謝欣平， 田阿利，王自力， 尹曉春

(1.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，鎮(zhèn)江 212003;2.南京理工大學(xué) 力學(xué)與工程科學(xué)系，南京 210094;3.南京航空航天大學(xué) 航空宇航制造工程系，南京 210016)

變幅桿作為超聲加工系統(tǒng)的重要組成部分，主要實(shí)現(xiàn)能量傳輸和聚能作用。變幅桿的振動特性理論分析，通常基于其波動方程，由邊值問題定解［1－2］，通過模態(tài)分析研究放大系數(shù)、位移節(jié)點(diǎn)等。Mason［3］首次將變幅桿引入超聲加工系統(tǒng)，提出等效網(wǎng)絡(luò)分析法。在此基礎(chǔ)上，發(fā)展了用于解決復(fù)雜形狀變幅桿振動特性的傳輸矩陣法［4］，四端網(wǎng)絡(luò)法［5－6］，表觀彈性法［7］等。林仲茂［8］對常見形狀的變幅桿和復(fù)合變幅桿的振動特性進(jìn)行了系列研究。

近年來，有限元法廣泛應(yīng)用于變幅桿的振動特性研究，例如:采用有限元軟件，基于Lanczos法分析變幅桿的振動模態(tài)，優(yōu)化設(shè)計(jì)包含輔助工具在內(nèi)的超聲加工系統(tǒng)［9］;分析變幅桿的前若干階振動模態(tài)的諧振頻率、放大系數(shù)及局部共振等問題［10］等。

目前，變幅桿的設(shè)計(jì)通常按半波、空載考慮，實(shí)際應(yīng)用時(shí)再加以調(diào)整［11］。然而實(shí)際工作狀態(tài)中的變幅桿接收換能器輸入激勵(lì)，連接加工工具，產(chǎn)生超聲波振動，不斷撞擊被加工表面而成型。為考慮加工件的影響，提高用于精細(xì)超聲加工的變幅桿加工精度，Neumann［12］研究了超聲鉆孔過程中不同接觸面對結(jié)構(gòu)動力特性的影響。Statnikov等［13］在微秒級范圍內(nèi)測量了實(shí)際工作狀態(tài)下變幅桿的動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變，分析了超聲焊接的瞬態(tài)響應(yīng)。值得注意的是，超聲加工過程是加工工具與加工件表面高頻撞擊接觸的過程，高頻重復(fù)撞擊接觸可能對超聲變幅桿動力特性產(chǎn)生影響。

考慮與加工工件表面高頻撞擊接觸過程對結(jié)構(gòu)動力特性的影響，本文研究周期激勵(lì)作用下階梯形超聲變幅桿的瞬態(tài)動力響應(yīng)，及其對變幅桿放大特性的影響。首先，基于結(jié)構(gòu)動力學(xué)，建立階梯形變幅桿力學(xué)模型;通過變幅桿系統(tǒng)與工件的接觸過程和分離過程的高頻轉(zhuǎn)換，反映超聲加工的工作狀態(tài);以瞬態(tài)波響應(yīng)法［14－16］分別對接觸過程和分離過程動力控制方程進(jìn)行求解，得到適用于任意級數(shù)的階梯形變幅桿的特征項(xiàng)傳遞函數(shù)，和重復(fù)撞擊系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)理論解。以工程中常用的三級階梯形變幅桿為例，分析撞擊位移，撞擊力，分析了不同頻率的外激勵(lì)下變幅桿重復(fù)撞擊動力特性和負(fù)載工件對變幅桿聚能效果的影響。

1 力學(xué)模型

超聲加工的過程中，換能器產(chǎn)生超聲振動輸入給變幅桿，變幅桿作縱向振動將振動位移放大并沖擊加工表面(負(fù)載)，加工表面在高頻的撞擊之下逐漸磨損，直至形成所要求的形狀。變幅桿為變截面的細(xì)長桿件，若不考慮材料的機(jī)械耗損，可只考慮一維平面波沿桿的軸向傳播，即采用一維波動理論建立相應(yīng)的力學(xué)模型。

