☉北京師范大學(xué)（珠海）附中 黃 曉

☉北京師范大學(xué)研究生院珠海分院 高文華

元認(rèn)知理論視角下對(duì)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的新思考

☉北京師范大學(xué)（珠海）附中 黃 曉

☉北京師范大學(xué)研究生院珠海分院 高文華

一、現(xiàn)實(shí)解題教學(xué)中的誤區(qū)

在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，有些學(xué)生聽(tīng)懂了老師的講解但是不會(huì)做題，更確切地說(shuō)在我們的教學(xué)過(guò)程中常見(jiàn)這樣的一些學(xué)生，他們能聽(tīng)懂老師上課所講的內(nèi)容，能看懂課本上的例題，可是自己獨(dú)立解題時(shí)常感不知從何下手；另外，我們也會(huì)遇到這樣一部分學(xué)生，只要老師稍作提示，他們能很快找到解題思路，但離開(kāi)老師的指導(dǎo)就不懂如何思考.我們不得不去思考這樣的一個(gè)問(wèn)題，那就是出現(xiàn)這樣的情況是學(xué)生的問(wèn)題還是我們老師自身的解題教學(xué)缺少一些環(huán)節(jié)？當(dāng)前，我們的解題教學(xué)比較注重“怎么解”而對(duì)“為什么這樣解”重視不夠.具體來(lái)說(shuō)，就是我們的解題教學(xué)比較注重向?qū)W生展現(xiàn)最后的解答，而對(duì)于“解答是怎么想出來(lái)的，中間會(huì)遇到哪些挫折又是如何克服的”重視不夠.正如沈文選先生說(shuō)：我們現(xiàn)實(shí)的解題教學(xué)片面追求解題技巧和個(gè)別知識(shí)點(diǎn)在解題上的應(yīng)用，這種教學(xué)模式可以培養(yǎng)學(xué)生形式運(yùn)算能力，但是不利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的能力.［1］實(shí)際上，我們當(dāng)前的解題教學(xué)大都是這樣一種模式：復(fù)習(xí)知識(shí)—典型例題講解—總結(jié)方法—變式練習(xí).在這種模式下，不少老師在備課時(shí)花大量時(shí)間找資料、選習(xí)題、歸類，然后把每類題對(duì)應(yīng)的方法詳細(xì)講給學(xué)生聽(tīng)并要求學(xué)生“對(duì)號(hào)入座”地解題；另外就是，教師為引導(dǎo)而引導(dǎo)，有的老師精心設(shè)計(jì)了很多問(wèn)題，層層深入地引導(dǎo)學(xué)生一步一步地按照老師設(shè)計(jì)好的思路來(lái)解題.這些做法有利于增加學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備但不利于學(xué)生獨(dú)立思考能力的形成，所以會(huì)有部分學(xué)生能聽(tīng)懂但不能獨(dú)立解題.從元認(rèn)知的角度看，這種解題模式不能幫助學(xué)生認(rèn)清自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，學(xué)生不清楚自己具備哪些知識(shí)還缺哪些知識(shí)；另外，也不能幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)解題的監(jiān)控過(guò)程，不利于學(xué)生解題監(jiān)控能力的培養(yǎng).筆者在平時(shí)的解題教學(xué)中也存在這樣的缺陷.下面，舉一個(gè)實(shí)際中碰到的例子.在一份周末練習(xí)題中有這樣一道題：已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n和，S3，S9，S6成等差數(shù)列，求證：a2，a8，a5成等差數(shù)列.

這道題的解答過(guò)程為：

證明：因?yàn)镾3，S9，S6成等差數(shù)列，所以S3+S6=2S9.（1）

師：對(duì)上式用前n項(xiàng)和公式變形，而公式有兩個(gè)，用哪個(gè)呢？

生：兩個(gè)都可能，要對(duì)q分類討論.

師：先看q=1的情況，同學(xué)們驗(yàn)證一下q能否為1呢？

生：不可能，q=1會(huì)得到a1=0.

師：若q≠1，我們可得……（學(xué)生說(shuō)，教師板書）

生：可以兩邊同時(shí)除以q得a1q2+a1q5=2a1q8，也就是a2+a5=a8.

這樣的講解，過(guò)程很順利，學(xué)生也覺(jué)得自己聽(tīng)懂了.但是，一個(gè)星期后再做這道題時(shí)只有少數(shù)人全對(duì).有部分學(xué)生忘了分類，有部分學(xué)生在得到a1q3+a1q6=2a1q9后繼續(xù)約簡(jiǎn)為1+q3=2q6，試圖求出q.出現(xiàn)這種情況，說(shuō)明學(xué)生忘了.那學(xué)生為什么會(huì)遺忘這么快呢？我的教學(xué)是否缺了什么？實(shí)際上，我講這題的時(shí)候有些“隱語(yǔ)”沒(méi)告訴學(xué)生.比如為什么要對(duì)q分類？為什么沒(méi)把a(bǔ)1約掉？為什么不求出q？當(dāng)求q有困難怎么辦？像這些問(wèn)題都沒(méi)交代清楚.用元認(rèn)知的理論來(lái)說(shuō)，就是沒(méi)把隱藏的對(duì)解題思路的監(jiān)控過(guò)程告訴學(xué)生.

