塊數(shù)Ns一般不宜取 2。如果永磁分塊數(shù)為2，能消弱其基波的角度Δβs會(huì)使齒槽轉(zhuǎn)矩的2次諧波變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，很多情況下齒槽轉(zhuǎn)矩的2次諧波幅值較大，導(dǎo)致削弱效果不好。

據(jù)此可得到消除齒槽轉(zhuǎn)矩基波（n=1）的Δβs的值為

該偏移角對(duì)Ns及Ns倍數(shù)次諧波的影響為

式中，i為正整數(shù)。

可見(jiàn)能夠消除齒槽轉(zhuǎn)矩基波的Δβs會(huì)使得Ns及其倍數(shù)次諧波的變?yōu)樵瓉?lái)的Ns倍。

基于式（3）、式（6）～式（8）可確定永磁分塊數(shù)、永磁分塊寬度和間隔寬度，分析對(duì)于齒槽轉(zhuǎn)矩諧波的影響。各個(gè)角度的關(guān)系如圖2所示（Np=1），圖中只畫出了兩塊永磁分塊。

3 永磁分塊對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響

基于上述分析，本文分別研究了分塊永磁磁極對(duì)每極整數(shù)槽和每極非整數(shù)槽電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響：確定永磁分塊寬度θ和兩相鄰分塊的間隔γ時(shí)，首先根據(jù)式（8），得到相鄰永磁分塊相對(duì)位置變化角度Δβs的值；根據(jù)式（6），θ+γ為齒距的整數(shù)倍與Δβs之和；在選擇分塊永磁體寬度時(shí)還需保證每極總極弧寬度

對(duì)于每極整數(shù)槽組合，一個(gè)齒距內(nèi)齒槽轉(zhuǎn)矩周期數(shù)為 1，根據(jù)式（8），每個(gè)永磁分塊相對(duì)于槽口的位置依次偏移齒距的1/Ns，則Ns個(gè)永磁分塊的齒槽轉(zhuǎn)矩依次錯(cuò)開 1/Ns周期。本文以4極 24槽表面式永磁電機(jī)為例，其主要參數(shù)見(jiàn)下表。

表 電機(jī)主要參數(shù)Tab. The main parameters of prototype motors

圖3 Ns=2時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩（4極24槽）Fig.3 The cogging torque with two permanent magnet segments（4-pole, 24-slot）

圖4為Ns=2時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩的諧波對(duì)比，可見(jiàn)其基波和奇次諧波得到了很好的削弱，但是2次諧波變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，只是改變了齒槽轉(zhuǎn)矩周期數(shù)，幅值并沒(méi)有削弱，因此永磁分塊數(shù)不宜取2。

圖4 Ns=2時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩的諧波（4極24槽）Fig.4 The harmonics of cogging torque with two permanent magnet segments（4-pole, 24-slot）

圖5 角度γ 對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩的影響Fig.5 The cogging torque with different γ

圖6 Ns=3時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩（4極24槽）Fig.6 The cogging torque with three permanent magnet segments（4-pole, 24-slot）

圖7 Ns=3時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩的諧波（4極24槽）Fig.7 The harmonics of cogging torque with three permanent magnet segments（4-pole, 24-slot）

圖8 Ns=4時(shí)的齒槽轉(zhuǎn)矩（4極18槽）Fig.8 The cogging torque with four permanent magnet segments（4-pole 18-slot）

圖9 Ns=4時(shí)齒槽轉(zhuǎn)矩諧波（4極18槽）Fig.9 The harmonics of cogging torque with four permanent magnet segments（4-pole，18-slot）

4 結(jié)論

本文基于齒槽轉(zhuǎn)矩的周期性和齒槽轉(zhuǎn)矩疊加計(jì)算方法分析了分塊永磁削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的方法。推導(dǎo)得到了分塊永磁數(shù)、分塊永磁寬度以及分塊永磁間隔對(duì)總的齒槽轉(zhuǎn)矩的影響，分析表明該方法能夠消除齒槽轉(zhuǎn)矩基波的永磁分塊組合，也能消除Ns及Ns倍數(shù)次諧波外的諧波。有限元計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證本文結(jié)論的正確性。

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