蔡逢春，臧峰剛，梁艷仙

(1.中國核動力研究設(shè)計(jì)院 核反應(yīng)堆系統(tǒng)設(shè)計(jì)技術(shù)國家級重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都 610041;2.成都航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院 建筑工程系，成都 610021)

兩端支承的輸流管道在流速足夠大的定常流作用下一般只會因屈曲發(fā)生靜態(tài)失穩(wěn)或稱為發(fā)散失穩(wěn)，但是在振蕩流的作用下，即使平均流速較小(遠(yuǎn)小于發(fā)生靜態(tài)失穩(wěn)的臨界流速)，系統(tǒng)也可能因參數(shù)共振而動態(tài)失穩(wěn)［1］。Ariaratnam 等［2］采用平均法研究了兩端鉸支輸流管道在振蕩流作用下的次諧波共振和組合共振;Namachchivaya等［3］對該系統(tǒng)進(jìn)行了非線性分析，在共振區(qū)域內(nèi)給出了次諧波共振和組合共振的幅頻特性曲線。金基鐸等［4］、梁峰等［5］進(jìn)一步分析了該系統(tǒng)的共振區(qū)域內(nèi)的各種參數(shù)共振能夠延續(xù)的頻率范圍和它們的振動特性。Panda等［6］采用多尺度法考察了兩端鉸支輸流管道在振蕩流作用下的主共振、組合共振和內(nèi)共振行為。Wang［7］研究了兩端鉸支輸流管道在平均流速較大(大于臨界流速)條件下的動力學(xué)行為。

含裂紋結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性分析一直是個(gè)熱點(diǎn)研究方向，有大量的文獻(xiàn)報(bào)道，但關(guān)于含裂紋管道的動力學(xué)特性的研究較少，Zheng等［8］推導(dǎo)了空心矩形和圓形截面結(jié)構(gòu)橫向裂紋在純彎矩作用下的局部柔度，并研究了其結(jié)構(gòu)的振動特性和穩(wěn)定性。He等［9］通過將裂紋截面分成一系列的薄環(huán)計(jì)算管裂紋的應(yīng)力集中因子和柔度系數(shù)，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證。這些研究都采用的是開裂紋模型，且沒有考慮流體的影響。Yoon等［10］研究了含裂紋簡支輸流管道在移動載荷作用下的動態(tài)特性，其基于Lagrange方程推導(dǎo)出含裂紋兩端簡支輸流管道在移動載荷作用下的運(yùn)動方程，研究了裂紋對輸流管道的頻率、位移響應(yīng)的影響，他們也是假設(shè)裂紋在振動過程中始終處于張開狀態(tài)。

本文首先建立起含呼吸裂紋的輸流管道在振蕩流作用下的非線性運(yùn)動方程，采用數(shù)值方法，研究含裂紋輸流管道在參數(shù)共振區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動形態(tài)，并與無裂紋輸流管道的運(yùn)動狀態(tài)相比較，重點(diǎn)考察由于裂紋的存在，導(dǎo)致輸流管道的運(yùn)動形態(tài)的改變。

1 裂紋模型

Zheng等［8］通過將含單邊直裂紋圓管的裂紋區(qū)域分割成為一序列的無限小的矩形條帶區(qū)域，各個(gè)微小裂紋條帶的應(yīng)力強(qiáng)度因子近似使用無限長板條的單變裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子，然后求得直裂紋的柔度系數(shù)。本文基于其方法建立管道外壁部分圓周裂紋(如圖1所示)的柔度系數(shù)。裂紋深度為a，裂紋對應(yīng)的圓心角為2θ，管壁厚度為 h，管外徑為 De，內(nèi)徑為 Di。

積分條帶處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為［8］:

在純彎矩作用下由外壁部分圓周裂紋帶來的局部柔度系數(shù)為:

式中，E'=E/(1－ν2)，E為彈性模量，ν泊松比，Ae為裂紋區(qū)域。

圖1 外壁部分圓周裂紋Fig.1 Partly circumferential crack

2 紋梁的模態(tài)函數(shù)

