☉江蘇省南京金陵中學河西分校 李玉榮

壇

一反常態(tài)的不等式

☉江蘇省南京金陵中學河西分校 李玉榮

近幾年，隨著課程改革的深入發(fā)展，各地中考數學考試對解決問題的考查力度也在不斷地改進與完善，加強對“數學思考”主要目標的考查及克服試題過于“模式化”現象是中考命題的一個新動向，不落俗套的試題并非刻意指向解題所運用的具體的數學知識，而更多地體現在對解題策略的思考與選擇上，既提高了考試的效度又發(fā)揮了引導日常學習和教學數學方法的作用，本文采擷幾道與不等式相關的中考題，管窺其創(chuàng)新考法．

一、由“不等”確定“相等”

圖1

例1 （2012年德陽市）如圖1，已知一次函數y1=x+m的圖像與反比例函數y=的圖像交于A、B兩點，已知2當x＞1時，y1＞y2；當0＜x＜1時，y1＜y2.

（1）求一次函數的解析式；

（2）已知一次函數在第一象限上有一點C到y(tǒng)軸的距離為3，求△ABC的面積.

解：（1）由已知當x＞1時，y1＞y2；當0＜x＜1時，y1＜y2..可得點A的橫坐標為1，把x=1代入y=得y=6，A（1，6），所以6=1+m，m=5，2故一次函數的解析式y(tǒng)=x+5.

（2）略．

例2 （2011年北京市）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，二次函數y=mx2+（m－3）x－3（m＞0）的圖像與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）求點A的坐標；

（2）∠ABC=45°時，求m的值；

圖2

（3）已知一次函數y=kx+b，點P（n，0）是x軸上的一個動點，在（2）的條件下，過點P垂直于x軸的直線交一次函數y=kx+b的圖像于點M，交二次函數y=mx2+（m－3）x－3（m＞0）的圖像于點N，如圖3所示.若只有當－2＜n＜2時，點M位于點N的上方，求一次函數的解析式．

解：（1）點A的坐標為（－1，0）；

（2）m=1；

（3）由（2）得，二次函數解析式為y=x2－2x－3.依題意并結合圖像可知，一次函數的圖像與二次函數的圖像交點的橫坐標分別為－2和2，由此可得交點坐標為（－2，5）和（2，－3）.

將交點坐標分別代入一次函數解析式y(tǒng)=kx+b中，得－2k+b=5，且2k+b=－3，解得k=－2，b=1，所以一次函數的解析式為y=－2x+1．

點評：這兩道題的亮點是“求一次函數的解析式”，這本是一種常規(guī)題，但題設沒有明確給出點的坐標，而是給出了相關不等式，需要學生結合圖像對“已知當x＞1時，y1＞y2；當0＜x＜1時，y1＜y2.”、“點M位于點N的上方”分別做出正確理解，把“不等”轉化為“相等”，確定直線上點的坐標，直接考查了學生對知識之間的相關性的理解以及對數形結合思想方法的理解，對日常教學具有積極、明確的導向作用．

圖3

二、由“相等”確定“不等”

例3 （2012年北京市）在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中點，P是線段BM上的動點，將線段PA繞點P順時針旋轉2α得到線段PQ．

（1）若α=60°且點P與點M重合（如圖4），線段CQ的延長線交射線BM于點D，請補全圖形，并寫出∠CDB的度數；

圖4

圖5

（2）在圖5中，點P不與點B、M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D，猜想∠CDB的大小（用含α的代數式表示），并加以證明；

（3）對于適當大小的α，當點P在線段BM上運動到某一位置（不與點B、M重合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D，且PQ=QD，請直接寫出α的范圍.

解：（1）略.

（2）∠CDB=90°－α，證明略.

（3）45°＜α＜60°，理由如下：

當PQ=QD時，∠QPD=∠QDP=90°－α，所以∠APD=∠APQ－∠QPD=3α－90°，∠PAM=90°－∠APD=180°－3α.由點P不與點B、M重合可得0＜180°－3α＜α，解得45°＜α＜60°.

點評：此題的亮點是第（3）題，從題設的“PQ=QD”這一相等關系到要求的α的范圍，需經歷角度的轉化、數形結合思想的合理應用，其命題思想及策略值得借鑒.

例4 （2011年河北?。┤鐖D6，在平面直角坐標系中，點P從原點O出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個單位長的速度運動t（t＞0）秒，拋物線y=x2+bx+c經過點O和點P，已知矩形ABCD的三個頂點為A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）.（1）求c、b（用含t的代數式表示）；（2）當4＜t＜5時，設拋物線分別與線段AB、CD交于點M、N.

①在點P的運動過程中，你認為∠AMP的大小是否會變化？若變化，說明理由；若不變，求出∠AMP的值.

圖6

③在矩形ABCD的內部（不含邊界），把橫、縱坐標都是整數的點稱為“好點”.若拋物線將這些“好點”分成數量相等的兩部分，請直接寫出t的取值范圍.

圖7

點評：此題的亮點是第（2）題第③問，這是一道閱讀理解題，易知共有8個“好點”：（2，－1）、（2，－2）、（2，－3）、（2，－4）、（3，－1）、（3，－2）、（3，－3）、（3，－4），要使拋物線將這些“好點”分成數量相等的兩部分，嘗試畫出拋物線知關鍵點是（2，－3）和（3，－2），當y=x2－tx經過點（2，－3）時，“好點”（2，－2）和（2，－1）在拋物線上方，此時－3=22－2t，解得t=.而x=3時，y=－在－1和－2之間，說明“好點”（3，－1）也在拋物線上方，所以拋物線要將這些“好點”分成數量相等的兩部分，必須滿足t＞.另一方面，當y=x2－tx經過點（3，－2）時，“好點”（3，－1）在拋物線上方.此時－2=32－3t，解得t=.而x=2時，y=－在－3和－4之間，說明“好點”（2，－3）、（2，－2）、（2，－1）也在拋物線上方.所以拋物線要將這些“好點”分成數量相等的兩部分，必須滿足t＜.綜上所述，t的取值范圍是＜t＜.盡管此題“請直接寫出t的取值范圍”，但學生憑猜測解答的可能性很小，學生需自主探索、畫圖進行合情推理，把要解決的“不等”轉化為“相等”來思考，很好地保證了對數形結合思想方法的考查，對提高數學學習的有效性具有一定的價值.

三、教學啟示

（1）數學教學要注重數學知識之間的有機聯(lián)系與相互轉化，數學知識是相互聯(lián)系的統(tǒng)一整體.教學中，教師要注重將各部分數學內容有機地整合，巧妙地進行分解與相互轉化.一方面使學生加深對所學知識的理解，另一方面讓學生感受數學知識之間的聯(lián)系與相互轉化，培養(yǎng)學生多角度、多層次、多途徑分析問題和解決問題的能力，使學生在領略數學魅力的過程中學習數學，不斷增強學好數學的愿望和信心.

（2）數學教學要注重數學知識之間的實質性關聯(lián)和整體性，數學知識之間的聯(lián)系，不僅表現在同一領域內容之間的聯(lián)系，更表現在各種不同領域內知識體系之間的實質性關聯(lián).教學中，教師應當有意識、有計劃地設計教學活動，引導學生了解、應用數學知識之間的關聯(lián)，感受數學的整體性，引導學生初步形成“以聯(lián)系的眼光研究數學、分析數學”的意識與能力，真正提高課堂教學的有效性.