這個(gè)例子說(shuō)明“師引”和“自引”（學(xué)生對(duì)解題過(guò)程的自我監(jiān)控）是有區(qū)別的.我們的教學(xué)的目標(biāo)不僅是學(xué)生在教師指引下做對(duì)一個(gè)題目，而且要教會(huì)學(xué)生如何對(duì)自己的解題過(guò)程進(jìn)行引導(dǎo)監(jiān)控，而我們現(xiàn)實(shí)的解題教學(xué)恰恰忽略了這一點(diǎn).

二、數(shù)學(xué)元認(rèn)知對(duì)解題的影響分析

湯服成等研究者通過(guò)研究表明：元認(rèn)知是影響數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的重要因素，具有修正數(shù)學(xué)解題目標(biāo)、激活和重組數(shù)學(xué)解題策略、強(qiáng)化解題者在數(shù)學(xué)解題中的主體地位等作用.［2］波利亞指出：“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本，良好的組織使得所提供的知識(shí)易于用上，這可能比知識(shí)廣泛更為重要.”［3］波利亞強(qiáng)調(diào)了解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)解題的重要性.而“數(shù)學(xué)的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)由解題知識(shí)結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和解題元認(rèn)知結(jié)構(gòu)組成.”［4］也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)元認(rèn)知對(duì)解題起到重要的作用.鄭雅允指出：元認(rèn)知在數(shù)學(xué)解題過(guò)程中就像一雙無(wú)形的手指點(diǎn)著學(xué)生每一步應(yīng)該如何進(jìn)行，是正確解決問(wèn)題的向?qū)?，在整個(gè)解題過(guò)程中起著潛移默化的引導(dǎo)作用，影響著思維，元認(rèn)知的監(jiān)控決定著解題的過(guò)程，而解題中的每一步都提醒和反映著元認(rèn)知監(jiān)控.［5］筆者認(rèn)為，解題者要順利解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，必須在解題過(guò)程中隨時(shí)對(duì)自己的思維過(guò)程加以監(jiān)控、評(píng)價(jià)和調(diào)整，數(shù)學(xué)的解題過(guò)程始終有數(shù)學(xué)元認(rèn)知的參與，因此數(shù)學(xué)元認(rèn)知，對(duì)解題的順利進(jìn)行具有重要的影響.

既然這樣，那么數(shù)學(xué)元認(rèn)知是怎樣影響解題的過(guò)程呢？學(xué)者涂榮豹把數(shù)學(xué)元認(rèn)知分為數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識(shí)、數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗(yàn)和數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控三大部分，［4］下面我們從這三方面分析數(shù)學(xué)元認(rèn)知對(duì)解題的影響.

從系統(tǒng)的觀點(diǎn)，我門可以把解題過(guò)程看成是一個(gè)封閉的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，在這系統(tǒng)中包括三大要素：主體的內(nèi)部環(huán)境，處于系統(tǒng)外層；數(shù)學(xué)問(wèn)題，處于系統(tǒng)內(nèi)層；解題策略，處于中間層.解題過(guò)程的順利進(jìn)行，有賴于這三大要素的相互作用，而相互作用的發(fā)生，需要解題者對(duì)這三大要素有一個(gè)認(rèn)識(shí)和評(píng)價(jià).數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識(shí)就是通過(guò)認(rèn)清這三大要素對(duì)解題產(chǎn)生影響.具體來(lái)說(shuō)，主體通過(guò)認(rèn)清自身數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)和不足影響解題者的解題決策；其次解題者通過(guò)認(rèn)清問(wèn)題的特征（問(wèn)題的類型是什么、問(wèn)題的組織性如何、自己對(duì)問(wèn)題的表征方式是什么）影響解題者對(duì)問(wèn)題本質(zhì)把握、相關(guān)知識(shí)的提取、策略的選擇和運(yùn)算操作等；最后解題者通過(guò)認(rèn)清自身具備的策略、策略適用的問(wèn)題情境來(lái)影響解題者對(duì)策略的正確選擇和有效利用，從而減少嘗試和錯(cuò)誤的任意性.可見(jiàn)，數(shù)學(xué)元認(rèn)知知識(shí)起到認(rèn)識(shí)解題系統(tǒng)的作用.