含裂紋梁在裂紋處轉(zhuǎn)角不連續(xù)，為了得到滿足邊界條件和裂紋處的不連續(xù)條件的模態(tài)函數(shù)，本文通過在不含裂紋梁的模態(tài)函數(shù)中加入3次多項(xiàng)式來構(gòu)造出含裂紋梁的模態(tài)函數(shù)。

依據(jù)模態(tài)假設(shè)法，梁的橫向位移可以寫成:

考慮含有Q－1條裂紋的梁，裂紋梁被分成Q段，分別用扭轉(zhuǎn)彈簧組裝起來。設(shè)含裂紋梁的第k段的第j階模態(tài)函數(shù)為:

式中，ξ∈［ξkξk+1］，ξ=X/L，L 為管道長度，兩端點(diǎn)坐標(biāo)，ξ1=0，ξQ+1=1，A4k－3～A4k為待定系數(shù)，(ξ)無裂紋梁的模態(tài)函數(shù)，k=1，2，…，Q。

對于兩端鉸支梁，有以下4個(gè)邊界條件:

在裂紋處要滿足位移、轉(zhuǎn)角、剪力和彎矩4個(gè)協(xié)調(diào)條件:

式中，Ck－1為裂紋柔度系數(shù)，(')= ?/?ξ，k=2，3，…，Q。

通過式(5)、式(6)可唯一確定含裂紋梁的模態(tài)函數(shù)。

3 含裂紋兩端鉸支輸流管道運(yùn)動方程

3.1 輸流管道模型

含裂紋兩端鉸支輸流管道的模型見圖2，輸流管道長度為L，流體橫截面積為A，管道橫截面積Ap，單位長度管道的質(zhì)量為m，抗彎剛度為EI，流體的相對管道流速為U，單位長度流體的質(zhì)量為M，裂紋位置為Xc，裂紋為外壁部分圓周裂紋，管道沿著X軸方向放置如圖2。對管道和流體有以下基本假設(shè):① 裂紋尖端應(yīng)力在彈性范圍內(nèi);② 流體無粘性、不可壓縮;③ 管道內(nèi)流速U一致;④ 管道在平面內(nèi)運(yùn)動;⑤ 采用Euler梁假設(shè)，不計(jì)管道的轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形。

初始狀態(tài)，物質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)采用Lagrange坐標(biāo)(X，Y)描述，變形后采用Euler坐標(biāo)(x，y)描述，物質(zhì)點(diǎn)的位移為 u=x－X，v=y－Y。

圖2 含裂紋兩端鉸支輸流管道模型Fig.2 A hinged-hinged pipe conveying fluid with a crack

3.2 用于描述輸流管道運(yùn)動的拉格朗日方程

Stangl［12］應(yīng)用一種適用于含有非材料體(non-material volumes)系統(tǒng)的 Lagrange方程［11］推導(dǎo)出了懸臂輸流管道的非線性運(yùn)動方程，這種擴(kuò)展的Lagrange方程非常方便處理流進(jìn)流出控制體的質(zhì)量。本文基于此方程來推導(dǎo)含裂紋輸流管道系統(tǒng)的運(yùn)動方程。其運(yùn)動方程可寫為:

式中，T為系統(tǒng)的總的動能，Qi為系統(tǒng)的廣義力，qi為廣義坐標(biāo)。方程中包含兩個(gè)曲面積分，用于描述流入流出控制體的質(zhì)量。Γ為控制體的邊界，da描述曲面Γ上的微元方向，VF、VP分別是流體的速度和管道的速度,是單位體積流體的動能。

3.3 系統(tǒng)的動能

對于兩端鉸支輸流管道，在發(fā)生橫向位移后，由于兩端的位移為零，管道的伸長將導(dǎo)致管道的橫截面積縮小，當(dāng)流體為不可壓縮時(shí)，管道橫截面積的縮小將導(dǎo)致流速增大，考慮了這些因素后，Paidoussis在其文獻(xiàn)［1］中給出了流體的速度矢量為:

式中，(')=?/?X，()=?/?t。

對于兩端鉸支輸流管道，忽略高階項(xiàng)，系統(tǒng)動能可寫成［1］:

式中，Tp為管道動能，TF為流體動能。

3.4 曲面積分

依據(jù)前面的分析，流體的單位體積動能可寫成:)

式中，ρF為流體密度。

由于在裂紋處的轉(zhuǎn)角不連續(xù)，因此在裂紋截面左右兩邊的方向矢量不相等。在裂紋截面左右兩邊的曲面積分的和也不等于零。在裂紋截面左邊的曲面積分為:

裂紋截面右邊曲面積分為:

由裂紋處的協(xié)調(diào)條件(6)，裂紋左右兩邊的曲面積分式(11)、式(12)的和為:

由于VF－VP=U，廣義速度項(xiàng)無關(guān)為變形后管道切向方向矢量，因此方程(7)中的第二個(gè)曲面積分等于零。

3.5 廣義力

由彎曲變形引起的彈性勢能為:

用于模擬裂紋的無質(zhì)量彈簧的勢能為:

考慮管道的橫向運(yùn)動產(chǎn)生附加的軸向力，輸流管道的橫截面軸力和流體壓力可表示為［1］:

式中，N為管道軸力，P為流體壓力。管道軸力和流體壓力做的功:

因此可以得到廣義力為:

3.6 系統(tǒng)運(yùn)動方程

為了得到無量綱運(yùn)動方程，引入以下無量綱量:

考慮無量綱流速為:

式中，u0為平均流速，Ω為振蕩流頻率，μ為振蕩流幅值。

將以上得到的系統(tǒng)動能、曲面積分和廣義力代入方程(7)，且考瑞利阻尼比例系數(shù)，可得到裂紋張開時(shí)，系統(tǒng)無量綱運(yùn)動方程的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣為:

式中:

當(dāng)裂紋閉合時(shí)，裂紋帶來的局部柔度系數(shù)C=0，此時(shí)含裂紋輸流管道的運(yùn)動方程與無裂紋輸流管道的運(yùn)動方程是一樣的，令C=0，類似式(20)，可以求得裂紋閉合狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣。

裂紋的張開閉合狀態(tài)將由裂紋處的曲率η″(ξc)的正負(fù)號來確定，含呼吸裂紋兩端鉸支輸流管道的運(yùn)動方程可寫成:

式中，(')=?/?ξ，()=?/?τ。

可以看出，由于裂紋張開、閉合，含呼吸裂紋的輸流管道的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣將隨裂紋的張開閉合狀態(tài)的變化而改變。

4 數(shù)值計(jì)算與分析

本節(jié)將采用龍格庫塔法對方程(21)直接積分，研究有/無裂紋輸流管道在振蕩流作用下的運(yùn)動特性，重點(diǎn)考察由于裂紋的存在會對輸流管道的運(yùn)動形態(tài)的改變。

4.1 無裂紋輸流管道在振蕩流作用下的參數(shù)共振

為驗(yàn)證本文所建立的含裂紋輸流管道在振蕩流作用下的運(yùn)動方程的正確性，首先研究無裂紋輸流管道非線性行為，并與已有文獻(xiàn)［3－4］比較，取系統(tǒng)參數(shù)與文獻(xiàn)［4］相同，為:α =0.005、c=0、β=0.64、μ=0.4、κ=5 000、u0=2.5。取2階模態(tài)函數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算［5，6］，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。圖中的橫坐標(biāo)為振蕩流無量綱頻率Ω，縱坐標(biāo)為管道中點(diǎn)位移幅值，當(dāng)管道中點(diǎn)的運(yùn)動速度為零的時(shí)候，記錄此時(shí)中點(diǎn)的位移值。

