☉江西省于都中學(xué) 謝志斌

2012年平面向量高考熱點(diǎn)問題剖析

☉江西省于都中學(xué) 謝志斌

通過新題或通過改變陳題的背景材料，來考查學(xué)生的能力是高考命題的常用方法.可與平面向量結(jié)合的知識(shí)點(diǎn)較多，如平面幾何、立體幾何乃至圓錐曲線、直線與方程等都能與平面向量進(jìn)行交匯命題.求解這類題，需要學(xué)生具有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基本思想方法的能力，并能在試題中提取有用的信息，進(jìn)行加工整理.本文對(duì)今年高考中平面向量的熱點(diǎn)問題進(jìn)行分析，希望對(duì)讀者能起到拋磚引玉的作用.

一、平面幾何中考查平面向量

圖1

分析：此題考查平面向量基礎(chǔ)知識(shí)，目的是利用向量的工具性作用來解決向量的數(shù)量積問題.初看好像不好入手，但根據(jù)填空題的特征，不妨聯(lián)想到特殊的正方形，問題便可迎刃而解！

再分析：是不是答案18只對(duì)正方形才會(huì)有呢？在一般的平行四邊形ABCD中，結(jié)論又如何？

我們再去深思、去探索、去歸納.

解法2：（小題小做）設(shè)AC的中點(diǎn)為O，延長AP，過點(diǎn)C作其垂線CE，垂足為E，則OP是△ACE的中位線，由AP=3知AE=6.

點(diǎn)評(píng)：本題巧妙運(yùn)用圖像的特殊性求解，體現(xiàn)了平面向量“形”的特征.

二、動(dòng)態(tài)中考查平面向量

圖2

圖3

分析：本題表面上是考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，實(shí)際上考查的知識(shí)點(diǎn)包含了弧度數(shù)、解三角形知識(shí).解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圓心的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)，確定點(diǎn)P的弧度數(shù)，從而確定∠PCA=2.

點(diǎn)評(píng)：本題是在運(yùn)動(dòng)中考查平面向量、三角函數(shù)、圓的知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是明確點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的弧度數(shù)為2，利用圖形中特征直角三角形并結(jié)合誘導(dǎo)公式、向量坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)處理.

三、交匯處考查平面向量

圖4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算、概念、平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律.做題時(shí)，要切實(shí)注意條件的運(yùn)用.本題屬于中檔題，難度適中.

圖5

分析：根據(jù)所給的圖形，把已知向量用矩形的邊所在的向量來表示，做出要用的向量的模長，表示出要求的向量的數(shù)量積，注意應(yīng)用垂直的向量的數(shù)量積等于0，得到結(jié)果.

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，兩角和的余弦公式，銳角三角函數(shù)的定義.

四、創(chuàng)新題中考查平面向量

解析：本題考查平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算以及向量的新定義，突破口是通過新定義把問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題解決.根據(jù)新定義得：

點(diǎn)評(píng)：這類考題要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上及時(shí)捕捉和利用信息，結(jié)合原有所學(xué)知識(shí)作出判斷、推理、概括、運(yùn)算和表述．這類題型背景新穎，構(gòu)思精巧，極富思考性和挑戰(zhàn)性，因而備受各級(jí)各類考試命題者的青睞．

解決向量熱點(diǎn)問題可歸納概括為：兩個(gè)基本點(diǎn)、一個(gè)重點(diǎn)、三個(gè)看點(diǎn).具體地說，兩個(gè)基本點(diǎn)主要是線性運(yùn)算和坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)此必須牢固掌握、熟練運(yùn)算；向量的數(shù)量積則是一個(gè)重點(diǎn)，決不能輕視；向量問題所呈現(xiàn)的三種情景：一是與平面圖形交匯，二是與三角交匯，三是在物理中的應(yīng)用.這三種情景便是三大看點(diǎn)，它體現(xiàn)了向量良好的工具功能、簡化功能和綜合功能.