☉江蘇省寶應縣氾水高級中學 盛兆兵

填空題的賞析與思考一道2012年江蘇高考

☉江蘇省寶應縣氾水高級中學 盛兆兵

今年江蘇考生考完數學后，都說填空題第14題比較難，為什么學生都說這題難呢？主要原因在于本題變量較多，而且關系復雜，學生理不清頭緒，不敢往下計算.若學生掌握主元法，則很快算出答案.

在許多數學問題中，都含有常量、參量、變量等多個量（統(tǒng)稱為元素）.這些元素中，通常情況下，有一些元素處于突出和主導的地位，可視為主元.在有些情況下，為解決問題的需要，也可人為突出某個元素的地位作用，將之作為主元.這種確定主元后，以此作為解題的主線，進而把握問題，促使問題轉化，直至問題解決的思想方法稱為主元法.

例 （2012年江蘇14）已知正數a，b，c滿足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a+clnc，求的取值范圍.

分析：本題中出現(xiàn)三個變量，而且滿足的關系式比較復雜，選擇哪一個或哪兩個作為主元，是求解本題的關鍵.的

幾何意義是（0，0），（a，b）這兩點的斜率，所以本題把a，b作為主元，c看作常量.

變式1：（2011年蘇州高三第一學期期末第13題）已知△ABC的三邊長a，b，c滿足b+2c≤3a，c+2a≤3b，求的取值范圍.

分析：本題中出現(xiàn)三個變量，而且在三角形中，處理方法與上例類似，把a，b作為主元，通過三角形的三邊關系消去c.

解：因為b+2c≤3a，所以2c≤3a－b.

由于a，b，c為三角形的三邊，

說明：本題也可采用線性規(guī)劃方法求解，共有7個不等式，有5條直線，正確地找出可行性區(qū)域，對學生要求較高，難度大.若采用主元法，能簡化計算，且能節(jié)約時間.

分析：不少學生面對此題，感覺無從下手.本題求解的關鍵是根據主元思想，減少變量.

解：由題意分析把b，c作為主元，且滿足b+c≥a.

以上對主元法做了初步研究，其中蘊含辯證思想.一方面，當我們遇到含多元問題時，面對諸多元素，主元策略往往給我們一個頭緒，一條主線，體現(xiàn)了化歸轉化思想；另一方面，主元法還表現(xiàn)于主元選擇的變通性，選擇不同主元，形成不同解題途徑，最終又殊途同歸，體現(xiàn)了和諧統(tǒng)一、普遍聯(lián)系的觀點.