☉湖北省水果湖高級中學 張德尚

高等解析幾何視野下幾類特殊平面法向量的求解技巧

☉湖北省水果湖高級中學 張德尚

一、問題提出

在高中數(shù)學教學中，常常用向量法解決立體幾何問題，比如用平面的法向量去求二面角的大小、線面角、空間距離，去證明線線關(guān)系、線面關(guān)系等.但是，大部分學生在計算法向量時常常算錯，導(dǎo)致立體幾何題嚴重失分.本文試圖用高等解析幾何中的平面方程及法向量知識來總結(jié)幾類特殊的平面的法向量的求法，從而使學生少犯計算錯誤，大大提高計算的正確率.

二、高等解析幾何中的平面方程的兩個引理及結(jié)論和推廣

這就是平面的截距式方程，類似于直線的截距式方程.

同樣，推論（3）與（4）的法向量的取法同此原理.

三、結(jié)論及推論的應(yīng)用

例1 （2011年湖南（）如圖1，在圓錐PO中，已知PO=，⊙O的直徑AB=2，C是的中點，D為AC的中點.

（1）證明：平面POD垂直于平面PAC；

（2）求二面角B－PA－C的余弦值；

（3）（改編）你能根據(jù)經(jīng)驗直接寫出平面PAC和平面PCB的法向量嗎？試求出二面角A-PC-B的平面角的余弦值.

圖1

圖2

解：（1）略.

說明：在平面PAC與平面PCB中，有三個點都在坐標軸上，可以根據(jù)推論（1）直接寫出這兩個平面的法向量.

（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；

（2）（改編）直接寫出平面PAC的法向量和平面PBC的法向量；

（3）求二面角Q－BP－C的平面角的余弦值.

圖3

圖4

解：（1）略.

例3 如圖5，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD.

（1）證明：PA⊥BD；

（2）若PD=AD，求二面角A－PB－C的平面角的余弦值.

圖5

圖6

解：（1）略.

例4 （2011年上海）已知ABCD－A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱，O1是A1C1和B1D1的交點.

（3）（改編）在（2）的條件下，試求平面AB1C1與平面B1D1D所成銳二面角的余弦值.

解：（1）略.

圖7

例5 （2012年天津）如圖5，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（1）證明PC⊥AD；

（2）求二面角A－PC－D的正弦值；

（3）設(shè)E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長.

解：（1）略.

圖8

（3）略.

值得指出的是，以上這些例題中的法向量的求法，都省去了解題的步驟和格式，只應(yīng)用了結(jié)論和推論.這些技巧是用來幫助同學們保證計算的正確性的，在平時的作業(yè)和考試中，還是得遵循用向量法解空間幾何問題的步驟與格式，這樣才能做到規(guī)范、嚴謹、正確.