李春濤， 范淑娜

(南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 210016)

0 引言

小型無(wú)人機(jī)憑借其操作容易、經(jīng)濟(jì)實(shí)惠、維護(hù)方便等特點(diǎn)，受到越來(lái)越多人的青睞，近來(lái)對(duì)小型無(wú)人機(jī)飛行控制的研究也更加廣泛。由于多數(shù)小型無(wú)人機(jī)存在一類(lèi)似的特點(diǎn):繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小，副翼的舵效高，受到擾動(dòng)后滾轉(zhuǎn)角速率變化非常快，使得其橫側(cè)向控制成為飛行控制的難點(diǎn)［1－2］。由于無(wú)人機(jī)存在這樣的特性，使得常規(guī)的以滾轉(zhuǎn)角為主要反饋信號(hào)、滾轉(zhuǎn)角速率用來(lái)增加滾轉(zhuǎn)阻尼的橫側(cè)向控制器很難滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。為解決這一問(wèn)題，文獻(xiàn)［1］采用了動(dòng)態(tài)逆和H∞相結(jié)合的方法，設(shè)計(jì)了滾轉(zhuǎn)角控制器，該控制器具有較強(qiáng)的魯棒性，但是對(duì)模型精度的要求較高，具有一定的局限性，而且反饋線(xiàn)性化的過(guò)程相當(dāng)繁瑣，不利于工程上的應(yīng)用。文獻(xiàn)［2］采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法實(shí)現(xiàn)小型無(wú)人機(jī)橫側(cè)向航跡跟蹤，但在設(shè)計(jì)過(guò)程中，使用多種類(lèi)型的無(wú)人機(jī)狀態(tài)反饋信號(hào)，限制了其在工程中的應(yīng)用。本文在經(jīng)典PID控制的基礎(chǔ)上，利用魯棒伺服LQR的方法，設(shè)計(jì)了一種以滾轉(zhuǎn)角速率為內(nèi)回路的小型無(wú)人機(jī)橫側(cè)向控制律。仿真研究結(jié)果表明，基于滾轉(zhuǎn)角速率的控制律能很好地抑制各種干擾的影響，滿(mǎn)足樣例無(wú)人機(jī)橫側(cè)向控制的要求。

1 問(wèn)題提出

由動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程［3］構(gòu)成的無(wú)人機(jī)非線(xiàn)性數(shù)學(xué)模型，其狀態(tài)空間描述式為

式中:t為時(shí)間;x為狀態(tài);u為控制輸入;y為輸出。狀態(tài)量 x=［φ，θ，ψ，P，Q，R，U，V，W，Xe，Ye，Ze］T，分別為滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、航跡角、滾轉(zhuǎn)角速率、俯仰角速率、偏航角速率、機(jī)體坐標(biāo)軸上的速度分量、縱向位移、側(cè)向位移、高度;控制量 u=［δe，δa，δr，δT］T，分別為升降舵偏角、副翼偏角、方向舵偏角、發(fā)動(dòng)機(jī)油門(mén)開(kāi)度。以無(wú)人機(jī)的直線(xiàn)定常無(wú)側(cè)滑飛行作為基準(zhǔn)運(yùn)動(dòng)，利用小擾動(dòng)方法，得到橫側(cè)向線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)模型為

其中

C 為單位陣;D 為零;狀態(tài)量 x=［φ，ψ，p，r，v，ye］T;輸入量 u=［δa，δr］;輸出量 y=［φ，ψ，p，r，v，ye］T。

從A陣和B陣中可以看出，樣例無(wú)人機(jī)自身的滾轉(zhuǎn)角速率的衰減率為－2.3(°)/s，而單位副翼引起的滾轉(zhuǎn)角速率變化為－43.0(°)/s，這也表明了樣例無(wú)人機(jī)橫側(cè)向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、副翼效率高的特點(diǎn)。

2 控制律設(shè)計(jì)

控制系統(tǒng)一般由控制回路(內(nèi)回路)和制導(dǎo)回路(外回路)構(gòu)成。控制回路是外回路控制的基礎(chǔ)，其性能優(yōu)劣直接影響制導(dǎo)回路的控制結(jié)果，影響無(wú)人機(jī)的飛行性能。本文采用魯棒伺服LQR優(yōu)化方法設(shè)計(jì)控制增益，與一般線(xiàn)性二次型(LQR)方法相比，魯棒伺服LQR方法將積分控制引入到狀態(tài)反饋中，提高了系統(tǒng)跟蹤、抑制擾動(dòng)的能力［4－7］。