從分岔圖可以看出，當(dāng)0＜Ω＜6時(shí)，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為混沌運(yùn)動，還包含了一些周期運(yùn)動，這以區(qū)域主要是系統(tǒng)一階振型主共振和超諧共振區(qū)域;區(qū)域6.9＜Ω＜16.1對應(yīng)于系統(tǒng)的一階振型1/2次諧波共振區(qū)域，振幅隨激勵頻率的增加而增大，當(dāng)6.9＜Ω＜10時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為復(fù)雜的周期1運(yùn)動，當(dāng)10＜Ω＜16.1時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入周期1運(yùn)動。區(qū)域35＜Ω＜53.2對應(yīng)于系統(tǒng)的一、二階振型組合共振區(qū)域，振幅隨激勵頻率的增加而增大，當(dāng)35＜Ω＜40.3時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期運(yùn)動或擬周期運(yùn)動，當(dāng)40.3＜Ω ＜53.2時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入周期1運(yùn)動;區(qū)域64＜Ω＜94.6對應(yīng)于系統(tǒng)的二階振型1/2次諧波共振區(qū)域，振幅隨激勵頻率的增加而增大，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期1運(yùn)動。在其它區(qū)域內(nèi)，系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。出現(xiàn)的這些運(yùn)動形態(tài)以及失穩(wěn)區(qū)域與文獻(xiàn)［4］是一致的。

為更清楚描述系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)，圖4給出了幾個(gè)典型運(yùn)動形態(tài)的相圖與相應(yīng)的Poincare映射圖。Poincare映射圖采用類似文獻(xiàn)［13］中給出的映射觸發(fā)器:當(dāng)管道位置ξ=0.3處位移為零時(shí)，記錄ξ=0.7處的運(yùn)動狀態(tài)。由于在記錄時(shí)沒有區(qū)分速度的正負(fù)，周期1運(yùn)動有2個(gè)孤立點(diǎn)，見圖4(d)，擬周期運(yùn)動在Poincare映射圖上點(diǎn)組成兩個(gè)封閉環(huán)，見圖4(c)，混沌運(yùn)動，有無窮多個(gè)離散點(diǎn)，見圖4(a)。

4.2 含裂紋輸流管道在振蕩流作用下的分岔與混沌行為

取參數(shù):管長L=1 m，外徑 De=0.1 m，內(nèi)徑 Di=0.07 m，彈性模量 E=2.0 ×108Pa，泊松比 ν=0.36，裂紋角 θ=π/2，裂紋相對深度 a/h=0.9，裂紋位置 ξc=0.3，α =0.005、c=0、β =0.64、u0=2.5。取2 階模態(tài)函數(shù)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。作分岔圖的方法與4.1節(jié)相同。

從分岔圖可以看出，當(dāng)0＜Ω＜6.1時(shí)，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為混沌運(yùn)動和周期運(yùn)動，與不含裂紋的輸流管道的運(yùn)動狀態(tài)類似;區(qū)域6.8＜Ω＜15.9對應(yīng)于系統(tǒng)的一階振型1/2次諧波共振區(qū)域，振幅隨激勵頻率的增加而增大，在這一區(qū)域明顯存在一個(gè)與無裂紋輸流管道不同的地方，由于裂紋的存在，輸流管道分岔圖上出現(xiàn)了經(jīng)過多個(gè)倍周期分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動，又通過多個(gè)倍周期分岔從混沌運(yùn)動進(jìn)入周期運(yùn)動(見圖5(b))。當(dāng)40.6 ＜Ω ＜49.8，系統(tǒng)進(jìn)入一、二振型組合共振區(qū)域，系統(tǒng)的運(yùn)動形態(tài)存在明顯的跳躍，即在某些參數(shù)處系統(tǒng)的運(yùn)動形態(tài)可能從一種形態(tài)突然改變到另外一種形態(tài)，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為周期運(yùn)動，且由于裂紋的存在使得擬周期運(yùn)動消失了;當(dāng)62.6＜Ω＜93.3，系統(tǒng)進(jìn)入二階振型1/2次諧共振區(qū)域，系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運(yùn)動，這與無裂紋輸流管道的運(yùn)動狀態(tài)完全不同，這些不同是由于裂紋存在造成的。在其它區(qū)域，系統(tǒng)穩(wěn)定，位移幅值最終收斂于零。

圖3 無裂紋輸流管道分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram for a uncracked pipeconveying fluid

