☉江蘇省響水縣黃圩中學(xué) 單雨年

思考和應(yīng)用相結(jié)合巧開幾何學(xué)習(xí)之門

☉江蘇省響水縣黃圩中學(xué) 單雨年

怎樣才能幫助學(xué)生學(xué)習(xí)好初二的幾何呢？筆者認(rèn)為，可以從幫助他們積累一定的方法，來提高他們解決問題的能力，幫助他們形成清晰的解題思路等方面入手.筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，做了一些嘗試和探索.

一、指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行與數(shù)學(xué)學(xué)科知識的相關(guān)積累

數(shù)學(xué)固然要理解，領(lǐng)會，但同時(shí)也需要積累.積累什么？解題思想，解題方法，知識要點(diǎn)，都需要積累.打個(gè)比方，我們要做一件產(chǎn)品，就要有一個(gè)一個(gè)的零件，就要有這些零件應(yīng)該怎么組裝的方法，還要有組裝成的產(chǎn)品會什么樣子的設(shè)想.在這里，零件就相當(dāng)于知識點(diǎn)，組裝方法就是解題方法，而對于產(chǎn)品的設(shè)計(jì)則是解題的思路.

1．關(guān)于思想方法的積累

在初二，我們需要讓學(xué)生知道的解題思想有：數(shù)形結(jié)合，方程思想，轉(zhuǎn)化思想，分類討論等.當(dāng)然，這些思想的灌輸必須在進(jìn)行有關(guān)題目的講解中進(jìn)行，并讓學(xué)生在解題中有意識地運(yùn)用.

例1 在等腰三角形ABC中，有兩條邊分別為6和8，則它的周長是多少？

分析：在解決這道題時(shí)，我們就需要分類討論：等腰三角形的邊分為腰和底，題中說的6和8的邊哪條是腰，哪條是底呢？實(shí)際上都有可能.所以，我們可以把它分為腰是6和腰是8兩種情況，也就是6、6、8和8、8、6.

很明顯，在這里我們使用了分類討論的思想方法.當(dāng)然，我們還可以結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想方法.

2．知識要點(diǎn)與解題方法的積累

我們對于每一種圖形的基本性質(zhì)、判定方法，首先要理解，更要有意識地記憶.理解才能記憶；而記憶、運(yùn)用后，才能更加理解.如，我們可以結(jié)合學(xué)習(xí)了的線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理、角平分線性質(zhì)定理的逆定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)后，稍加分析，我們就可以找到它們的內(nèi)在聯(lián)系用來證明兩個(gè)角相等.我們可以結(jié)合以前學(xué)習(xí)的內(nèi)容及解題方法，進(jìn)一步把說明角相等的方法總結(jié)為以下幾種：

（1）證明角所在的三角形全等（全等三角形對應(yīng)角相等）；

（2）找中間量（類似于證明線段相等的方法，要說明∠A=∠B，可以先分別說明∠A=∠C，∠B=∠C，則∠C就是中間量）；

（3）利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)（只要說明某線段是等腰三角形的底邊上的高或中線，就可以得到它同時(shí)也是頂角的平分線，從而可以證得相關(guān)的角相等）；

（4）如果這兩個(gè)角在同一個(gè)三角形中，我們還可以嘗試等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”；

（5）計(jì)算角的大小，從數(shù)量上說明它們的相等關(guān)系.

二、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在思考中應(yīng)用所積累的知識點(diǎn)及思想方法

當(dāng)學(xué)生有了一定的知識積累及掌握了一定的方法之后，我們要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在解題中如何選擇這些知識點(diǎn)和方法.在思考中應(yīng)用，筆者認(rèn)為這是學(xué)生開啟初二幾何的大門的鑰匙.下面是一個(gè)具體的有關(guān)指導(dǎo)學(xué)生如何“在思考中應(yīng)用”的實(shí)例.

例2 如圖1，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在一條直線上，度量并比較AD與BE的大小.你能對所得結(jié)論說明理由嗎？

本題要求學(xué)生說明的是線段的相等.怎樣說明線段相等呢？首先要清楚說明線段相等的方法，那么到底應(yīng)該選擇一種什么樣的方法比較適合呢？這就要求學(xué)生學(xué)會結(jié)合具體的題目要求選擇.很明顯，這兩條線段分別在兩個(gè)三角形中，在本題中，說明這兩條線段相等的方法并不適合使用證明三角形全等之外的其他方法.（事實(shí)上，通過證明三角形全等是說明線段相等的基本方法）

圖1

方法選擇好了之后就是如何證明三角形全等了.我們需要尋找兩個(gè)方面的條件：關(guān)于三角形邊相等的條件，關(guān)于三角形角相等的條件.而由條件可知，本題中的△ABC和△CDE都是等邊三角形，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可知，線段AC、BC相等，線段CD、CE相等；角方面，線段AC、CD的夾角∠ACD，線段BC、CE的夾角∠BCE，而這兩個(gè)角分別等于∠ACB、∠DCE加上公共角∠BCD，又∠ACB、∠DCE都等于60°，所以可得∠ACD=∠BCE.于是可得，△ADC與△BEC全等，進(jìn)而可得AD=BE.

從以上所述不難看出，在有了一定的方法和知識點(diǎn)的積累后，只要稍作思考，就不難找到解決問題的方法和路徑了.

三、指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在應(yīng)用中思考

在有了一定的方法及知識點(diǎn)積累、學(xué)生能夠在解題時(shí)進(jìn)行有效的思考后，要想使得學(xué)生的學(xué)習(xí)再提升一個(gè)層次，就要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會在應(yīng)用中思考.有了方法，是不是唯一的方法？是不是還有更簡單的方法，題中量的關(guān)系是可變的還是確定的？這就是靈活地選擇方法，在思維的品質(zhì)上比前面有了較大的提升.

怎樣指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行在應(yīng)用中思考呢？筆者認(rèn)為，可以從指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對題目有所思考，提出新的問題開始.仍然從上面的例2來說.

在解決了題目中提出的問題后，如果我們做一定的思考，還可以提出以下一些問題：

問題（1）：例題中的BE、AD除了數(shù)量關(guān)系外，是否還存在特殊的位置關(guān)系？它們相交所成的∠BOA為多少度？（如圖2）

問題（2）：如圖3，線段CP、CQ有著怎樣的數(shù)量關(guān)系？

圖2

圖3

以上提出的一系列的關(guān)于例2的新問題，實(shí)際上都是在例題的基礎(chǔ)上提出的，都使用了例2的解決過程中證明三角形全等的方法和結(jié)論：三角形全等，對應(yīng)角相等.只要抓住了基本方法，問題就可以得到解決.

讓學(xué)生做一些基本的知識和方法的積累，讓學(xué)生在思考中應(yīng)用，讓學(xué)生在應(yīng)用中思考.筆者相信，一段時(shí)間后，學(xué)生的思考能力和解題能力一定會得到較大的提高.