圖1為一n級階梯形變幅桿及加工工件的簡化系統(tǒng)。變幅桿各階桿件材料相同，其彈性模量E1和密度ρ1相同，橫截面積和長度從輸入端到輸出端依次為:A1，l1，A2，l2，…，An，ln。為分析加工工件的影響，將其近似簡化為一維樁，彈性模量為E2，密度為ρ2，橫截面積和長度分別為An+1，ln+1。變幅桿加工過程是變幅桿與工件表面高頻重復(fù)碰撞接觸的過程，其碰撞力學(xué)機(jī)理可看成為變幅桿與加工工件表面碰撞接觸過程和分離過程的高頻反復(fù)交替發(fā)生。

圖1 階梯形變幅桿超聲加工結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Illustration of ultrasonic machining

1.1 控制方程

由Lamé-Navier's方程:

在不考慮橫向慣性效應(yīng)影響時(shí)，對階梯形變幅桿的各級桿分段求得其控制方程為:

在控制方程中，位置坐標(biāo)原點(diǎn)分別建立在各級桿件的左端面處。

1.2 初邊值條件

階梯形變幅桿的各級桿件之間所滿足的力連續(xù)條件和位移連續(xù)條件分別為:

而變幅桿與加工件表面之間的接觸面邊界條件，則需要根據(jù)加工接觸和分離兩個(gè)過程，分別進(jìn)行討論。

在接觸過程中，變幅桿輸出端與加工工件表面滿足接觸面位移連續(xù)和接觸力連續(xù)的要求，即:

在分離過程中，變幅桿輸出端和加工工件表面將成為自由表面，即:

當(dāng)接觸過程結(jié)束時(shí)，變幅桿右端面與工件左端面的接觸壓力下降為0。在接觸過程的邊界條件下，此刻該面的應(yīng)變從數(shù)值上表現(xiàn)為由負(fù)轉(zhuǎn)正。故進(jìn)入分離狀態(tài)的判斷條件為:

當(dāng)分離過程結(jié)束時(shí)，變幅桿右端的位移與工件左端的位移又重新相等。在分離過程的邊界條件下，此刻變幅桿右端的位移由小于變?yōu)榇笥诠ぜ蠖说奈灰?。故進(jìn)入接觸狀態(tài)的判斷條件為:

2 解的構(gòu)造與求解

階梯形變幅桿的各級桿的位移解可由準(zhǔn)確性靜態(tài)位移解和動態(tài)位移解構(gòu)成，即:

通過構(gòu)造滿足非齊次邊界條件的準(zhǔn)靜態(tài)解Uis(xi，t)和滿足齊次邊界條件的動態(tài)解Uid(xi，t)的微分方程，以解決原控制方程非齊次邊界條件的問題。

2.1 準(zhǔn)靜態(tài)解

準(zhǔn)靜態(tài)解應(yīng)滿足靜力學(xué)假設(shè)和非齊次邊界條件，因而得到接觸狀態(tài)下的準(zhǔn)靜態(tài)解為:

分離狀態(tài)下的準(zhǔn)靜態(tài)解為:

其中:

2.2 動態(tài)解

由控制方程(2)及解的構(gòu)成形式(8)可得動態(tài)解的微分方程:

接觸狀態(tài)下的齊次邊界條件和連續(xù)性條件化為:

分離狀態(tài)下的齊次邊界條件和連續(xù)性條件的處理方法同上。

在接觸狀態(tài)下，根據(jù)瞬態(tài)波函數(shù)法將動態(tài)解展開成具有分離變量的形式:

在分離狀態(tài)下，動態(tài)解按變幅桿與工件分別求解，均根據(jù)瞬態(tài)波函數(shù)法展開為分離變量形式:

接觸狀態(tài)下特征函數(shù)解為:

系數(shù)aij，bij由特征函數(shù)的邊界條件和連續(xù)性條件確定。

所得到的一組關(guān)于待定系數(shù)的方程組為:

其中:

為使得方程組(18)式有非零解，矩陣行列式值應(yīng)為零，構(gòu)成計(jì)算加工過程中各階波數(shù)和系統(tǒng)的頻率方程。

結(jié)合方程組(18)和正交歸一化特征式(19)，確定特征函數(shù)的待定系數(shù)aij，bij。

分離狀態(tài)下的特征函數(shù)的求法同接觸狀態(tài)的相同。值得注意的是，分離狀態(tài)下的變幅桿動態(tài)解應(yīng)疊加剛性平動項(xiàng)，剛性平動項(xiàng)對應(yīng)的特征函數(shù)為常數(shù)。