數(shù)學(xué)元認(rèn)知體驗(yàn)對(duì)解題的影響主要表現(xiàn)在三方面：對(duì)解題目標(biāo)的修正，對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改組，對(duì)解題策略的激活.首先，解題者在解題過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)原來(lái)所定的目標(biāo)無(wú)法達(dá)到或是不容易達(dá)到時(shí)，就會(huì)通過(guò)元認(rèn)知體驗(yàn)調(diào)整、修正原來(lái)的目標(biāo)，使之容易達(dá)成.其次，解題者在解題中遇到困難時(shí)會(huì)根據(jù)元認(rèn)知體驗(yàn)反思自己數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不足，進(jìn)而補(bǔ)充相應(yīng)的知識(shí)，改組自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，這樣有利于解題的繼續(xù)進(jìn)行.最后，在解題過(guò)程中，解題者對(duì)當(dāng)前使用的解題策略的有效性會(huì)有所懷疑，從而促使解題者不斷思考新的解題策略，于是新的策略就被激活.

數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控相對(duì)其他二者，其對(duì)解題的影響力更大，是三者的核心.數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控對(duì)解題的影響主要體現(xiàn)：對(duì)解題方向的監(jiān)控，對(duì)解題過(guò)程的監(jiān)控，對(duì)認(rèn)知策略的調(diào)節(jié).首先，解題過(guò)程中，解題者通過(guò)數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控保證思維方向盡可能的向著解題目標(biāo)，不發(fā)生偏離.其次，解題者通過(guò)元認(rèn)知監(jiān)控及時(shí)糾正解題中的錯(cuò)誤、審視當(dāng)前狀態(tài)與解題目標(biāo)的差距保證解題的順利進(jìn)行.最后，解題者通過(guò)數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控，不斷修正思維方法和認(rèn)知策略，以保證解題的方向性.

三、解題教學(xué)中培養(yǎng)數(shù)學(xué)元認(rèn)知的策略

既然數(shù)學(xué)元認(rèn)知對(duì)學(xué)生解題能力的提高有重要的影響，那么我們的解題教學(xué)理應(yīng)關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知的培養(yǎng)，具體如何落實(shí)呢？

（一）引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)目標(biāo)體系

在平時(shí)的解題教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生的目標(biāo)意識(shí)，通過(guò)老師平時(shí)解題教學(xué)的潛移默化的示范作用，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)自主確定解題目標(biāo)，提高解題的主動(dòng)性.在平時(shí)的教學(xué)中主要注意以下幾點(diǎn).第一、教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生如何確定問(wèn)題總目標(biāo)，在總目標(biāo)指導(dǎo)下如何建構(gòu)“小步距”、“層次性”的目標(biāo)體系.比如面對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，教師以第一人稱的方式介紹自己是如何確定該問(wèn)題的目標(biāo)的，然后又是如何把目標(biāo)分成不同階段的，不同階段的目標(biāo)又如何確定等等.通過(guò)教師自我的表露讓學(xué)生體驗(yàn)確定目標(biāo)的過(guò)程，從而使學(xué)生在離開(kāi)老師的引導(dǎo)時(shí)，自己能獨(dú)立的根據(jù)問(wèn)題的特征，確定解題的目標(biāo)體系.第二、教師在解題教學(xué)中要有意識(shí)的表露自己如何根據(jù)不同的目標(biāo)選擇不同的策略.比如可以向?qū)W生表露，這一步我的目標(biāo)是什么，我為什么選擇種方法.通過(guò)這種方式幫助學(xué)生領(lǐng)會(huì)對(duì)于不同的目標(biāo)要選擇不同的策略.第三、教師應(yīng)展示解題工程中自己是如何評(píng)價(jià)不同階段的目標(biāo)體系的.比如教師可以向?qū)W生提問(wèn)：我的目標(biāo)是什么？該目標(biāo)完成了嗎？完成這目標(biāo)問(wèn)題解決有幫助嗎？通過(guò)這些引導(dǎo)性的提問(wèn)讓學(xué)生主動(dòng)監(jiān)控自己的目標(biāo)體系，通過(guò)平時(shí)教學(xué)的滲透，幫助學(xué)生慢慢建立起主動(dòng)監(jiān)控解題目標(biāo)的能力.

（二）暴露解題的思維過(guò)程

在解題教學(xué)的備課中，我們經(jīng)常關(guān)注的是如何選擇典型例題、歸納方法，而對(duì)于如何向?qū)W生暴露老師思考這道題的思維過(guò)程缺少考慮和設(shè)計(jì).而解題教學(xué)的重要內(nèi)容和意義就是揭示解題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思維.［6］因此筆者認(rèn)為，教師在進(jìn)行解題教學(xué)備課時(shí)應(yīng)考慮如何向?qū)W生暴露自己解題的思考過(guò)程或者解題中經(jīng)歷的挫折失誤.在教學(xué)實(shí)踐中筆者建議利用波利亞式的“提示語(yǔ)”揭示思考過(guò)程.

