☉山東省莒南縣筵賓鎮(zhèn)初級中學 徐淑杭
淺析解直角三角形的應用問題
☉山東省莒南縣筵賓鎮(zhèn)初級中學 徐淑杭
解直角三角形的應用是初中數(shù)學的一個很重要的知識點,在歷次中考中所占的分值基本都在10分以上,主要考查在物高測量、建筑設計、坡角、坡比、堪測礦藏、圖案設計、氣象預報、工程技術、物理學、醫(yī)學、航海航空等諸多領域應用,這些知識需要學生根據(jù)已知條件解直角三角形的方法,運用解直角三角形的知識解決問題.具體做到:1了解某些實際問題中的仰角、俯角、坡度等概念;2將實際問題轉化為數(shù)學問題,建立數(shù)學模型;3涉及解斜三角形的問題時,通過作適當?shù)妮o助線構造直角三角形,使之轉化為解直角三角形的計算問題而達到解決實際問題的目的.關于解直角三角形應用有如下知識點和考點.
(1)通過實例(梯子的傾斜程度)認識銳角三角函數(shù)的含義.
(2)知道3 0°、45°、60°角的三角函數(shù)值.
(3)會使用計算器由銳角求它的三角函數(shù)值,由已知三角函數(shù)值求銳角.
(4)熟悉利用解直角三角形對物高進行測量的方法.
(5)掌握運用三角函數(shù)解決與直角三角形有關的實際問題.
(1)均考查了運用三角函數(shù)解決與直角三角形邊角有關的實際問題.
(2)都要借助輔助線完成.
(3)都能分解為含3 0°、45°、60°的特殊直角三角形.
(4)結果都有限制條件.
圖1
例1 如圖1,一架飛機在空中P處探測到某高山山頂D處的俯角為60°,此后飛機以3 00米/秒的速度沿平行于地面AB的方向勻速飛行,飛行10秒到山頂D的正上方C處,此時測得飛機距地平面的垂直高度為12千米,求這座山的高(精確到0.1千米).
答案提示:延長CD交AB于G,則CG=12千米.
依題意得PC=3 00×10=3 000米=3千米.
在Rt△PCD中,
答:這座山的高約為6.8千米.
考點剖析:本題是一道較簡單的實際應用題,只需要作出輔助線構造直角三角形,然后在直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的知識,就可以輕松解決問題.
圖2
圖3
例2 圖2為已建設封頂?shù)?6層樓房和其塔吊圖,圖3為其示意圖,吊臂AB與地面EH平行,測得A點到樓頂D點的距離為5m,每層樓高3.5m,AE、BF、CH都垂直于地面,EF=16m,求塔吊的高CH的長.
答案提示:根據(jù)題意得:DE=3.5×16=56,AB=EF=16.
答:塔吊的高CH的長為69m.
考點剖析:本題是一道關于生活中塔吊的題目,乍看圖形比較復雜,但是靜心看一下圖形解決起來是比較簡單的.主要考查了將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力,只要正確地運用銳角三角函數(shù)的知識就可以得到正確答案.
例3 在一個陽光明媚、清風徐來的周末,小明和小強一起到郊外放風箏﹒他們把風箏放飛后,將兩個風箏的引線一端都固定在地面上的C處(如圖4).現(xiàn)已知風箏A的引線(線段AC)長20m,風箏B的引線(線段BC)長24m,在C處測得風箏A的仰角為60°,風箏B的仰角為45°.
(1)試通過計算,比較風箏A與風箏B誰離地面更高.
(2)求風箏A與風箏B的水平距離.
圖4
(精確到0.01m;參考數(shù)據(jù):sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732)
答案提示:(1)分別過A,B作地面的垂線,垂足分別為D,E.
即風箏A與風箏B的水平距離約為6.97(m).
考點剖析:本題是同學們比較感興趣的放風箏問題,主要是應用直角三角形的邊角關系來解決本題,首先構造直角三角形,分別過A,B作地面的垂線,垂足分別為D,E.第(1)問是已知角和斜邊,利用正弦求角的對邊,求出兩個對邊就可以比較;第(2)問已知角和斜邊,利用余弦求角的鄰邊.
(1)精——將考點、考向、方法、技巧、題例等呈現(xiàn)給學生,所呈現(xiàn)要精而又精.
(2)準——做到不偏離航線,使復習與中考接近起來,提高命中率,也使學生感受提前進入中考,這就做到了“準心復習”.
(3)全——作為中考前的復習,一定要做到全面系統(tǒng),不遺漏任何一個復習點不給學生造成遺憾,這要求我們對初中知識點做出全面的串接.
(4)實——在復習中不能只享受教師整理得如何,更要將復習過程和結果實實在在地落實到每一位學生身上.
解直角三角形應用的學習要全面落實“三基”,教師重視提煉教學思想,發(fā)展理性思維.注意學生閱讀理解能力和書面表述能力的培養(yǎng),關注學生觀察問題、分析問題、處理問題的方法與能力,應加強運算的合理性和科學性的教學,解直角三角形的應用所涉及的知識點主要是“勾股定理”和“銳角三角函數(shù)”,扎實、牢固地掌握好這兩部分內容是正確解直角三角形的基本前提,只要掌握好這兩部分內容,就等于掌握了解直角三角形的有力工具,只要能夠靈活運用,就能游刃有余地解決問題.