☉浙江省臺州市黃巖區(qū)沙埠中學 趙曉華

☉浙江省臺州市黃巖區(qū)高橋中學 蔡歷亮

三角板穿插引出的一則面積最值問題

☉浙江省臺州市黃巖區(qū)沙埠中學 趙曉華

☉浙江省臺州市黃巖區(qū)高橋中學 蔡歷亮

三角板是中學生學習數學時不可或缺的工具，通過操作三角板，可以發(fā)現(xiàn)許多有趣的、有意義的數學問題.如：多付三角板拼多邊形，用三角板進行平移、翻折、旋轉變換.而比較新穎的是利用三角板進行穿插，三角板中間都挖有圓孔或三角孔，如果用其中一塊三角板去穿插另一塊三角板，那會形成怎么有趣的數學問題呢？

圖1

圖2

今有一副三角板（如圖1），中間各有一個直徑為2cm的圓洞，現(xiàn)用三角板a的30°角的那一頭插入三角板b的圓洞內（如圖2），求三角板a通過三角板b的圓洞的那一部分的最大面積（不計三角板的厚度）.

這是由三角板穿插引出的面積最值問題，本題難度較大，分析難度成因，主要有兩點：

（1）“三角形a的30°角的那一頭插入三角板b的圓洞內”需要較強的空間想象能力，問題抽象，學生不易理解，難以確定何時面積最大.

（2）即便知道穿插成何種位置時面積最大，計算相應面積也很困難.

筆者與學生進行交流、研究，發(fā)現(xiàn)本題的解答方法較多，現(xiàn)歸納3種解法供讀者參考.

先將本問題轉化為“解三角形”.已知：如圖3，△ABC中，BC=2，∠A=30°，求△ABC面積的最大值.

解法一：

（1）當△ABC面積最大時，△ABC的形狀不可能為鈍角三角形.否則，不妨設∠ACB＞90°（如圖4）.過B作BD⊥AC于D，延長CD到C1，使C1D=CD，則△ABC1中，BC1=2，∠A=30°，S△ABC1＞S△ABC，與△ABC面積最大矛盾.

圖4

圖5

（2）當△ABC面積最大時，△ABC是∠A為頂角的等腰三角形.

證明：如圖5，設△ABC面積最大時，AB=xcm、AC=ycm，過B作BD⊥AC于D.在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=30°.

當x=y時，S△ABC的面積最大，此時△ABC是等腰三角形，且∠A為頂角.

（3）當△ABC是∠A為頂角的等腰三角形時，

答：當△ABC是等腰三角形時，△ABC的面積最大，即三角板a通過三角板b的圓洞的那一部分的最大面積為（2+）cm2.

解法二：

圖6

圖7

（1）△ABC中，讓BC=2cm位置固定不動，變換∠A的位置，保證∠A=30°不變，即點A在以BC為弦，所含圓周角等于30°的兩段?。ú缓它cB、C）上運動（如圖6）.易知，當A是在圓弧中點時，△ABC的面積最大，此時△ABC是等腰三角形，∠A是頂角.

（2）當△ABC是∠A為頂角的等腰三角形時，過B作BD⊥AC于D（如圖7），設AB=2xcm.在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠A=30°.

圖8

答：當△ABC是等腰三角形時，△ABC的面積最大，即三角板a通過三角板b的圓洞的那一部分的最大面積為（2+）cm2.

解法三：

（1）由解法2第（1）問知：當△ABC是頂角為∠A的等腰三角形時，△ABC的面積最大.

（2）當△ABC是頂角為∠A的等腰三角形時，過A作AD⊥BC于D（如圖8）.

當D沿DA方向運動時（運動到點A時停止），BD會不斷變大，AD會不斷變小，則在線段AD上存在一點E，使D運動到E時，BD=AD，即在線段AD上存在一點E，使BE=AE.

答：當△ABC是等腰三角形時，△ABC的面積最大，即三角板a通過三角板b的圓洞的那一部分的最大面積為（2+）cm2.

解法二的第（1）部分的證明方法，對于∠A的度數并沒有限制，因此可對本題結論進行推廣得到如下結論：如果已知一個三角形的一角θ及該角的對邊，那么當該三角形是頂角為θ的等腰三角形時面積最大.