☉安徽省太湖中學(xué) 李昭平（特級教師）

☉安徽省潛山野寨中學(xué) 汪和平

讓過程展示思維風(fēng)采
——從2012年一道高考題看數(shù)學(xué)思維過程

☉安徽省太湖中學(xué) 李昭平（特級教師）

☉安徽省潛山野寨中學(xué) 汪和平

數(shù)學(xué)思維的獲得在很多情況下是在充分理解題意的情況下，運用觀察、聯(lián)想、猜想，并通過嘗試、反思、邏輯表征等，將問題的思路呈現(xiàn)出來，這其中包含著火熱的思維活動過程，然后再將問題以嚴(yán)密的符合邏輯的解答形式呈現(xiàn)出來.

在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，我們應(yīng)盡可能地將火熱的數(shù)學(xué)思維過程揭示出來，從合情推理中尋找思路，掌握轉(zhuǎn)化方法，培養(yǎng)調(diào)控能力，鼓勵學(xué)生始終保持堅定的信念，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷探究的全過程，學(xué)會數(shù)學(xué)式地思考.下面以2012年安徽省高考理科數(shù)學(xué)第21題壓軸題為例看數(shù)學(xué)思維的過程.

一、試題分析

（Ⅰ）證明：數(shù)列{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；

（Ⅱ）求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

第一步：弄清問題，明確思考方向，少走彎路

本題以二次函數(shù)為背景，給出了數(shù)列的二次遞推關(guān)系.按照已有的認(rèn)知，這類問題很難由遞推關(guān)系求出通項公式（若能求出通項公式，也往往通過對數(shù)運算將指數(shù)“放”下來，轉(zhuǎn)化為一次遞推式）.又由于題目中需要處理的兩問都是不等關(guān)系，這決定了本題的思維方向不是求出通項.

兩問都是討論數(shù)列的單調(diào)性，數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性概念不同.函數(shù)的單調(diào)性定義是：對于定義在區(qū)間D上的任意x1、x2，當(dāng)x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）（或f（x1）＞f（x2）），則函數(shù)f（x）是單調(diào)遞增（減）函數(shù).而數(shù)列的單調(diào)性定義是：對任意n∈N*，都有an＜an+1（或an＞an+1）成立，則數(shù)列{an}是單調(diào)遞增（減）數(shù)列.函數(shù)的單調(diào)性也可以運用導(dǎo)數(shù)來判定，運用導(dǎo)數(shù)來判定單調(diào)性需先將數(shù)列轉(zhuǎn)化為函數(shù)，并且要注意數(shù)列的離散性，兩者之間有差別.

考查函數(shù)f（x）=－x2+x+c，知其圖像與y軸交于點P（0，c），圖像關(guān)于x=對稱，頂點坐標(biāo)為）對于問題（Ⅰ），若數(shù)列{x}是單調(diào)n遞減數(shù)列，則xn+1＜xn對任意n∈N*都成立，即點（xn，xn+1）在函數(shù)f（x）=－x2+x+c的圖像上，且圖像上任意一點（xn，xn+1）都在直線y=x下方.

對于問題（Ⅱ），求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

圖1

第二步：擬訂計劃，用圖像顯示問題的特征

對于問題（Ⅰ）結(jié)合圖象特征知數(shù)列{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0.注意充分必要條件需從兩個角度加以證明.

圖2

第三步：實施計劃，將直觀圖像運用邏輯推理表達(dá)出來

綜上得數(shù)列{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0.

（Ⅱ）假設(shè){xn}是遞增數(shù)列，由x1=0，得x2=c，x3=－c2+2c，由x1＜x2＜x3，得0＜c＜1.

第四步：回顧，檢查解題過程中的思維是否具有嚴(yán)密性、有無疏漏

上述求解過程實質(zhì)是由“數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列”，求得“c的取值范圍”，而不是題目所要求“求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列”.但上述過程已將問題的必要條件求出來了，只需證明必要條件也是充分條件即可.若0＜c≤，要證數(shù)列{xn}為遞增數(shù)列，即xn+1－xn=－+c＞0，即證xn＜對任意n≥1成立.

二、變式拓展

加上函數(shù)曲線背景，體現(xiàn)交匯性，就得到：

題1 數(shù)列{xn}滿足：x1=0，且點P（xn，xn+1）在曲線y=－x2+x+c上（c是常數(shù)）.

（Ⅰ）證明：數(shù)列{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；

（Ⅱ）求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

將二次型遞推式變?yōu)檎液瘮?shù)型遞推式，體現(xiàn)探索性，就得到：

（Ⅰ）證明：an∈［0，1］對任意n∈N*成立的充分必要條件是c∈［0，1］；

此題的命制思路和考查目標(biāo)，與上述的2012年第21題非常類似.

三、幾點啟示

2012年安徽省高考理科數(shù)學(xué)第21題立意新穎、交匯靈活、設(shè)計巧妙，避開了高考數(shù)列題常常關(guān)注遞推與通項、前n項和的視角，將數(shù)列與函數(shù)、不等式、簡易邏輯相融合，突出試題的探索性與開放性，充分體現(xiàn)了新課改理念，對考生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有較高的要求，同時也對考生應(yīng)變能力與心理素質(zhì)進(jìn)行了有效測評，具有很好的選拔區(qū)分功能.據(jù)高考閱卷信息反饋，本題全省考生中只有一人得滿分，比較優(yōu)秀的考生幾乎沒有上面第四步的回顧、檢驗，絕大部分考生找不到解題思路，無從下手，得分率極低.這給我們的啟示是：

（1）數(shù)學(xué)教學(xué)要注重培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，在思維的寬度、深度、厚度和廣度上下工夫，少做題型猜測.其實，高考命題的一個成功經(jīng)驗是在知識的交匯點處命題.從數(shù)學(xué)發(fā)展史與數(shù)學(xué)知識體系的演繹過程可以看出，數(shù)學(xué)與不同分支之間的聯(lián)系本來就很緊密，因此不同知識點之間的融合命題也很容易.試卷的不少知識的交匯與命題考查點都有效地回避了熱點，教學(xué)中如果一味地去猜測考題的組合形式，學(xué)生在高考中一定是難以找到老面孔的，數(shù)學(xué)思維必然受阻.

（2）數(shù)學(xué)的本質(zhì)是數(shù)學(xué)思維.數(shù)學(xué)思維過程是一個將未知與已知相融合的過程，既有同化又有順應(yīng).需要注意的是數(shù)學(xué)思維過程中要有明確的解題思想和方向，然后再將題目提供的新情境轉(zhuǎn)化為已有的知識體系和方法體系來處理，否則會做許多無用功.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，要盡可能讓過程展示思維的風(fēng)采，使學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)思維的方法，這對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)十分重要.

（3）以上我們從一道最新高考題出發(fā)，通過解題思維過程的展示和多方聯(lián)想得到三個變式拓展結(jié)論.在探究過程中，融觀察、猜想、證明于一體.高考題往往具有代表性、典型性、示范性和拓展性，備考復(fù)習(xí)中重視對高考題的研究，能有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，收到良好的復(fù)習(xí)效果.