【摘 要】 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，要在函數(shù)的觀點下指導(dǎo)數(shù)列，通過函數(shù)的思想觀點去直觀地認(rèn)識數(shù)列的本質(zhì)是高考能力立意的指導(dǎo)思想。

【關(guān) 鍵 詞】 數(shù)列；函數(shù)思想；數(shù)學(xué)

數(shù)列性質(zhì)的研究主要是通過其通項公式和前n項和公式及相鄰項的關(guān)系來進行的. 我們可以把數(shù)列看成是一種以正整數(shù)n為變量的函數(shù)，數(shù)列的性質(zhì)就可以通過函數(shù)的性質(zhì)反映過來. 這為數(shù)列問題的解決提供了一種新的方向.

一、an及Sn與n的函數(shù)關(guān)系

數(shù)列的通項及前n項和的作用在于刻畫an及Sn與n的函數(shù)關(guān)系，因而等差等比數(shù)列的通項及前n項和都可以看作關(guān)于n的函數(shù)，其圖像都是一列離散的點.

等差數(shù)列的通項公式為an=a1+（n-1）d，這表明（n，an）在直線y=dx+（a1-d）上，其圖像是該直線上一系列離散的點；

等差數(shù)列的前n項和公式為Sn=na1+■d，這表明當(dāng)d≠0時，點（n，Sn）在拋物線y=■x2+（a1-■）x上，其圖像是該拋物線上的一系列離散的點；另外■=■n+（a1-■），這表明（n，■）在直線y=dx+（a1-d）上，其圖像是該直線上的一系列離散的點；

等比數(shù)列的通項公式為an=a1qn-1=■qn，這表明當(dāng)q≠1時，點（n，an）在函數(shù)y=■qx圖像上，是一系列離散的點；

等比數(shù)列的前n項和公式當(dāng)q≠1時Sn=■=■-■=-qn（q≠1），這表明（n，Sn）在函數(shù)y=■-■qx（q≠1）的圖像上，類似于指數(shù)函數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，其圖像是類指數(shù)函數(shù)圖像上的一系列離散的點.

二、典型例題

例1：在等差數(shù)列｛an｝中，Sn是｛an｝的前n項和，q，p∈N+，且q≠p.

（1）若Sp=Sq，求證：Sp+q=0；

（2）若Sp=q，Sq=p，求證：Sp+q=-（p+q）.

分析：因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故在解決數(shù)列問題時我們可以用函數(shù)思想去解決往往會達(dá)到事半功倍的效果.

證明：（1）由于Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，可設(shè)f（n）=a■■+bn，又Sp=Sq.

∴ f（p）=f（q），因此它的對稱軸為n=■.

∴ f（p+q）=f（0）=0.

（2）解法1：用一次函數(shù)求解

由（1）可知■是關(guān)于n的一次函數(shù)，因此點（p，■），（q，■），（p+q，■）在同一直線上.

∴ ■=■.

∴ ■=■.

∴ Sp+q=-（p+q）.

解法2：用二次函數(shù)求解

設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=a■■+bn，則Sp=a■■+bp=q，Sq=a■■+bq=p，兩式相減得a（p2-q2）+b（p-q）=-（p-q），而q≠p，則a（p+q）+b=-1.

∴ Sp+q=a（p+q）2+b（p+q）=（p+q）［a（p+q）+b］=-（p+q）.

例2：｛an｝，｛bn｝分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列，a2=b2>0，a4=b4>0，且a2≠a4，b1>0，試比較an與bn的大小并說明理由.

分析：該問題如果從常規(guī)思路求解需求出an與bn的通項公式并求差，但從現(xiàn)有的條件來看an與bn的通項公式求不出來，所以我們只能另辟蹊徑，利用函數(shù)思想求解，借助函數(shù)圖像問題便可迎刃而解.

解析：設(shè)等差數(shù)列的通項可以表示成an=an+b.

∵ a2≠a4，∴ a≠0，從圖像上來看表示這個數(shù)列的各點均在一次函數(shù)y=ax+b的圖像上；

設(shè)等比數(shù)列的通項bn=b1qn-1=■qn，由b2≠b4，則q≠1，q>0，從圖像上來看表示這個數(shù)列的各點均在指數(shù)型函數(shù)y=■qx的圖像上；

當(dāng)q>1時，an與bn的圖像如圖1所示；

當(dāng)0

■

從這兩個圖中可以得出結(jié)論：a1

例3：（1）在等差數(shù)列｛an｝中，a1=25，S17=S9，問此數(shù)列前多少項和最大，并求出最大值.

（2）在等差數(shù)列｛an｝中，a4=84，前n項和Sn，已知S9>0，S10<0，則當(dāng)n=______?搖時Sn最大.

解析：（1）從函數(shù)的角度分析此題，等差數(shù)列｛an｝的公差d<0，Sn的圖像是開口向下的拋物線上的一群離散點，最高點的坐標(biāo)為■=13，所以S13最大，易求得最大值為169.

（2）從函數(shù)的角度分析此題，等差數(shù)列｛an｝的公差d<0，Sn的圖像是開口向下的拋物線上的一群離散點，并且該函數(shù)圖像過（0，0）點，另一個交點的橫坐標(biāo)在區(qū)間（9，10）內(nèi)，可見其頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間（4.5，5）內(nèi)，故當(dāng)n=5時，Sn最大.

評析：數(shù)列是特殊的函數(shù)，因此求最值問題就是一個重要題型，又因為等差數(shù)列前n項和一般是不含常數(shù)項的二次函數(shù)，因此求最值問題可用二次函數(shù)法，也可用對稱軸來判斷. 由此我們可以總結(jié)出以下結(jié)論：在等差數(shù)列｛an｝中，首項a1>0，前n項和Sn，若Sm=Sk（m，k為常數(shù)且m≠k），當(dāng)m+k為偶數(shù)時，則當(dāng)n=■時，Sn有最大值；當(dāng)m+k為奇數(shù)時，則當(dāng)n=■時有最大值.

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，要在函數(shù)的觀點下指導(dǎo)數(shù)列，通過函數(shù)的思想觀點去直觀地認(rèn)識數(shù)列的本質(zhì)也是高考能力立意的指導(dǎo)思想.