2.1 滾轉(zhuǎn)角速率控制律設(shè)計(jì)

從樣例無(wú)人機(jī)的線(xiàn)性化模型式(2)中抽取狀態(tài)x=P，y=P，得到:Ac= －2.2643，Bc= －42.9697，Cc=1，Dc=0。

選取輸出信號(hào)為滾轉(zhuǎn)角速率P，則跟蹤誤差表示為

由式(3)，將輸出信號(hào)P跟蹤轉(zhuǎn)化為對(duì)跟蹤誤差e的調(diào)節(jié)。將跟蹤誤差e增廣為系統(tǒng)的狀態(tài)量，得到新的狀態(tài)方程為

式(4)中，各變量定義如下

根據(jù)LQR優(yōu)化控制理論，選取性能指標(biāo)函數(shù)

選取合適的性能加權(quán)矩陣Q與控制加權(quán)矩陣R，解黎卡提方程［6］即可求得控制增益

在選取性能加權(quán)矩陣Q與控制加權(quán)矩陣R的過(guò)程中，由于兩者有相對(duì)比例關(guān)系，將R設(shè)置為1。給出性能加權(quán)矩陣Q=diag{q1，q2}與時(shí)頻域控制品質(zhì)性能的關(guān)系，由此確定加權(quán)矩陣Q。加權(quán)矩陣Q中各項(xiàng)與控制器的超調(diào)量、相位裕度、截止頻率和回差矩陣奇異值之間的關(guān)系見(jiàn)圖1，性能加權(quán)矩陣Q的選取流程如圖2所示。

圖1 Q與性能指標(biāo)關(guān)系曲線(xiàn)Fig.1 Relationship between Q and performance

圖2 性能加權(quán)矩陣Q選取流程Fig.2 Flow chart for selecting performance weighting matrix Q

于是有

根據(jù)式(8)可以得到基于滾轉(zhuǎn)角速率控制器的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 滾轉(zhuǎn)角速率控制器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Structure diagram of roll rate controller

滾轉(zhuǎn)角速率控制器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

由式(2)～式(8)可知，魯棒伺服LQR方法通過(guò)將控制指令誤差增廣為新的系統(tǒng)的狀態(tài)量，利用狀態(tài)反饋引入積分控制，提高系統(tǒng)型次，消除穩(wěn)態(tài)誤差。采用這種結(jié)構(gòu)的滾轉(zhuǎn)角速率控制器時(shí)，若無(wú)人機(jī)受到擾動(dòng)，積分項(xiàng)的作用會(huì)使得滾轉(zhuǎn)角速率迅速回到給定值。

2.2 滾轉(zhuǎn)角控制器設(shè)計(jì)

圖4為滾轉(zhuǎn)角控制器的結(jié)構(gòu)示意。

圖4 滾轉(zhuǎn)角控制器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Structure diagram of roll angle controller

滾轉(zhuǎn)角控制器數(shù)學(xué)表達(dá)式為

由式(10)可得

即

圖5 滾轉(zhuǎn)角控制器階躍響應(yīng)Fig.5 Step response of roll angle controller

圖6 滾轉(zhuǎn)角控制器伯德圖Fig.6 Bode diagram of roll angle controller

表1 滾轉(zhuǎn)角控制器時(shí)頻域控制品質(zhì)Table 1 Control quality of roll angle controller in time-frequency domain

表1中的min(I+L(s))和min(I+L－l(s))分別為回差矩陣奇異值的最小值、逆回差矩陣奇異值的最小值。min(I+L(s))和min(I+L－l(s))越大，表明系統(tǒng)越穩(wěn)定。

由圖5可知，這種滾轉(zhuǎn)角控制器存在穩(wěn)態(tài)誤差，圖6的低頻段也說(shuō)明了這一現(xiàn)象。這一現(xiàn)象的物理意義是:無(wú)人機(jī)按某一滾轉(zhuǎn)角滾轉(zhuǎn)時(shí)，滾轉(zhuǎn)角變化率偏航角變化率根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程

3 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

無(wú)人機(jī)橫側(cè)向制導(dǎo)回路的目標(biāo)是使無(wú)人機(jī)以足夠的準(zhǔn)確度保持或跟蹤預(yù)定的飛行航跡。若無(wú)人機(jī)偏離給定航跡，制導(dǎo)裝置將測(cè)出其偏差，并以一定的控制規(guī)律控制姿態(tài)內(nèi)回路，使無(wú)人機(jī)回到給定的航跡。本文采用控制律的結(jié)構(gòu)如圖7所示，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