接觸狀態(tài)下時(shí)間函數(shù)的求解方法如下:將已求得特征函數(shù)的動態(tài)解代入微分方程(12)，結(jié)合正交歸一化特性(19)，得時(shí)間函數(shù)的微分方程為:

式中，

解得的時(shí)間函數(shù)為:

其中，qj(0)，(0)由初始條件確定。

分離狀態(tài)下的時(shí)間函數(shù)按變幅桿與工件分別求解，求解方法與接觸過程相同。在每一次接觸狀態(tài)或分離狀態(tài)中，時(shí)間函數(shù)的時(shí)間變量采用各自狀態(tài)內(nèi)的相對時(shí)間坐標(biāo)，即在絕對時(shí)間坐標(biāo)下，tp，(p=1，2…)記錄下了每一次分離及接觸的時(shí)刻，而時(shí)間函數(shù)中的時(shí)間變量t*=t－tp，(p=1，2，…)，t*為相對坐標(biāo)，t為絕對坐標(biāo)。

3 算例與分析

結(jié)合工程實(shí)際，將變幅桿輸出端連接的加工工具簡化為變幅桿系統(tǒng)的一部分，即為變幅桿的小端(輸出端)。本文研究了45鋼三級階梯變幅桿系統(tǒng)在周期驅(qū)動力作用下加工球墨鑄鐵工件的工況，計(jì)算模型如圖2所示，各參數(shù)如表1所示。基于瞬態(tài)波特征函數(shù)展開法計(jì)算階梯形變幅桿重復(fù)撞擊加工的解析解，在Matlab環(huán)境中編程，數(shù)值計(jì)算階梯形變幅桿在加工過程中的結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)，并比較分析不同外載頻率下變幅桿的聚能效果。

圖2 數(shù)值計(jì)算模型Fig.2 Model for numerical calculus

表1 計(jì)算模型中的物理參數(shù)Tab.1 Physical parameters of the model for calculus

周期驅(qū)動力:

3.1 瞬態(tài)動力響應(yīng)

圖3為外激勵(lì)頻率ω=40π kHz時(shí)，撞擊接觸面的撞擊力與位移的時(shí)間歷程。從撞擊力時(shí)間歷程可以看出，當(dāng)變幅桿中由外激勵(lì)激發(fā)的瞬態(tài)應(yīng)力波振面?zhèn)鞑サ竭_(dá)撞擊接觸面時(shí)，撞擊力曲線發(fā)生變化，力峰值大于外激勵(lì)幅值，而變幅桿輸出端與加工件表面位移滿足位移連續(xù)。約經(jīng)過一個(gè)外激勵(lì)周期后，接觸過程結(jié)束，變幅桿與加工件分離。此時(shí)，撞擊力為零，變幅桿輸出端不受加工件影響，位移幅值顯著增加。由于應(yīng)力波傳播的持續(xù)效應(yīng)，使得分離過程中變幅桿和加工工件位移曲線，均存在波動，波動半周期為應(yīng)力波在結(jié)構(gòu)中傳播一次的時(shí)間。t=0.119 ms時(shí)，在外激勵(lì)作用下，發(fā)生再次接觸。但由于瞬態(tài)波的持續(xù)效應(yīng)，使得撞擊力時(shí)間歷程曲線不光滑，存在鋸齒狀變化。再次分離過程中，發(fā)生了幅值小、歷程短的次撞擊現(xiàn)象［16］。由于接觸、分離產(chǎn)生的強(qiáng)間斷瞬態(tài)波，不斷的在結(jié)構(gòu)中傳播、反射、透射，使得后續(xù)撞擊力時(shí)間歷程和結(jié)構(gòu)響應(yīng)更加復(fù)雜。

3.2 不同外載頻率下的聚能效果

不同的外載頻率，對變幅桿系統(tǒng)的聚能效果影響顯著。本文比較分析了外載圓頻率 分別為50 kHz，70 kHz，40 πkHz，208.57 kHz 和 350 kHz 時(shí)，階梯形變幅桿系統(tǒng)的聚能效果。其中70 kHz為變幅桿與工件系統(tǒng)在接觸過程中的諧振圓頻率;208.57 kHz為階梯形變幅桿的諧振圓頻率。

圖3 接觸點(diǎn)的位移及撞擊力響應(yīng)Fig.3 Displacement and impact force at the contact interface

