☉山東省棗莊市第三中學(xué) 楊華文（特級教師）

讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行走在生活的道路上
——《向量加法》教學(xué)案的設(shè)計(jì)示例

☉山東省棗莊市第三中學(xué) 楊華文（特級教師）

新課程改革的背景下，學(xué)生想要的是：自由遨游在數(shù)學(xué)的天空中，自由呼吸在數(shù)學(xué)的花園里，自由徜徉在數(shù)學(xué)的長廊里．在數(shù)學(xué)的天空里，飛翔著生動，閃爍著鮮活，蘊(yùn)育著智慧，然而，數(shù)學(xué)的抽象與邏輯就像一堵墻，在定格數(shù)學(xué)的同時(shí)，也凝固了人們對數(shù)學(xué)的興趣．怎么辦？……答案無他：實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)的生活化，讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行走在生活的道路上．

一、導(dǎo)入新課要實(shí)現(xiàn)“生活化”

很多老師在教學(xué)過程中對導(dǎo)入新課環(huán)節(jié)不是很重視，其實(shí)中學(xué)課堂教學(xué)的導(dǎo)入新課環(huán)節(jié)，是整個(gè)課堂教學(xué)中不可缺少的有機(jī)組成部分，是通往精彩的橋梁，是遙控高潮的序幕，更是指引思維的路標(biāo)．反之，一堂課如果一開始就波瀾不驚，學(xué)生對接下來的內(nèi)容是難以提高興趣的．

向量的加法新課導(dǎo)入案例：

創(chuàng)設(shè)情境 直觀感知

圖1

圖2

圖3

圖4

以杭州灣大橋（如圖1）為整體背景，設(shè)計(jì)兩個(gè)問題情境如下：

問題1：建橋之前如何從嘉興到達(dá)寧波（如圖2）？建橋之后可以從嘉興直達(dá)寧波，此時(shí)的位移與前面兩次位移的結(jié)果有何關(guān)系（如圖3）？兩次位移的結(jié)果可稱為兩次位移的和，如何用等式來刻畫這三個(gè)位移的關(guān)系？

問題2：這是大橋南端的A型獨(dú)塔斜拉橋，其中兩根拉索對塔柱的拉力分別為F1、F2（如圖4），則它們對塔柱的共同作用效果如何？合力可稱為力與的和，如何用等式來刻畫這三個(gè)力的關(guān)系？

力與位移都是物理中的矢量，既有大小又有方向，若去掉它們的物理屬性，就是數(shù)學(xué)中的向量．它們的和也就可以抽象成向量與向量之間的一種運(yùn)算——向量的加法（引出課題）.

［設(shè)計(jì)意圖］從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和物理知識出發(fā)，以杭州灣大橋?yàn)楸尘皠?chuàng)設(shè)問題情境，從而讓學(xué)生在位移合成、力的合成的基礎(chǔ)之上，抽象出向量加法的概念，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，以及各自的操作方法與要領(lǐng)，使學(xué)生體會到向量加法的實(shí)際背景，經(jīng)歷概念形成的過程，領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動的過程教學(xué)”，容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望．通過對兩個(gè)具體問題的分析翻譯提煉轉(zhuǎn)化，引出課題．不僅讓學(xué)生學(xué)會對實(shí)際問題進(jìn)行提煉轉(zhuǎn)化的能力.更讓學(xué)生有耳目一新的感覺，極大地調(diào)動了他們探究的欲望和學(xué)習(xí)的興趣，并且在向量加法的起始課上，就拉近了生活與數(shù)學(xué)的距離，實(shí)現(xiàn)新課導(dǎo)入的“生活化”．

二、教學(xué)手段要接近“生活化”

針對以上兩個(gè)問題，筆者先是放手讓學(xué)生小組合作探究，對問題1和問題2有的小組討論，有的在練習(xí)本上邊寫邊畫，同學(xué)們展開了積極的嘗試探究，最后形成全班同學(xué)的大合作，使問題得以解決．按照誘思探究教學(xué)理念的引領(lǐng)，筆者在大屏幕上投放出了下面的系列問題及解決時(shí)間和解決方式．

向量的加法新課探究內(nèi)容：

1.抽象概括，形成定義

（1）建立數(shù)學(xué)模型

圖5

（2）抽象數(shù)學(xué)概念

問題4：由此，你們能概括出一般的兩個(gè)向量a與b和的定義嗎？

學(xué)生活動：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，平移a使其起點(diǎn)為點(diǎn)O，平移b使其起點(diǎn)與a向量的終點(diǎn)重合，再連接向量a的起點(diǎn)與向量b的終點(diǎn)．

①平移的目的是什么？——平移后使得兩個(gè)向量能在同一個(gè)三角形中.

②平移后兩個(gè)向量的終點(diǎn)與起點(diǎn)有何關(guān)系？——使得第二個(gè)向量的終點(diǎn)與第一個(gè)向量的起點(diǎn)重合.

③和向量又是什么？——連接向量a的起點(diǎn)與向量b的終點(diǎn)，并指向b的終點(diǎn)，得到的向量O—→B即為向量a與b的和.

