徐 鑫

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039）

三層供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)運(yùn)作的一個(gè)雙向折扣模型

徐 鑫

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230039）

文章在前人研究的基礎(chǔ)上，將需求看成是彈性的，并結(jié)合Khouja的多重折扣的研究，構(gòu)建了一個(gè)三層供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)運(yùn)作的雙向折扣模型，即：既考慮銷售商提供給客戶一個(gè)折扣外，同時(shí)也將供貨商提供給銷售商的折扣納入考慮之中；對(duì)于剩余產(chǎn)品的處理，將以一個(gè)低于成本的價(jià)格進(jìn)行出售，針對(duì)上述情況構(gòu)建使得總利潤(rùn)函數(shù)達(dá)到最大的數(shù)學(xué)建模，并通過(guò)模型求解得出雙向折扣模型下的最優(yōu)的初始訂價(jià)和最優(yōu)的折扣價(jià)格。最后給出一個(gè)算例對(duì)所構(gòu)建模型進(jìn)行了分析。

訂購(gòu)量；彈性需求；供應(yīng)鏈；雙向折扣

0 引言

當(dāng)前市場(chǎng)銷售易的產(chǎn)品，大多都是為了刺激顧客購(gòu)買、降低自身的庫(kù)存壓力，提高自己懂得利潤(rùn)，所以在此目的下確定最優(yōu)的訂價(jià)策略和最優(yōu)的折扣價(jià)格是一個(gè)值得研究的課題。目前，考慮采用價(jià)格折扣和數(shù)量折扣來(lái)協(xié)調(diào)供應(yīng)鏈的相關(guān)文章很多，文獻(xiàn)[1]提出一個(gè)臨時(shí)性折扣下的最優(yōu)經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量的庫(kù)存模型。文獻(xiàn)[2]在不允許缺貨的情況下，考慮總量折扣及超過(guò)部分才享有數(shù)量折扣的兩種情況下最優(yōu)經(jīng)濟(jì)批量的確定問(wèn)題。文獻(xiàn)[3]推導(dǎo)了具有多次折扣的報(bào)童問(wèn)題，并說(shuō)明了零售商若實(shí)行多次的折扣會(huì)比只使用單一的折扣得到比較高的期望利潤(rùn)。文獻(xiàn)[4]建構(gòu)了多項(xiàng)產(chǎn)品在儲(chǔ)存及預(yù)算的雙重限制下多次折扣的報(bào)童問(wèn)題，并發(fā)展出一套算法來(lái)解決此問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]針對(duì)單一周期的庫(kù)存模型，在商品價(jià)格隨季節(jié)變動(dòng)時(shí)，以價(jià)格為基礎(chǔ)建構(gòu)庫(kù)存模式，并進(jìn)行相應(yīng)參數(shù)的靈敏度分析。文獻(xiàn)[6]探討在線性需求函數(shù)且考慮多重折扣下之報(bào)童模式最佳化問(wèn)題。

上述文獻(xiàn)大從多數(shù)量折扣或價(jià)格折扣的角度對(duì)庫(kù)存模型進(jìn)行研究，但沒(méi)有從買賣雙方的聯(lián)合成本方向?qū)?kù)存問(wèn)題進(jìn)行研究。

從文獻(xiàn)的分析我們可以看出，在對(duì)供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)問(wèn)題的研究中有些學(xué)者以價(jià)格折扣或數(shù)量折扣為主進(jìn)行模型的建立和研究，也有些學(xué)者是從買賣雙方的聯(lián)合成本方向進(jìn)行考慮構(gòu)建庫(kù)存協(xié)調(diào)模型，但我們發(fā)現(xiàn)同時(shí)考慮供貨商與銷售商一體化的庫(kù)存文獻(xiàn)卻不多見(jiàn)。因此，本研究以此方向作為本文的研究主體，在給定訂購(gòu)量與初始訂價(jià)的情形下，使用折扣價(jià)格及折扣數(shù)量為協(xié)調(diào)手段進(jìn)行模型構(gòu)建，并尋找最優(yōu)的折扣次數(shù)和訂購(gòu)批量使得總利潤(rùn)達(dá)到最大化。

1 符號(hào)約定和假設(shè)