人教版高中數(shù)學(xué)必修2習(xí)題3.3B組題中有這么一題目：

筆者在備課時(shí)設(shè)計(jì)了如下的“提示語(yǔ)”：條件能化簡(jiǎn)嗎？結(jié)論含有根號(hào)，能否兩邊平方呢？（學(xué)生回答后，道出教師的想法：其實(shí)老師做這道題的時(shí)候也有考慮過(guò)平方，但是馬上又想到這么做很麻煩）式子右邊各項(xiàng)形式上有什么特點(diǎn)？見(jiàn)過(guò)類似的式子嗎？這題究竟想考查什么？（學(xué)生思考后，向?qū)W生說(shuō)明我自己想這題的時(shí)候心理就反復(fù)問(wèn)這題究竟想考查什么）能畫圖把點(diǎn)描上去嗎？能換種方式表述這個(gè)問(wèn)題嗎？（學(xué)生思考后，告訴學(xué)生：老師在想到考查兩點(diǎn)間的距離公式后，就動(dòng)手畫出直角坐標(biāo)系并把點(diǎn)描上，最后把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用幾何方式表達(dá)）通過(guò)以上的“提示語(yǔ)”和說(shuō)明把教師本人的思考過(guò)程以及在遇到困難時(shí)如何調(diào)整方向，不單展示了思考過(guò)程而且展示對(duì)思考的監(jiān)控過(guò)程.因此，這種思維的暴露能在不覺(jué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力.

（三）解題教學(xué)要關(guān)注題后反思

羅增儒先生在他的《數(shù)學(xué)解題學(xué)引論》中斷言：分析典型例題的解題過(guò)程是學(xué)會(huì)解題的有效途徑，至少?zèng)]找到更好的途徑之前，這是一個(gè)無(wú)以替代的好主意.一些專家也指出，一些學(xué)習(xí)用功的同學(xué)總是停留在知識(shí)型的水平上，不能形成較強(qiáng)的解題能力，其根本原因就在于他們沒(méi)有分析典型的例題，有分析自己的解題.相反，善于作解題過(guò)程分析的的學(xué)生，很快就形成一般解題能力，并且受益終生.［8］筆者認(rèn)為羅先生這里強(qiáng)調(diào)的對(duì)解題過(guò)程的分析就是對(duì)解題的一種反思.反思的對(duì)象是解題認(rèn)知過(guò)程，因此這種反思實(shí)際上就是一種元認(rèn)知.經(jīng)常進(jìn)行題后反思有利于數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力提高，從而有利于學(xué)生解題能力的提高.

注重引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后反思，是提高學(xué)生解題能力的重要途徑.那么，在實(shí)際教學(xué)中又如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思呢？羅增儒先生提出了解題分析分為兩個(gè)步驟［9］并從四個(gè)方面分析解題過(guò)程.［10］筆者根據(jù)羅先生的思想，在平時(shí)的解題教學(xué)中注重在三個(gè)層次上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后反思.第一層次：反思解題過(guò)程本身；第二層次：反思新解法；第三層次：反思題目的變式推廣.對(duì)于每個(gè)層次，提煉一些反思“提示語(yǔ)”，通過(guò)平時(shí)潛移默化的過(guò)程，提高學(xué)生反思的自覺(jué)性.

數(shù)學(xué)元認(rèn)知影響數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的重要因素，在平時(shí)的教學(xué)中通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生建立目標(biāo)體系、暴露思維過(guò)程及引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行題后反思，能有有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)元認(rèn)知水平，從而提高學(xué)生解題能力.

1.沈文選.數(shù)學(xué)解題和解題研究的重新認(rèn)識(shí).數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005，14（1）：59.

2.湯服成，郭海燕，唐劍嵐.初一學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中動(dòng)靜元認(rèn)知研究.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（4）：6.

3.波利亞.數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn).數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（4）：6.

4.涂榮豹.數(shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中的元認(rèn)知.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998（1-2）：40.

5.鄭雅允，劉紅，宋玲花，巍朝琦.高中生數(shù)學(xué)解題中元認(rèn)知與思維定式的關(guān)系研究.北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1989（1）：68－74.

6.董奇.論元認(rèn)知.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998（1－2）：40.

7.陳榮華，姜慶彥.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的一些體會(huì).中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998（1－2）：40.

8.羅增儒.解題分析——解題教學(xué)還缺少什么環(huán)節(jié)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998（1－2）：40.

9.羅增儒.解題分析——分析解題過(guò)程的兩個(gè)步驟.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998（1－2）：18.

10.羅增儒.解題分析——分析解題過(guò)程的四個(gè)方面［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1998（1－2）：18.