圖7 航跡跟蹤控制器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.7 Structure diagram of path tracking controller

從飛機(jī)的橫側(cè)向動(dòng)力學(xué)可知，飛機(jī)在橫側(cè)向的軌跡運(yùn)動(dòng)是基本沒(méi)有阻尼的，如果僅采用側(cè)偏的比例控制，勢(shì)必形成軌跡運(yùn)動(dòng)的周期振蕩，航跡角就是用來(lái)阻尼軌跡運(yùn)動(dòng)的，使軌跡運(yùn)動(dòng)形成良好的二階環(huán)節(jié)特性，達(dá)到期望的軌跡控制指標(biāo)。引入航跡角積分來(lái)消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。這種控制器結(jié)構(gòu)在滾轉(zhuǎn)角等存在測(cè)量誤差時(shí)，可以無(wú)誤差地跟蹤航跡。無(wú)人機(jī)協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎時(shí)滿(mǎn)足

其中，ay為側(cè)向加速度。當(dāng) φ≤20°時(shí)，tan φ≈φ，則

由航跡角的定義可得

由式(14)得

把式(16)、式(17)代入式(18)可得

這是一個(gè)典型的二階環(huán)節(jié)，寫(xiě)成

由式(14)得

即

圖8 航跡跟蹤控制器階躍響應(yīng)Fig.8 Step response of path tracking controller

圖9 航跡跟蹤控制器伯德圖Fig.9 Bode diagram of path tracking controller

表2 航跡跟蹤控制器時(shí)頻域控制品質(zhì)Table 2 Control quality of path tracking controller in time-frequency domain

4 仿真驗(yàn)證

選取樣例無(wú)人機(jī)飛行狀態(tài)為:海拔高度2000 m，速度40 m/s，迎角3.5°。在平飛狀態(tài)下，分別在連續(xù)域和數(shù)字域下對(duì)樣例無(wú)人機(jī)的滾轉(zhuǎn)角控制器進(jìn)行仿真，并與常規(guī)的滾轉(zhuǎn)角控制器進(jìn)行比較。常規(guī)滾轉(zhuǎn)角控制器為

在連續(xù)域中給定滾轉(zhuǎn)角為20°，兩種滾轉(zhuǎn)角控制器的響應(yīng)曲線(xiàn)見(jiàn)圖10，對(duì)應(yīng)的滾轉(zhuǎn)角速率的響應(yīng)曲線(xiàn)如圖11所示。

圖10 滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.10 Response of roll angle controller

圖11 滾轉(zhuǎn)角速率響應(yīng)曲線(xiàn)Fig.11 Response of roll rate controller

從圖10和圖11中可以看出，在連續(xù)域中，兩種滾轉(zhuǎn)角控制器都能滿(mǎn)足控制要求。但常規(guī)的滾轉(zhuǎn)角控制器在開(kāi)始時(shí)有一個(gè)很大的滾轉(zhuǎn)角速率沖擊，這體現(xiàn)了樣例無(wú)人機(jī)橫側(cè)向的特性，而用本文設(shè)計(jì)的基于滾轉(zhuǎn)角速率的滾轉(zhuǎn)角控制器就可以很好地抑制這種特性。由圖10可以看出，本文設(shè)計(jì)的滾轉(zhuǎn)角控制器的響應(yīng)速度比常規(guī)滾轉(zhuǎn)角控制器慢。對(duì)常規(guī)滾轉(zhuǎn)角控制器而言，滾轉(zhuǎn)角指令直接轉(zhuǎn)化為舵面;而本文設(shè)計(jì)的滾轉(zhuǎn)角控制器中，滾轉(zhuǎn)角指令先轉(zhuǎn)化為滾轉(zhuǎn)角速率指令，通過(guò)滾轉(zhuǎn)角速率的積分轉(zhuǎn)化為舵面，這是一個(gè)相對(duì)較慢的過(guò)程，成功抑制了滾轉(zhuǎn)角速率的變化速度，使得滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)較平緩，超調(diào)很小。

現(xiàn)代無(wú)人機(jī)采用數(shù)字式飛行控制系統(tǒng)來(lái)完成各種飛行任務(wù)，對(duì)本文提出的滾轉(zhuǎn)角控制律和式(23)控制律離散化后，仿真驗(yàn)證其控制品質(zhì)。樣例無(wú)人機(jī)控制律解算周期為20 ms、傳感器采集頻率為100 Hz。給定滾轉(zhuǎn)角為20°，兩種滾轉(zhuǎn)角控制器的響應(yīng)曲線(xiàn)見(jiàn)圖12、圖13，對(duì)應(yīng)的滾轉(zhuǎn)角速率的響應(yīng)曲線(xiàn)如圖14、圖15所示。