為更清楚描述系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)，圖6給出了幾個(gè)典型運(yùn)動形態(tài)的相圖和相應(yīng)的Poincare映射圖，采用的映射觸發(fā)器與4.1節(jié)相同。Ω=7.3時(shí)，為復(fù)雜的周期1運(yùn)動，見圖6(a);Ω=7.3時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為復(fù)雜的周期2運(yùn)動，見圖6(b);Ω =7.5、85時(shí)，Poincare映射圖上有無窮多個(gè)點(diǎn)，為混沌運(yùn)動，見圖6(c)、圖6(d)。

圖6 含裂紋輸流管道中點(diǎn)相圖與Poincare映射圖Fig.6 Phase portraits of the motions of midpoint of the cracked pipe span and Poincare portraits

4.3 裂紋深度的影響

通過以上對含裂紋輸流管道在振蕩流作用下的運(yùn)動狀態(tài)的研究，發(fā)現(xiàn)由于呼吸裂紋的存在，會導(dǎo)致輸流管道的運(yùn)動狀態(tài)由周期運(yùn)動變?yōu)榛煦邕\(yùn)動。為詳細(xì)研究裂紋對輸流管道運(yùn)動狀態(tài)的影響，下面通過數(shù)值計(jì)算，以裂紋相對深度為分岔參數(shù)作分岔圖，圖7、圖8分別為激勵頻率Ω=7.5、Ω=85時(shí)，以裂紋相對深度為分岔參數(shù)所得到的分岔圖，其它參數(shù)與4.2節(jié)相同。從圖7可以看出，當(dāng)激勵頻率Ω=7.5時(shí)，隨著裂紋深度的增加，系統(tǒng)通過多個(gè)倍周期分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動，且隨著裂紋深度的增加，分岔圖保持連續(xù)性。當(dāng)激勵頻率Ω=85時(shí)，從分岔圖(圖8)可以看出系統(tǒng)的運(yùn)動形態(tài)存在明顯的跳躍，振動幅值發(fā)生驟然的變化，裂紋相對深度較小時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)為周期1運(yùn)動，裂紋相對深度較大時(shí)，系統(tǒng)主要表現(xiàn)為混沌運(yùn)動。

5 結(jié)論

基于本文建立的含裂紋輸流管道在振蕩流作用下的非線性運(yùn)動方程，采用數(shù)值方法，研究了有/無裂紋的輸流管道在振蕩流作用下的參數(shù)共振。

對于無裂紋輸流管道，研究表明:在一、二階振型1/2次諧波共振區(qū)域及組合共振區(qū)域出現(xiàn)的運(yùn)動形態(tài)與已有相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)論是一致的，證明本文建立的運(yùn)動方程是正確的。本文還發(fā)現(xiàn)，激勵頻率較小條件下(一階振型超諧共振區(qū)域)，系統(tǒng)發(fā)生了混沌運(yùn)動和周期運(yùn)動。

對于含裂紋輸流管道，結(jié)果表明，含裂紋輸流管道表現(xiàn)出更豐富的動力學(xué)行為。在一階振型1/2次諧波共振區(qū)域，系統(tǒng)運(yùn)動形態(tài)通過典型的倍周期分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動，又從混沌運(yùn)動經(jīng)過倍周期分岔進(jìn)入周期運(yùn)動;在一、二階振型組合共振區(qū)域，系統(tǒng)的運(yùn)動形態(tài)存在明顯的跳躍，對應(yīng)的振幅也有驟然的變化，在這一區(qū)域系統(tǒng)主要表現(xiàn)為周期運(yùn)動，且由于裂紋的存在，擬周期運(yùn)動消失。在二階振型1/2次諧波共振區(qū)域，系統(tǒng)表現(xiàn)為混沌運(yùn)動。

最后研究了含裂紋輸流管道在振蕩流作用下的運(yùn)動形態(tài)隨裂紋相對深度的變化，研究表明:當(dāng)激勵頻率Ω=7.5時(shí)，隨著裂紋深度的增加，系統(tǒng)通過多個(gè)倍周期分岔進(jìn)入混沌運(yùn)動，當(dāng)激勵頻率Ω=85時(shí)，隨著裂紋深度的變化，系統(tǒng)的運(yùn)動形態(tài)存在明顯的跳躍。

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