☉江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)蔣王中學(xué) 王 躍 曹松青

『失敗』的『新』發(fā)現(xiàn)

☉江蘇省揚(yáng)州市邗江區(qū)蔣王中學(xué) 王 躍 曹松青

一、問(wèn)題生成

在聽(tīng)一節(jié)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課時(shí)，有些感悟，與大家共賞.下題為課上一道例題：

已知1，x1，x2，2成等差數(shù)列，1，y1，y2，2成等比數(shù)列，則點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在直線(xiàn)y=x的上方還是下方？

課堂上，老師直接運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義分別計(jì)算出x1、x2、y1、y2的值，一路輕車(chē)快馬，很快便判斷出點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）在直線(xiàn)y=x的下方.

直覺(jué)告訴筆者此處定然別有洞天，本以為教者會(huì)系舟登岸，引領(lǐng)筆者和學(xué)生到此一游，可這位船長(zhǎng)卻認(rèn)為無(wú)甚風(fēng)景，命令開(kāi)往另處.只可惜“艦機(jī)輕輕過(guò)”之時(shí)，良機(jī)也輕輕過(guò)去了.心中也因此有了一個(gè)結(jié)，一時(shí)難以釋?xiě)?，課后便獨(dú)自踏上了探究之路.

二、問(wèn)題探究

路在何方？當(dāng)然不能走純計(jì)算的老路，圖像法自是首選.顯然從函數(shù)圖像的角度來(lái)看等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1+（n－1）d及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式an=a1qn－1，二者皆有鮮明的幾何形象.故只需在直線(xiàn)及函數(shù)y=a1qx－1的圖像上適當(dāng)取一些離散的點(diǎn)即可.

如圖1，在直線(xiàn)y=x上取點(diǎn)A（1，1），B（2，2），再取線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)C1、C2，則由題意及等差數(shù)列的相關(guān)概念知C1、C2的坐標(biāo)分別為 （x1，x1）、（x2，x2），過(guò)C1、C2點(diǎn)分別作x軸的垂線(xiàn)交函數(shù)y=a1qx－1的圖像于點(diǎn)P1、P2，則由題意及等比數(shù)列的相關(guān)概念知點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），由圖便可直觀(guān)地看出點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）在直線(xiàn)y=x的下方.

圖1

進(jìn)一步思考：若b＞a＞0，且a，x1，x2，…，xn－1，b成等差數(shù)列，a，y1，y2，…，yn－1，b成等比數(shù)列，則點(diǎn)Pi（xi，yi）（1≤i≤n－1）在直線(xiàn)y=x的上方還是下方？

通過(guò)類(lèi)比可作大膽猜想：點(diǎn)Pi（xi，yi）（1≤i≤n－1）在直線(xiàn)y=x的上方，即xi＞yi.

不妨設(shè)上述等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，

若a，b，s，t皆為正數(shù)，且s+t=1，則有as+bt≥asbt. ②

②式僅是猜想，尚需證明.

考慮到不等式②與著名的伯努利不等式結(jié)構(gòu)上的相似性，故嘗試用伯努利不等式證明.

附伯努利不等式：設(shè)x＞1，a∈R，

至此證明大功告成.此不等式可謂簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單，更令人驚奇的是它竟可視為基本不等式的推廣.

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美由此可窺一斑.

三、問(wèn)題反思

面對(duì)如此神奇的不等式，不由心生疑惑：是它一直“養(yǎng)在深閨無(wú)人識(shí)”還是筆者孤陋寡聞？在疑惑中，成就感和幸福感油然而生.隔日到圖書(shū)館一查資料，方知原是赫爾德不等式的變形.甚是失望，但轉(zhuǎn)念一想：筆者的發(fā)現(xiàn)之路若與大師不同，則有個(gè)人特色，自是別開(kāi)生面；若是歷史的重演，則大師“于我心有戚戚焉”.這樣想來(lái)，不免自鳴得意.回首發(fā)現(xiàn)之旅，從特殊到一般，以有涯逐無(wú)涯，從顯在的線(xiàn)索追尋潛在的真相，其間苦樂(lè)參半，好不艱難！何等痛快！而最終簡(jiǎn)單的問(wèn)題竟包含著深刻的思想和方法，不由唏噓不已，浮想聯(lián)翩：

倘若筆者沒(méi)有一點(diǎn)“不走尋常路”的決心，恐會(huì)“入寶山而空返”；

倘若以為研究下去可能會(huì)吃別人嚼過(guò)的饃，沒(méi)意思，則也不會(huì)有如此獨(dú)特的心靈搖曳；

倘若那位上課教師能夠不囿于讓學(xué)生解出題目，而是以“解法不優(yōu)誓不休”的信念，充分挖掘問(wèn)題中的教學(xué)資源，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“一場(chǎng)場(chǎng)風(fēng)霜雪雨”，繼而“踏平坎坷成大道”，則學(xué)生的創(chuàng)新能力也必然在其間潛滋暗長(zhǎng)；

倘若學(xué)生把這種數(shù)學(xué)的思維方法內(nèi)化為一種習(xí)慣，把在探究中形成的堅(jiān)韌、執(zhí)著內(nèi)化為一種品格，也必將受用終身；

倘若筆者現(xiàn)在去講課，再也不會(huì)輕易選擇難題讓學(xué)生去探究.因?yàn)槟菢樱蠖鄶?shù)學(xué)生常常因?yàn)殚T(mén)檻太高而袖手旁觀(guān).自己可能只抓來(lái)一些小題，如烹小鮮般的加以料理，希望它魚(yú)小味不小，也希望學(xué)生吃得津津有味.更希望他們?cè)谝贼~(yú)為食的同時(shí)，以漁立業(yè).

倘若筆者不去聽(tīng)課，便不能換個(gè)角色以聽(tīng)課者的眼光去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題.事實(shí)上，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題遠(yuǎn)比解決問(wèn)題重要得多，當(dāng)我們?cè)诮萄兄锌嘤谡也坏窖芯空n題時(shí)，不妨去聽(tīng)聽(tīng)課，課堂永遠(yuǎn)是蘊(yùn)藏問(wèn)題的寶庫(kù).