當(dāng)外激勵(lì)頻率為208.57 kHz時(shí)，根據(jù)文獻(xiàn)［8］中的理論，計(jì)算得到本算例的變幅桿空載放大系數(shù)為Mp=1.72。考慮結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)的影響，圖4給出了外激勵(lì)頻率為208.57 kHz工況下，分離狀態(tài)(即空載)時(shí)輸入輸出端的位移變化幅值(消除剛性位移項(xiàng))。計(jì)算得到放大系數(shù)的平均值為1.67，小于由振動理論計(jì)算得到的空載放大系數(shù)Mp。

圖5為208.57 kHz工況下接觸狀態(tài)時(shí)，變幅桿輸入輸出端的位移變化幅值，此時(shí)輸出端位移變化幅值與輸入端位移變化幅值之比的平均值約為0.8。對比圖4，表明在變幅桿的實(shí)際工作中，負(fù)載的存在使位移變化明顯減弱。

圖6為不同頻率周期驅(qū)動力下，接觸過程中變幅桿輸入端與輸出端的位移曲線。可以看出，當(dāng)外激勵(lì)頻率顯著小于變幅桿諧振頻率時(shí)，變幅桿分離狀態(tài)持續(xù)時(shí)間長，撞擊頻率下降，且輸出位移遠(yuǎn)小于輸入位移，表現(xiàn)出明顯的平動狀態(tài)，不利于超聲加工;當(dāng)外激勵(lì)頻率顯著大于變幅桿諧振頻率時(shí)，變幅桿與工件長期接觸，難以形成高頻撞擊，且輸出位移始終小于輸入位移，即變幅桿始終受壓縮，難以實(shí)現(xiàn)加工效果。當(dāng)外激勵(lì)圓頻率調(diào)整為變幅桿的諧振圓頻率ω=208.57 kHz附近時(shí)，從變幅桿的輸出、輸入位移曲線，可以看出變幅桿兩端為拉伸與壓縮狀態(tài)的高頻交替，變幅桿高頻撞擊工件，為超聲加工的理想狀態(tài)。

圖7為不同頻率周期驅(qū)動力下，接觸過程中變幅桿輸出力阻抗值的自然對數(shù)。力阻抗特性分析表明，變幅桿系統(tǒng)開始工作后，其力阻抗值逐漸過渡至穩(wěn)定狀態(tài)。與其他工況相比，外激勵(lì)頻率接近變幅桿諧振頻率的情況下，輸出力阻抗調(diào)整迅速，調(diào)整后平穩(wěn)。這表明，超聲加工過程，外激勵(lì)頻率調(diào)整為接近變幅桿固有的諧振頻率時(shí)，具有理想的阻抗匹配特性。

4 結(jié)論

根據(jù)變幅桿工作狀態(tài)，考慮與加工工件高頻重復(fù)撞擊負(fù)載的瞬態(tài)響應(yīng)影響，研究了階梯形變幅桿的瞬態(tài)動力特性和結(jié)構(gòu)聚能效果。基于動力學(xué)，采用瞬態(tài)響應(yīng)法，給出結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)解。通過工程常見的三級階梯形變幅桿的數(shù)值計(jì)算，得出以下結(jié)論:

(1)瞬態(tài)響應(yīng)解能實(shí)現(xiàn)對考慮工作負(fù)載的超聲變幅桿的瞬態(tài)動力學(xué)研究，分析結(jié)果精確可靠。

(2)變幅桿高頻撞擊工件為超聲加工的理想工作狀態(tài)。通過本文計(jì)算比較，負(fù)載及瞬態(tài)波傳播對變幅桿的最優(yōu)工作頻率影響微弱，外激勵(lì)頻率與變幅桿諧振頻率相同或接近時(shí)，變幅桿為理想工作狀態(tài)。因此超聲變幅桿系統(tǒng)的工作頻率(外激勵(lì)頻率)按空載設(shè)計(jì)［8］是合理的。

(3)與負(fù)載重復(fù)撞擊產(chǎn)生的瞬態(tài)響應(yīng)，對變幅桿實(shí)際放大系數(shù)有影響，實(shí)際放大系數(shù)(撞擊過程為0.8，分離過程為1.6)低于振動理論空載設(shè)計(jì)值1.72，表明沒有考慮高頻波動效應(yīng)的振動理論預(yù)測值偏高。

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