向量的加法的定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法．

向量加法的法則：和的定義給出了求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．

問題5：用三角形法則求向量和的過程中要注意什么？——平移兩個(gè)向量使它們首尾順次相連．

問題6：還可以用什么方法求兩個(gè)向量的和呢？——向量加法的平行四邊形法則．

問題7：平行四邊形法則有何特點(diǎn)？——平移兩個(gè)向量至同一起點(diǎn)．

兩種方法求和的結(jié)果是一樣的，可見，向量加法的三角形法則與平行四邊形法則在本質(zhì)上是一致的．在具體求和時(shí)，應(yīng)根據(jù)情況靈活地選擇．

（3）嘗試運(yùn)用法則

試一試：如圖6，已知a、b，作出a+b.

圖6

向量加法的三角形法則對共線向量的求和仍然是適用的，反映了三角形法則具有廣泛的適用性．

［設(shè)計(jì)意圖］給學(xué)生充分的感性材料，在教學(xué)中采用了“以問題為中心”的討論式教學(xué)模式．把問題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)問題情境，組織相關(guān)的數(shù)學(xué)成分，加強(qiáng)相關(guān)內(nèi)容的聯(lián)系，使問題處于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，即接近“生活化”，以此激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲．并能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力．通過學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識從問題中來，培養(yǎng)學(xué)生提煉、概括、建立數(shù)學(xué)模型的能力（一般性探究）．暴露由具體到抽象的思維規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的交流合作意識，在探索的過程中獲得成就感．避免直接將結(jié)論拋給學(xué)生，讓其從中享受發(fā)現(xiàn)的快樂．

2.類比猜想，探究性質(zhì)

問題8：加法其實(shí)我們并不陌生，從小就開始學(xué)習(xí)數(shù)、字母、式的加法，實(shí)數(shù)的加法有哪些運(yùn)算性質(zhì)？向量的加法是否也滿足類似的性質(zhì)？如果滿足，具體形式是什么？

實(shí)數(shù)的加法 向量的加法a+0=a a+（-a）=0 a+b=b+a（a+b）+c=a+（b+c）性質(zhì)a+0=a a+（-a）=0 a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c)

交換律的驗(yàn)證讓學(xué)生通過畫圖自己檢驗(yàn)，結(jié)合律的驗(yàn)證師生借助于多媒體共同完成.

研究結(jié)果表明：向量加法也滿足交換律和結(jié)合律，這與數(shù)的加法是一致的.有了交換律與結(jié)合律，向量的加法就可以按任意的組合與任意的次序進(jìn)行，從而豐富向量加法的內(nèi)涵.

［設(shè)計(jì)意圖］向量加法運(yùn)算律的教學(xué)，是引導(dǎo)學(xué)生通過與數(shù)的加法進(jìn)行類比得到的，并讓學(xué)生自主探索，構(gòu)圖進(jìn)行驗(yàn)證．這樣不僅體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，同時(shí)還培養(yǎng)了學(xué)生科學(xué)的探究能力，歸納推理能力，滲透了數(shù)形結(jié)合、類比推理等思想．體會數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)律的和諧美，和知識來源的“生活化”．

三、教學(xué)內(nèi)容要體現(xiàn)“生活化”

學(xué)生在課堂活動中學(xué)習(xí)的過程就是學(xué)生的智慧、情感、體驗(yàn)、思維，生活能力不斷生成的過程．所以必須把多種多樣的生活化的教學(xué)手段引入課堂，讓學(xué)生真正動起來，活起來，實(shí)現(xiàn)師生之間、生生之間的多維互動、思考、交流、討論，只有這樣才能把學(xué)生的潛能充分發(fā)揮出來．

向量的加法新課探究案例：數(shù)學(xué)運(yùn)用深化知識

例1 如圖7，O為正六邊形A1A2A3A4A5A6的中心，作出下列向量：

圖7

圖8

并以2008年北京奧運(yùn)圣火的傳遞提供了現(xiàn)實(shí)原型（如圖8）．

最后我們再回到這座宏偉壯觀的大橋來解決這樣一個(gè)實(shí)際問題：

［設(shè)計(jì)意圖］數(shù)學(xué)課程既要講邏輯推理，更要講道理，通過對典型例子的分析和學(xué)生自主探索活動，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論逐步形成的過程，體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法，體現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的“生活化”，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的足跡，把數(shù)學(xué)的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于接受的教育形態(tài)．這是新課程理念中特別強(qiáng)調(diào)的，也是筆者備課過程始終如一的追求．

圖9

圖10

圖11

例2 已知橋（如圖9）是南北方向，受落潮影響，海水以12.5km/h的速度向東流，現(xiàn)有一艘工作艇，在海面上航行檢查橋墩的狀況，已知艇的速度是25km/h，若艇要沿著與橋平行的方向由南向北航行，則艇的航向如何確定？

答：若要游艇沿著與橋平行的方向由南向北航行，其航向應(yīng)為北偏西30°．

［設(shè)計(jì)意圖］以學(xué)生比較熟悉的生活問題作為例題，從生活原型中抽象出數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上去研究數(shù)學(xué)模型，最后應(yīng)用到生活實(shí)踐中去．并再一次告訴我們，數(shù)學(xué)源于生活，又服務(wù)于生活，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“生活化”平易近人，讓學(xué)生切身感受生活創(chuàng)造了數(shù)學(xué)，同時(shí)數(shù)學(xué)美化了生活．

