◎江蘇省南通市北城中學(xué) 蔡新春
編制數(shù)學(xué)試題是初中數(shù)學(xué)教師的基本技能之一,獨立編制原創(chuàng)數(shù)學(xué)試題確實費心費力,難度較高,但是我們可以借助于一些成題將其適當(dāng)改編成有新意的題目.
羅增儒教授早在2005年《中等數(shù)學(xué)》上談到用引申技術(shù)將成題改編為競賽試題.他說:“引申通常解釋為從舊義得出新義.競賽命題的引申技術(shù)就是從已知題目出發(fā),沿縱橫兩個方向演繹深化得出新題目.”本文借助一些例題淺談如何用引申技術(shù)來改編初中數(shù)學(xué)試題.
圖1
例1 如圖1,等腰三角形ABC中,AB=AC,D、E分別是在AB、AC的中點,BE、CD相交于點O,求證:(1)OD=OE.(2)AO平分∠BAC.
這是在學(xué)習(xí)等腰三角形時,許多老師都會讓學(xué)生練習(xí)的一道題目.如果在此基礎(chǔ)上,我們聯(lián)想到三角形的中線可以將三角形分成面積相等的兩個三角形,再加上△ADO與△AEO全等,那么很容易得出△ADO、△AEO、△BDO、△CEO這四個三角形的面積相等,都是△ABC面積的因此,我們可以在原題的基礎(chǔ)上增加第(3)問:求△BOC與△ABC的面積比.
圖2
例2 如圖2,△ABC中,AB=AC,點D在AB上,點E在AC的延長線上,且BD=CE,DE與BC相交于F點,求證:DF=EF.
這是一經(jīng)典老題,過點D作AC的平行線DG交BC于點G,很容易證得△CEF≌△GDF,從而得到結(jié)論.
如圖3,過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點P,作PE⊥AC于E,Q為BC延長線上一點,當(dāng)PA=CQ時,連PQ交AC邊于點D,則DE的長為( ).
而湖北武漢一地區(qū)則在這題的基礎(chǔ)上做了更深入的開發(fā):已知△ABC是等邊三角形,點P是AC上一點,PE⊥BC于點E,交AB于點F,在CB的延長線上截取BD=PA,PD交AB于點I,PA=nPC.
(3)如圖6,若點P在AC邊的延長線上,且n=3,其他條件不變,
圖8
例3 如圖7,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是BC邊的中點,點P在線段BA上運動,同時點Q在線段AC上運動,且始終保持MQ⊥MP.試探求BP2、PQ2、CQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
這是一道經(jīng)典老題,做完后,我們進(jìn)一步思考,當(dāng)這個直角三角形不是等腰直角三角形而是一般直角三角形時(如圖8),這個結(jié)論是否成立呢?經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn),這個結(jié)論是成立的.江蘇省揚州市就將按這個思路改編的題目作為2011年中考壓軸題的最后一問.
例4 如圖9,邊長為2的正方形ABCD的對角線交于點O,另有一邊長超過2的正方形的一個頂點在位于點O,并且繞點O作逆時針旋轉(zhuǎn),那么旋轉(zhuǎn)過程中,兩個正方形重合部分的面積是否會發(fā)生變化?如果不變,請求出它的面積.
此題常用的一種解題方法是利用正方形的性質(zhì)證明△AON與△BOM全等,從而得到四邊形BMON的面積等于△AOB的面積.將原題中的正方形換成等邊三角形后,解題的方法基本不變,因此可以改編成這樣的題目:如圖10,點O是等邊△ABC的角平分線的交點,MON是一個扇形(OM和ON足夠長)且∠MON=120°,OM、ON分別與AB、BC交于D、E兩點.如果△ABC的面積為S,將扇形MON繞點O旋轉(zhuǎn)時,扇形MON與△ABC重疊部分的面積是否會發(fā)生變化?如果不變,請求出它的面積.
同樣利用這種方法,我們可以將例1中等腰三角形換成正方形,改編這樣的新題:如圖11,E、F分別是正方形ABCD的邊BC、CD的中點,BF與DE相交于點O,求四邊形ABOD與正方形ABCD的面積比.