☉江蘇省泗洪中學(xué) 彭曉珊

反思問題的分析與解題思路的形成

☉江蘇省泗洪中學(xué) 彭曉珊

編者語(yǔ)：該文通過問題解決過程的反思這一方式讓學(xué)生學(xué)會(huì)在解題中在分析問題的特征中尋找問題解決的途徑，這對(duì)解題教學(xué)有借鑒意義.但要在反思的基礎(chǔ)上能形成新的解法或發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律.

從近年的高考數(shù)學(xué)試題來看，對(duì)能力的要求逐年提高，“題海戰(zhàn)術(shù)”的功效明顯下降，在教學(xué)中如何擺脫“題海戰(zhàn)術(shù)”，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力呢？這就要求在教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析問題和解決問題，并從中發(fā)現(xiàn)問題解決的規(guī)律.本人試從一道試題的標(biāo)準(zhǔn)答案的分析來談?wù)勅绾瓮ㄟ^解題分析來獲得問題解決的新視角，并從中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

一、問題的提出

評(píng)析：這個(gè)解法運(yùn)算正確，書寫規(guī)范，過程完整，推理嚴(yán)密，還有沒有更好的解決辦法，還有反思的余地嗎？下面我們不妨先研究一下解題步驟，是怎么解的，為什么這樣解？

二、解題分析

1.題中主要抓住了三個(gè)主要問題依次來解決的

（1）求出u的值域.

（2）從f（u）=0的根u的范圍來得到a、b所滿足的條件.

（3）求出a2+b2的最小值.

2.解題步驟結(jié)構(gòu)圖

我們把整個(gè)問題的解決步驟簡(jiǎn)練地提煉出來，由這樣一個(gè)解題步驟結(jié)構(gòu)圖：

在這個(gè)解題步驟結(jié)構(gòu)圖中，我們可以清楚地知道在解這道題的過程中依次用到的知識(shí)為下面的框架圖.

3.邏輯結(jié)構(gòu)的初步分析

（1）在此解法中，利用f（u）=u2+au+（b－2）=0的根得到絕對(duì)值不等式，然后化為求解根式不等式是這道題目得以解決的關(guān)鍵.也是這道題的難點(diǎn)所在，一般而言作為學(xué)生是很難想到的.

（2）在這個(gè)答案中第二問的解決是起到橋梁的作用，是第一問和第三問的聯(lián)系紐帶.

（3）這道題目的標(biāo)準(zhǔn)答案是從正面入手，一環(huán)緊扣一環(huán).

由以上初步分析知，對(duì)于上述的解決問題是循著先求u，然后求出a、b滿足的不等式，最后求出a2+b2的最小值.這種思路是從正面入手，一環(huán)扣一環(huán)地得出最終結(jié)果.

三、題后反思

由以上初步分析知，對(duì)于上述的解決問題是循著先求u，然后求出a、b滿足的不等式，最后求出a2+b2的最小值.這種思路是從正面入手，一環(huán)扣一環(huán)的得出最終結(jié)果.我們能否從其他角度入手，如反面考慮，換位思考.我們對(duì)每一步提出這樣的想法：如果這一步不這樣，那會(huì)是怎樣？先進(jìn)行如下反思.

1.反思問題的結(jié)構(gòu)特征：

從上面的結(jié)構(gòu)分析中可以看到，原解法中有三個(gè)未知數(shù)a、b、u，在原解法中突出了u的地位，強(qiáng)調(diào)了u的優(yōu)先使用權(quán)，a、b退居二線，所以我就他們的地位不同得到下面的結(jié)構(gòu)特征.

第一問的情況較簡(jiǎn)單，我們分析的重點(diǎn)放在第二問和第三問，在第二問的解決中始終圍繞f（u）=u2+au+（b－2）=0至少有一實(shí)根，它的結(jié)構(gòu)特征的探討如下：

特征1：u2+au+（b－2）=0看成關(guān)于u的一元二次方程，在這里突出u的地位.

特征2：f（u）=u2+au+（b－2）看成二次函數(shù)y=f（u）與u軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)至少有一個(gè)，這里還是突出u的地位.

特征3：u2+au+（b－2）=0看成一個(gè)恒等式問題，a、b、u，地位是相同的.

特征4：u2+au+（b－2）=0看成關(guān)于a、b的直線方程，把u看成常數(shù)，a、b地位突出.

與此同時(shí)，第三問a2+b2的最小值的解決辦法將決定整個(gè)解題的方向，下面a2+b2的最小值就本題而言選取的策略如下：

a2+b2的最小值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決；

利用基本不等式來求解a2+b2的最小值；

利用a2+b2的幾何意義來解決a2+b2的最小值.

在這里多種特征方式的出現(xiàn)，體現(xiàn)了知識(shí)間結(jié)構(gòu)的清晰度和連通性，同時(shí)也開辟了解題途徑的多樣性，為我們下面的新解法做好基礎(chǔ)性的鋪墊.

2.反思資源利用

資源的利用是涉及到解題過程中的全過程和每一步，我們重點(diǎn)分析一下比較實(shí)質(zhì)性的第二問的解決.

在第二問的解答的主要是找出根與系數(shù)的關(guān)系，這使得我們思考，除了這個(gè)關(guān)系外，還有其他的關(guān)系么，（特征2、3、4）其中哪一個(gè)關(guān)系對(duì)我們處理更加容易入手，我們有哪些資源可用，應(yīng)該做怎樣的安排？