1.1 符號(hào)約定

P0：初始訂價(jià)；

Pi：第i次的折扣價(jià)格(i=1,2)；

K：每次折扣的固定成本；

di：第i次折扣價(jià)格的區(qū)間(i=1,2,3)；

p：?jiǎn)挝划a(chǎn)品的成本價(jià)格；

Π：總利潤(rùn)函數(shù)；

P ：價(jià)格，它是需求的函數(shù)，即 P=α+βe-λx（λ為彈性系數(shù)）；

Xi：各價(jià)格點(diǎn)處的銷售量(i=0,…,n)；

Xi,j：各價(jià)格點(diǎn)處的市場(chǎng)的銷售量(j=0,…,n)；

Q：訂購(gòu)量；

I：成本回收比例系數(shù)（0＜I＜1）。

1.2 假設(shè)

（1）價(jià)格和需求的關(guān)系看成是彈性的；

（2）所銷售的產(chǎn)品是沒(méi)有變質(zhì)的情況；

（3）初始訂價(jià)由銷售商依價(jià)格需求函數(shù)決定；

（4）每次的價(jià)格折扣都有固定成本的支出。

2 模型建立及求解

2.1 銷售商在銷售過(guò)程中針對(duì)下游顧客的折扣模型及求解

由圖1發(fā)現(xiàn)，銷售商銷售該商品的初始訂價(jià)為P0，若銷售數(shù)量達(dá)到 X0=λ-1[lnβ-ln(a+d1+d2+d3)]，則進(jìn)行第一次折扣，第一次折扣訂價(jià)為P1；若銷售數(shù)量達(dá)到X1=λ-1?[lnβ-ln(a+d2+d3)]，則進(jìn)行第二次折扣，第二次折扣定價(jià)為 P2；并于最后將數(shù)量 X2=λ-1[lnβln(a+d3)]全部售完。

圖1 銷售商價(jià)格需求函數(shù)

因此，如何決定初始訂價(jià)P0、第一次折扣價(jià)格P1以及第二次折扣價(jià)格P2是使得總利潤(rùn)達(dá)到最大化的關(guān)鍵所在；而確定P0、P1以及P2的實(shí)質(zhì)在于確定出每次折扣的折扣區(qū)間值，即d1、d2和d3?？偫麧?rùn)函數(shù)由上述假設(shè)和條件可知為如下形式，即：

為了使得總利潤(rùn)達(dá)到最大，也就是是使得（1）式的結(jié)果達(dá)到最大，即：

由式(8)可知，β為d3的函數(shù)，因此求解最優(yōu)的d3值時(shí)，可運(yùn)用如下的數(shù)值分析算法進(jìn)行求解。

（1）設(shè)定各項(xiàng)參數(shù)之初值。

（2）建立數(shù)學(xué)表達(dá)式

（3）設(shè)d3=0為起始值，代入公式(9)，求得 f(d3)值。

（4）令 d3=d3+ Δ x ，代入公式(9)，計(jì)算 f(d3)值，若f(d3)＞0，則重復(fù)執(zhí)行該步驟。

（5）若 f(d3)＜0，則執(zhí)行步驟（6）。

（7）顯示最終結(jié)果 d3=d3－ Δ x ，將 d3代入式(6)、(7)得到d1、d2值并結(jié)束。

在給定β下，求解符合要求之近似解d3，再代回公式(6)、公式(7)得到 d1、d2。

定理Π(d1,d2,d3)為嚴(yán)格凹函數(shù)，且在d1、d2、d3處取得極大值（證明略） 。

2.2 銷售商針對(duì)上游供應(yīng)商供貨過(guò)程中的折扣模型及求解

上游供貨商對(duì)銷售商所提供的折扣為如圖2所示。

圖2 銷售商針對(duì)供應(yīng)商提供的進(jìn)貨折扣

依據(jù)銷售商所制定的折扣價(jià)格以及不同的訂購(gòu)量所導(dǎo)致的購(gòu)買單價(jià)不同，我們可以得到不同進(jìn)貨成本下的總利潤(rùn)函數(shù)為：

