☉江西省贛縣中學(xué)北區(qū) 張小華

幾何概型中的交匯問題

☉江西省贛縣中學(xué)北區(qū) 張小華

幾何概型是高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容，是新課程高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)，是對(duì)古典概率的進(jìn)一步發(fā)展，是等可能事件的概念從有限向無限的延伸，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，已成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介.本文展示幾何概型與集合、函數(shù)、方程、三角形、解析幾何的交匯與整合問題.

圖1

一、幾何概型與集合的交匯

例1 已知集合A={x|－1≤x≤0}，集合B={x|ax+b·2x－1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}，若a、b∈R，求A∩B=?的概率.

二、幾何概型與函數(shù)、方程的交匯

例2已知函數(shù)f（x）＝x2－2ax＋b2，a、b∈R.若a從區(qū)間［0，2］中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間［0，3］中任取一個(gè)數(shù)，求方程f（x）＝0沒有實(shí)根的概率.

解：因a從區(qū)間［0，2］中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間［0，3］中任取一個(gè)數(shù)，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}.

這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積SΩ=2×3=6.

設(shè)“方程f（x）=0沒有實(shí)根”為事件B，則事件B所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜b}.

圖2

三、幾何概型與三角形的交匯

解：以A點(diǎn)為起點(diǎn)作射線AM是隨機(jī)的，且射線AM落在∠BAC內(nèi)的任何位置都是等可能的，故BM＜1時(shí)，射線AM一定落在∠BAD內(nèi)，且射線AM落在∠BAD內(nèi)的概率只與∠BAD大小有關(guān)，符合幾何概型的條件，記事件A={射線AM落在∠BAD內(nèi)}.

圖3

上例只涉及一條射線，我們?yōu)槭裁床坏葍r(jià)到線段上的點(diǎn)，而是等價(jià)到了弧上的點(diǎn)？那是因?yàn)榈葍r(jià)到線段上的點(diǎn)破壞了等可能性（因?yàn)橥染€段長(zhǎng)射線掃過的區(qū)域不同，但同等弧長(zhǎng)射線掃過的區(qū)域相同），故我們?cè)诘葍r(jià)的過程中不僅要注意一一對(duì)應(yīng)，而且還需考慮符合幾何概型的等可能性.

四、幾何概型與解析幾何的交匯

圖4

總之，幾何概型雖然描述的是概率問題，可是它很容易與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合.從中可以看到它們的聯(lián)袂可使呆板、平淡的數(shù)學(xué)題充滿活力和無窮魅力.