至此學(xué)生不僅順利解決了引例所提出的問題，還自行探究出了向量加法的運(yùn)算法則，并且還明確了它所滿足的運(yùn)算律，整堂課學(xué)生都群情振奮、情緒高昂．因此，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)生活化、讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)行走在生活的路上，是新課程改革的必然趨勢，也是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的生命之泉．其實(shí)，要做到數(shù)學(xué)教學(xué)的生活化，方法遠(yuǎn)不止這些，“教無定法，貴在得法”，只要我們每一位數(shù)學(xué)教育工作者抓住新課程改革的重要機(jī)遇，切實(shí)踐行課程改革新理念，做教學(xué)的有心人，就一定能給學(xué)生營造出一個(gè)又一個(gè)生活化的數(shù)學(xué)課堂，奉獻(xiàn)出一堂又一堂數(shù)學(xué)教學(xué)的精品.

四、教學(xué)感悟

1.精心設(shè)計(jì)問題，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

美國心理學(xué)家布魯納指出：“教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題的持續(xù)不斷的活動，思維永遠(yuǎn)是從問題開始．”因此，怎樣精心設(shè)置問題系列，為學(xué)生的學(xué)習(xí)活動搭建恰當(dāng)?shù)钠脚_，對于一節(jié)課的教學(xué)走向，促進(jìn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)是非常關(guān)鍵的．本節(jié)課，筆者在深入研讀教材的基礎(chǔ)上，對教材內(nèi)容進(jìn)行了重組，共設(shè)計(jì)了8個(gè)問題和2個(gè)例題，而且實(shí)現(xiàn)了問題的“生活化”．難度由低到高，形式由簡潔直觀到隱晦抽象，內(nèi)容由數(shù)到形再到數(shù)．通過這些問題串，讓學(xué)生們一起自然地建構(gòu)新概念，應(yīng)用新概念，反思新概念，從不同的角度理解新概念，最后提升到綜合運(yùn)用所學(xué)概念解決實(shí)際問題的思維水平，追求一種自然、流暢的教學(xué)節(jié)奏，取得良好的教學(xué)效果．

2.稚化教師思維，引領(lǐng)學(xué)生探究

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，新學(xué)習(xí)的知識必須納入原有的認(rèn)知體系，并在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到聯(lián)系點(diǎn)，才能將新知識同化，牢固地掌握新知識．新課標(biāo)提倡關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，注意站在學(xué)生的角度，精心創(chuàng)設(shè)問題情景，誘發(fā)學(xué)生思維的積極性，用卓有成效的啟發(fā)引導(dǎo)，促使學(xué)生的思維活動持續(xù)發(fā)展．備課首先應(yīng)該備學(xué)生，教師應(yīng)非常熟悉學(xué)生的知識基礎(chǔ)和認(rèn)知水平及學(xué)習(xí)的薄弱之處，要善于改變自己的身份，稚化自己的思維，把自己當(dāng)做學(xué)生，從學(xué)生的角度審視問題，為學(xué)習(xí)者設(shè)計(jì)教學(xué)．要知道：在教師看來，清澈見底的問題到了學(xué)生那兒可能就是渾濁一片．本節(jié)課中的問題設(shè)計(jì)，堅(jiān)持低起點(diǎn)，高落點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納、驗(yàn)證，進(jìn)行自主探究，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍛煉了學(xué)生的思維能力．

3.及時(shí)調(diào)整預(yù)設(shè)，實(shí)現(xiàn)精彩生成

在新課程改革的教育理念下，數(shù)學(xué)課堂逐漸走向“學(xué)生參與、交往互動、共同發(fā)展”．課堂教學(xué)過程是一個(gè)個(gè)活潑的頭腦在教師預(yù)設(shè)好的問題情境中的交流、對話與活動的過程，是“精心預(yù)設(shè)”與“動態(tài)生成”和諧統(tǒng)一的過程．課堂上，學(xué)生的深思頓悟、靈機(jī)一動、節(jié)外生枝和思維遇阻、疏忽大意等，都可能催生出一個(gè)個(gè)鮮活的教學(xué)資源，為創(chuàng)設(shè)智慧、高效的課堂帶來可能．本節(jié)課中，筆者注意及時(shí)調(diào)整課前的預(yù)設(shè)，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了盡量多的發(fā)揮的空間，為積極的生成提供了豐富的可能性，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)的交流和互動中逐步完善認(rèn)識，為豐富的生成提供了更大的空間，使課堂在師生的共同創(chuàng)造中變得充滿靈性、充滿智慧、充滿活力．

1.章建躍.理解學(xué)生 理解數(shù)學(xué) 理解教學(xué)［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2010（12）：1-5.

2．陳繼理.“生”動的課堂才是高效的課堂［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2012（1-2合刊）：43-45.

3．楊華文.看山還是山 看水還是水［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2012（6）：16-18.