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        淺談數(shù)學解題中常見的思想方法

        2012-08-28 02:35:22湖北省浠水縣實驗中學饒金華
        中學數(shù)學雜志 2012年10期
        關鍵詞:邊形圓心角扇形

        ☉湖北省浠水縣實驗中學 饒金華

        中考試題涉及眾多知識點,覆蓋面廣,關系復雜,證法靈活,解決這類考題需要考生能夠正確地綜合運用數(shù)學解題思想和方法,以下是中考中幾種常用的解題思想,供大家參考.

        一、整體思想

        注意力和著眼力放在問題的整體上,通過研究問題整體形式和整體結構,進而作出整體處理,達到順利解題的目的.

        例1 如圖1所示,分別以n邊形的頂點為圓心,以單位1為半徑畫圓,則圖中陰影部分的面積之和為______個平方單位.

        解:由條件可知圖中每個扇形的面積不能單獨求出,因為不知圓心角的度數(shù).仔細分析可得n個扇形的圓心角恰為n邊形的n個因此,n個扇形的圓心角的度數(shù)和為n邊形的外角和.所以陰影部分的面積之和π.

        二、化歸思想

        化歸思想是一種由陌生向熟悉轉化,由未知向已知轉化,又非基本問題向基本問題轉化的解題策略.

        例2 判斷下列數(shù)3555、4444、5333的大小關系是______.

        分析:直接計算每個數(shù)顯然復雜難以比較,如果將它們化歸為異底數(shù)同次冪的形式,然后比較底數(shù)的大小即可解決問題.

        解:3555=(35)111=243111,4444=(44)111=256111,5333=(53)111=125111.

        即5333<3555<4444.

        三、分類思想

        分類討論是重要的數(shù)學思想,解答這類題不僅要求學生有扎實的基礎知識,還要求學生具有靈活運用數(shù)學思想方法的能力.在對數(shù)學對象進行分類中尋求解答的一種解題思想方法.其目的在于克服思維的片面性,防止漏解.

        例3 如圖2,在直徑為50cm的圓中,弦AB=40cm,弦CD=48cm,且AB∥CD.求AB與CD間的距離.

        分析:由圓的對稱性,可知兩條弦的位置會出現(xiàn)兩種情況.

        圖2

        圖3

        解:作OE⊥AB,垂足為E,OE交CD于點F.

        因為AB∥CD,所以OF⊥CD.

        連接OA、OC.

        (1)當AB和CD位于點O的同側時(圖2),AB與CD間的距離為:

        (2)當AB和CD位于點O的異側時(圖3),AB與CD間的距離為:

        所以AB與CD間的距離是8cm或22cm.

        四、數(shù)形結合思想

        數(shù)形結合思想是指將數(shù)(量)與(圖)形結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思想策略.有關函數(shù)及其圖像的題目,多數(shù)用數(shù)形結合思想解答.

        圖4

        例4 如圖4,平面直角坐標系中,四邊形OABC為矩形,點A,B的坐標分別為(4,0),(4,3),動點M,N分別從O,B同時出發(fā).以每秒1個單位的速度運動.其中,點M沿OA向終點A運動,點N沿BC向終點C運動.過點M作MP⊥OA,交AC于P,連接NP,已知動點運動了x秒.

        (1)P點的坐標為(______,______)(用含x的代數(shù)式表示).

        (2)試求△NPC面積S的表達式,并求出面積S的最大值及相應的x值.

        (3)當x為何值時,△NPC是一個等腰三角形?簡要說明理由.

        解:(1)由題意可知C(0,3),M(x,0),N(4-x,3).

        (2)設△NPC的面積為S,在△NPC中,NC=4-x,NC邊上的高為,其中0≤x≤4.

        (3)如圖5,延長MP交CB于Q,則有PQ⊥BC.

        ①若NP=CP.

        ③若CN=NP,則CN=4-x.

        在Rt△PNQ中,PN2=NQ2+PQ2.

        圖5

        小結:數(shù)學思想方法還有很多,比如方程思想,它是指對所求數(shù)學問題通過列方程(組)求解的一種解題思想,是解幾何問題的重要策略.這類題目很常見,需要同學們?nèi)ザ嘤^察、多動腦、多實踐.

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