其中I（0＜I＜1）值為成本回收比例系數(shù)，其涵義為：剩余部份以低于成本價(jià)銷售。

為求得使得總利潤(rùn)達(dá)到最大的最大值和最優(yōu)訂購(gòu)批量，其求解過(guò)程如下：

（1）計(jì)算各個(gè)折扣成本下之最優(yōu)訂購(gòu)量X2,j；

（2）找出折扣最大、且為折扣范圍內(nèi)的最優(yōu)訂購(gòu)批量：

同理當(dāng)折扣大于Cj+1，可針對(duì)各個(gè)折扣成本做探討，則公式(14)可以一般式表示之，如公式(14)所示。

因此，在0＜I＜1的條件下，我們可知：

（1）若I≥Ij?+1，則需要取得更大的折扣，接著只需比較下一個(gè)邊界點(diǎn)之后的總利潤(rùn)值 Max{Π(Qj+k|Cj+k),k=1,2,...,n-j}即可發(fā)現(xiàn)總利潤(rùn)最大值。

3 算例

表1 相關(guān)參數(shù)值

根據(jù)表1和圖3由(9)式運(yùn)用Matlab軟件求解最優(yōu)d3值為 d3=59；代入(6)式、(7)式，得 d2=76、d1=94。

可知總利潤(rùn)為Π(59,76,94)=10668.56。

另外得知初始訂價(jià) P0=469，若銷售數(shù)量達(dá)到X0=33，則進(jìn)行第一次折扣，第一次折扣訂價(jià)P1=375，若銷售數(shù)量達(dá)到X1=71.7，則進(jìn)行第二次折扣，第二次折扣訂價(jià) P2=299 。 X2=λ-1?[lnPd-ln(a+d3)]=121.2 為最優(yōu)訂購(gòu)量，此時(shí)總利潤(rùn)10668.56元為最大值。

依據(jù)上述方法求得各進(jìn)貨成本下之總利潤(rùn)、最優(yōu)訂購(gòu)批量與臨界訂購(gòu)批量并結(jié)合所選的0＜I＜1的值加以分析，見(jiàn)表2。

表2 在0＜I＜1情況下不同折扣所對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解

若I≥0.66，要取得更大的折扣，則可獲得總利潤(rùn)最大值；若I＜0.66，不需要取得更大的折扣。

4 結(jié)論

本文研究以Khouja的文章為參考依據(jù)，將價(jià)格需求函數(shù)改為彈性性模型，進(jìn)行具雙向折扣之最優(yōu)訂購(gòu)量及最優(yōu)訂價(jià)策略分析，并給出了相應(yīng)的算例分析。本文考慮三個(gè)價(jià)格，后續(xù)研究可針對(duì)更多重之折扣問(wèn)題加以分析?？梢詫⑦M(jìn)貨折扣過(guò)程中的折扣點(diǎn)的設(shè)計(jì)考慮成決策變量進(jìn)行進(jìn)一步的模型構(gòu)建。

[1]Tersine,R.J.，R.L.Price,Temporary Price Discd Materials Manage?ment[J].Journal of Purchasing Production and Inventory Management,1981（,15）.

[2]Tersine,R.J.，R.A.Toelle.Lot Size Determination with Quantity Dis?counts[J].Production and Inventory Management,1985,26（3）.

[3]Khouja,M.The Newsboy Problem under Progressive Multiple Dis?counts[J].European Journal of Operational Research,1995,84（2）.

[4]Khouja,M.，A.Mehrez.A Multi-Product Constrainted Newsboy Prob?lem with Progressive Multiple Discounts[J].Computers Industrial Engi?neering,1996,30（1）.

[5]Urban,T.L.，R.C.Baker.Optimal Ordering and Pricing Policies in a Single-period Environment with Multivariate Demand and Markdowns[J].European Journal of Operational Research,1997,(103).

[6]Khouja,M.Optimal Ordering,Discounting,and Pricing in the Sin?gle-period Problem[J].International Journal of Production Economics,2000,(65).

F270.5

A

1002-6487（2012）24-0057-03

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(70571001)；安徽省優(yōu)秀青年科技資助項(xiàng)目(08040106835)；安徽省教育廳資助項(xiàng)目(KJ2011Z018)；安徽省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(070416245)

徐 鑫（1979-），男，安徽巢湖人，碩士，講師，研究方向：運(yùn)籌與決策、方程和控制理論。

（責(zé)任編輯/亦 民）