由圖12～圖15可以看出，式(25)給出的基于滾轉(zhuǎn)角的滾轉(zhuǎn)角控制器在數(shù)字域中無(wú)法實(shí)現(xiàn)滾轉(zhuǎn)角控制，對(duì)應(yīng)的滾轉(zhuǎn)角速率變化非常劇烈，而本文給出的基于滾轉(zhuǎn)角速率的滾轉(zhuǎn)角控制器的控制效果非常好，滿(mǎn)足滾轉(zhuǎn)角控制的要求。這種控制器在連續(xù)域中的調(diào)節(jié)時(shí)間為11 s，滾轉(zhuǎn)角速率的最大值為5(°)/s;在數(shù)字域中的調(diào)節(jié)時(shí)間為10 s，滾轉(zhuǎn)角速率的最大值為7.4(°)/s，該控制器在不同的環(huán)境中控制效果基本相同。

圖12 常規(guī)滾轉(zhuǎn)角控制器響應(yīng)Fig.12 Response of conventional roll angle controller

圖13 基于滾轉(zhuǎn)角速率的滾轉(zhuǎn)角控制器響應(yīng)Fig.13 Response of roll angle controller based on roll rate

圖14 常規(guī)滾轉(zhuǎn)角控制器的滾轉(zhuǎn)角速率響應(yīng)Fig.14 Response of roll rate of conventional roll angle controller

圖15 本文中的滾轉(zhuǎn)角控制器的滾轉(zhuǎn)角速率響應(yīng)Fig.15 Response of roll rate of roll angle controller in this paper

圖16 、圖17給出了常規(guī)滾轉(zhuǎn)角控制器和本文設(shè)計(jì)的基于滾轉(zhuǎn)角速率的滾轉(zhuǎn)角控制器在連續(xù)域和離散域中的伯德圖。

可以看出，離散化對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響很小，可以忽略，這就說(shuō)明了常規(guī)滾轉(zhuǎn)角控制器在數(shù)字域中無(wú)法實(shí)現(xiàn)滾轉(zhuǎn)角的控制不是系統(tǒng)離散化造成的。造成滾轉(zhuǎn)角發(fā)散的主要原因是:在一個(gè)采樣周期內(nèi)，副翼保持為一定值，由于樣例無(wú)人機(jī)繞X軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、副翼效率高，會(huì)產(chǎn)生很大的滾轉(zhuǎn)角速率，使得常規(guī)控制器中的成為主控項(xiàng)，進(jìn)而無(wú)法實(shí)現(xiàn)滾轉(zhuǎn)角的控制。而本文設(shè)計(jì)的滾轉(zhuǎn)角控制器中的滾轉(zhuǎn)角速率積分就可以抑制滾轉(zhuǎn)角速率的快速變化。

圖16 常規(guī)滾轉(zhuǎn)角控制器連續(xù)域與離散域伯德圖Fig.16 Bode of conventional roll angle controller in s and z domain

圖17 本文中的滾轉(zhuǎn)角控制器連續(xù)域與離散域伯德圖Fig.17 Bode of roll controller based on roll rate in s and z domain

為了驗(yàn)證航跡跟蹤控制器，本文在滾轉(zhuǎn)角存在測(cè)量誤差(2°)、樣例無(wú)人機(jī)存在一個(gè)恒定的滾轉(zhuǎn)力矩(100 N·m)和存在隨機(jī)的滾轉(zhuǎn)力矩(白噪聲)的情況下對(duì)其進(jìn)行仿真，如圖18所示。

可以看出，這種航跡跟蹤控制器在存在各種擾動(dòng)的情況下，均可以實(shí)現(xiàn)無(wú)差的航跡跟蹤。

圖18 基于滾轉(zhuǎn)角速率的航跡跟蹤控制器響應(yīng)Fig.18 Response of path tracing controller based on roll rate

5 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)樣例無(wú)人機(jī)的特點(diǎn)，給出了一種基于滾轉(zhuǎn)角速率的橫側(cè)向控制方案，分別對(duì)姿態(tài)控制器和航跡跟蹤控制器進(jìn)行了研究，并與基于滾轉(zhuǎn)角的姿態(tài)控制器進(jìn)行比較。仿真結(jié)果表明，基于滾轉(zhuǎn)角速率的控制器抗干擾能力強(qiáng)、魯棒性好。

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